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高中数学 第二章 圆锥曲线C组测试题 新人教A版选修2-1

(数学选修 2-1)第二章 [提高训练 C 组] 一、选择题

圆锥曲线

1.若抛物线 y 2 ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为( A. ( , ?



1 4

2 ) 4

B. ( , ?

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 2 ) 4 4

D. ( ,

1 2 ) 8 4

2.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直, 49 24
) D. 24

则△ PF1 F2 的面积为( A. 20 B. 22 C. 28

3.若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 M 在 抛物线上移动时,使 MF ? MA 取得最小值的 M 的坐标为( A. ?0,0? B. ? ,1? )

?1 ? ?2 ?

C. 1, 2

?

?

D. ?2,2?

4.与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( 4



A.

x2 x2 x2 y2 y2 ? y 2 ? 1 B. ? y 2 ? 1 C. ?1 ? ? 1 D. x 2 ? 2 4 2 3 3

2 2 5.若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,

那么 k 的取值范围是( A. ? (

) B. 0, (

15 15 , ) 3 3
2

15 15 15 ) C. ? ( ( ,0 ) D. ? ,?1 ) 3 3 3

6.抛物线 y ? 2x 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 关于直线 且 x1 ? x 2 ? ? A.

y ? x ? m 对称,

3 2

1 ,则 m 等于( 2 5 B. 2 C. D. 3 2



二、填空题
用心 爱心 专心 -1-

1.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当∠ F1 P F2 为钝角时,点 P 横坐 9 4


标的取值范围是

2.双曲线 tx2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则这双曲线的离心率为___。 3.若直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y 2 ? 8x 交于 A 、 B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 2 , 则 AB ? ______。 4.若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x2 ? y 2 ? 4 始终有公共点,则 k 取值范围是 5.已知 A(0, ?4), B(3, 2) ,抛物线 y 2 ? 8x 上的点到直线 AB 的最段距离为__________。 。

三、解答题
180 变化时,曲线 x2 ? y 2 cos ? ? 1怎样变化? 1.当 ?从0 到
0 0

2.设 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 600 , 9 16

求△ F PF2 的面积。 1

3.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , A 、 B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直 a2 b2 a2 ? b2 a2 ? b2 ? x0 ? . a a

平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) .证明: ?

4.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的值,使得在此椭圆上存在不同 4 3

两点关于直线 y ? 4x ? m 对称。

(数学选修 2-1) 第二章 圆锥曲线
用心 爱心 专心

[提高训练 C 组]
-2-

一、选择题 1.B 点 P 到准线的距离即点 P 到焦点的距离,得 PO ? PF ,过点 P 所作的高也是中线

1 2 1 2 ? Px ? ,代入到 y 2 ? x 得 Py ? ? ,? P( , ? ) 8 4 8 4
2.D

PF1 ? PF2 ? 14,(PF1 ? PF2 )2 ? 196, PF12 ? PF22 ? (2c)2 ? 100 ,相减得
2 PF1 ? PF2 ? 96, S ? 1 PF1 ? PF2 ? 24 2

3.D

MF 可以看做是点 M 到准线的距离,当点 M 运动到和点 A 一样高时, MF ? MA 取得
最小值,即 M y ? 2 ,代入 y 2 ? 2 x 得 M x ? 2 且焦点在 x 轴上,可设双曲线方程为 c2 ? 4 ?1 c ? 3, ,

4.A

x2 y2 ? ? 1过点 Q(2,1) a2 3 ? a2



4 1 x2 ? ? 1 ? a 2 ? 2, ? y 2 ? 1 a2 3 ? a2 2

5.D

? x2 ? y 2 ? 6 2 , x ? (kx ? 2)2 ? 6, (1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 10 ? 0 有两个不同的正根 ? ? y ? kx ? 2
? 2 ?? ? 40 ? 24k ? 0 ? 15 4k 2 ? 则 ? x1 ? x2 ? ? k ? ?1 ? 0, 得 ? 2 3 1? k ? ?10 ? ? x1 x2 ? 1 ? k 2 ? 0 ?

6.A

k AB ?

x ?x y ?y y2 ? y1 1 ? ?1, 而y2 ? y1 ? 2( x2 2 ? x12 ), 得x2 ? x1 ? ? ,且( 2 1 , 2 1 ) 2 2 x2 ? x1 2

在直线 y ? x ? m 上,即

y2 ? y1 x2 ? x1 ? ? m, y2 ? y1 ? x2 ? x1 ? 2m 2 2 3 2

2( x2 2 ? x12 ) ? x2 ? x1 ? 2m, 2[( x2 ? x1 ) 2 ? 2 x2 x1 ] ? x2 ? x1 ? 2m, 2m ? 3, m ?
二、填空题 1. (?

3 5 3 5 , ) 可以证明 PF1 ? a ? ex, PF2 ? a ? ex, 且 PF12 ? PF22 ? F1F22 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 ,则 (a ? ex) ? (a ? ex) ? (2c) , 2a ? 2e x ? 20, e x ? 1 3
用心 爱心 专心

而 a ? 3, b ? 2, c ? 5, e ?

-3-

x2 ?

1 1 1 3 5 3 5 ,? ? x ? ,即? ?e? 2 e e e 5 5

2.

5 2

渐近线为 y ? ? t x ,其中一条与与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,得 t ?

1 1 ,t ? 2 4

x2 5 ? y 2 ? 1, a ? 2, c ? 5, e ? 4 2
3. 2 15

? y 2 ? 8x 4k ? 8 , k 2 x 2 ? (4k ? 8) x ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? ?4 ? k2 y ? kx ? 2 ?
2 得 k ? ?1, 或2 ,当 k ? ?1 时, x ? 4 x ? 4 ? 0 有两个相等的实数根,不合题意

当 k ? 2 时, AB ? 1 ? k

2

x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 16 ? 4 ? 2 15

5 4. ?1, ? 2

? x2 ? y 2 ? 4 2 , x ? (kx ? 1)2 ? 4,(1 ? k 2 ) x ? 2kx ? 5 ? 0 ? ? y ? kx ? 1

当 1 ? k 2 ? 0, k ? ?1 时,显然符合条件;
2 当 1 ? k ? 0 时,则 ? ? 20 ? 16k ? 0, k ? ?
2

5 2
2

5.

3 5 5

直线 AB 为 2 x ? y ? 4 ? 0 ,设抛物线 y ? 8x 上的点 P(t , t )
2

d?
三、解答题

2t ? t 2 ? 4 5
0

?

t 2 ? 2t ? 4 (t ? 1)2 ? 3 3 3 5 ? ? ? 5 5 5 5

2 2 1.解:当 ? ? 0 时, cos 0 ? 1 ,曲线 x ? y ? 1为一个单位圆;
0

0 0 当 0 ? ? ? 90 时, 0 ? cos ? ? 1,曲线

y2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴上的椭圆; 1 1 cos ?

当 ? ? 90 时, cos90 ? 0 ,曲线 x ? 1 为两条平行的垂直于 x 轴的直线;
0
0 2

x2 y2 ? ? 1 为焦点在 x 轴上的双曲线; 当 90 ? ? ? 180 时, ?1 ? cos ? ? 0 ,曲线 1 ? 1 cos ?
0 0

2 2 当 ? ? 180 时, cos180 ? ?1 ,曲线 x ? y ? 1为焦点在 x 轴上的等轴双曲线。
0 0

用心

爱心

专心

-4-

2.解:双曲线

x2 y2 ? ? 1 的 a ? 3, c ? 5, 不妨设 PF1 ? PF2 ,则 PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 9 16

F1F22 ? PF12 ? PF22 ? 2PF1 ? PF2 cos600 ,而 F1F2 ? 2c ? 10
得 PF 2 ? PF22 ? PF ? PF2 ? (PF ? PF2 )2 ? PF ? PF2 ? 100 1 1 1 1

PF1 ? PF2 ? 64, S ?

1 PF1 ? PF2 sin 600 ? 16 3 2
x1 ? x2 y1 ? y2 y ?y , ) ,得 k AB ? 2 1 , 2 2 x2 ? x1

3.证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则中点 M (

b2 x12 ? a2 y12 ? a2b2 , b2 x22 ? a2 y22 ? a2b2 , 得 b2 ( x22 ? x12 ) ? a2 ( y22 ? y12 ) ? 0,
x ?x y2 2 ? y12 b2 即 2 ? ? 2 , AB 的垂直平分线的斜率 k ? ? 2 1 , 2 y2 ? y1 x2 ? x1 a
AB 的垂直平分线方程为 y ?

y1 ? y2 x ?x x ?x ? ? 2 1 ( x ? 1 2 ), 2 y2 ? y1 2

当 y ? 0 时, x0 ?

y22 ? y12 ? x22 ? x12 b2 x ? x ? (1 ? 2 ) 2 1 2( x2 ? x1 ) a 2
a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? . a a

而 ?2a ? x2 ? x1 ? 2a ,??

4.解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x0 , y0 ) , k AB ?

y2 ? y1 1 ?? , x2 ? x1 4

而 3x12 ? 4 y12 ? 12, 3x22 ? 4 y22 ? 12, 相减得 3( x22 ? x12 ) ? 4( y22 ? y12 ) ? 0, 即 y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 ),? y0 ? 3x0 , 3x0 ? 4x0 ? m, x0 ? ?m, y0 ? ?3m

而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,则

m 2 9m 2 2 3 2 3 ? ? 1, 即 ? 。 ?m? 4 3 13 13

用心

爱心

专心

-5-



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