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高中数学人教A版选修4-4创新应用课件: 第二讲 第2节 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程


第2课时 双曲线、抛物线的参数方程 [核心必知] 1.双曲线的参数方程 x2 y 2 (1)中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线a2-b2= ?x=asecφ , 1 的参数方程是 π 3π 范围为 φ ∈[0,2π )且 φ≠ 2 ,φ ≠ 2 . ? ? ? ?y=btan φ ,规定参数 φ 的取值 y2 x2 (2)中心在原点, 焦点在 y 轴上的双曲线a2-b2= ? ?x=btan φ , 1 的参数方程是 ? ? ?y=asecφ . 2.抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2=2px 的参数方程为 点与原点连线的 斜率的倒数 . 2 ? ?x=2pt , ? ? ?y=2pt , t∈ R . (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一 [问题思考] 1.在双曲线的参数方程中,φ 的几何意义是什么? 提示: 参数 φ 是点 M 所对应的圆的半径 OA 的旋转 角(称为点 M 的离心角),而不是 OM 的旋转角. 2.如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置? 提示:如果 x 对应的参数形式是 asecφ,则焦点在 x 轴上; 如果 y 对应的参数形式是 asecφ, 则焦点在 y 轴上. ? ?x= 2p , 2 tan α ? 3. 若抛物线的参数方程表示为? 则参数 α 的 2 p ?y= . ? ? tan α 几何意义是什么? 提示:参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M,以射线 OM 为终边的角. 在双曲线 x2-y2=1 上求一点 P,使 P 到直线 y= x 的距离为 2. [精讲详析] 本题考查双曲线的参数方程的应用, 解答 本题需要先求出双曲线的参数方程,设出 P 点的坐标,建 立方程求解. 设 P 的坐标为(secφ,tan φ),由 P 到直线 x-y=0 的距离 |secφ-tan φ| 为 2得 = 2 2 sin φ 1 得| - |=2,|1-sin φ|=2|cos φ| cos φ cos φ 平方得 1-2sin φ+sin 2φ=4(1-sin 2φ), 3 即 5sin φ-2sin φ-3=0.解得 sin φ=1 或 sin φ=-5. 2 3 4 sin φ=1 时, cos φ=0(舍去). sin φ=-5时, cos φ=± 5. 5 3 5 3 ∴P 的坐标为(4,-4)或(-4,4). 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的, 因而曲线的参数方程具有消元的作用,利用它可以简化某 些问题的求解过程,特别是涉及到最值、定值等问题的计 算时,用参数方程可将代数问题转化为三角问题,然后利 用三角知识处理. 1.求证:等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲 线的顶点. 证明:设双曲线为 x2-y2=a2,取顶点 A(a,0), 弦 B′B∥Ox, B(asec α, atan α), 则 B′(-asec α, atan α). atan α atan α ∵kB′A= ,kBA= , -asec α-a asec α-a ∴kB′A〃kBA=-1. ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点. 连接原点 O 和抛物线 2y=x2 上的动点 M,延长 OM 到 P 点,使|OM|=|MP|,求 P 点的轨迹方程,并说明 它是何曲线. [ 精讲详析 ] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其 应用. 解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出 M、 P 的坐标,然后借助中点坐标公式求解. 设 M(x、y)


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