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高中数学人教A版选修4-4创新应用课件: 第二讲 第2节 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程

第2课时 双曲线、抛物线的参数方程 [核心必知] 1.双曲线的参数方程 x2 y 2 (1)中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线a2-b2= ?x=asecφ , 1 的参数方程是 π 3π 范围为 φ ∈[0,2π )且 φ≠ 2 ,φ ≠ 2 . ? ? ? ?y=btan φ ,规定参数 φ 的取值 y2 x2 (2)中心在原点, 焦点在 y 轴上的双曲线a2-b2= ? ?x=btan φ , 1 的参数方程是 ? ? ?y=asecφ . 2.抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2=2px 的参数方程为 点与原点连线的 斜率的倒数 . 2 ? ?x=2pt , ? ? ?y=2pt , t∈ R . (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一 [问题思考] 1.在双曲线的参数方程中,φ 的几何意义是什么? 提示: 参数 φ 是点 M 所对应的圆的半径 OA 的旋转 角(称为点 M 的离心角),而不是 OM 的旋转角. 2.如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置? 提示:如果 x 对应的参数形式是 asecφ,则焦点在 x 轴上; 如果 y 对应的参数形式是 asecφ, 则焦点在 y 轴上. ? ?x= 2p , 2 tan α ? 3. 若抛物线的参数方程表示为? 则参数 α 的 2 p ?y= . ? ? tan α 几何意义是什么? 提示:参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M,以射线 OM 为终边的角. 在双曲线 x2-y2=1 上求一点 P,使 P 到直线 y= x 的距离为 2. [精讲详析] 本题考查双曲线的参数方程的应用, 解答 本题需要先求出双曲线的参数方程,设出 P 点的坐标,建 立方程求解. 设 P 的坐标为(secφ,tan φ),由 P 到直线 x-y=0 的距离 |secφ-tan φ| 为 2得 = 2 2 sin φ 1 得| - |=2,|1-sin φ|=2|cos φ| cos φ cos φ 平方得 1-2sin φ+sin 2φ=4(1-sin 2φ), 3 即 5sin φ-2sin φ-3=0.解得 sin φ=1 或 sin φ=-5. 2 3 4 sin φ=1 时, cos φ=0(舍去). sin φ=-5时, cos φ=± 5. 5 3 5 3 ∴P 的坐标为(4,-4)或(-4,4). 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的, 因而曲线的参数方程具有消元的作用,利用它可以简化某 些问题的求解过程,特别是涉及到最值、定值等问题的计 算时,用参数方程可将代数问题转化为三角问题,然后利 用三角知识处理. 1.求证:等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲 线的顶点. 证明:设双曲线为 x2-y2=a2,取顶点 A(a,0), 弦 B′B∥Ox, B(asec α, atan α), 则 B′(-asec α, atan α). atan α atan α ∵kB′A= ,kBA= , -asec α-a asec α-a ∴kB′A〃kBA=-1. ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点. 连接原点 O 和抛物线 2y=x2 上的动点 M,延长 OM 到 P 点,使|OM|=|MP|,求 P 点的轨迹方程,并说明 它是何曲线. [ 精讲详析 ] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其 应用. 解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出 M、 P 的坐标,然后借助中点坐标公式求解. 设 M(x、y)为抛物线上的动点,P(x0,y0)在抛物线 的延长线上,且 M 为线段 OP 的中点,抛物线的参数方 ? ? ?x=2t, ?x0=4t, ? 程为 由中点坐标公式得? 2 2 ? ? y = 2 t , y = 4 t , ? ? 0 1 2 变形为 y0=4x0,即 x2=4y.表示的为抛物线. 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时, 常根据需要引入一个中间变量即参数(将 x,y 表示成关 于参数的函数), 然后消去参数得普通方程. 这种方法是 参数法,而涉及曲线上的点的坐标时,可根据曲线的参 数方程表示点的坐标 2.已知抛物线 2 ? ?x=2t , C:? (t ? ?y=2t 为参数),设 O 为坐 标原点,点 M 在抛物线 C 上,且点 M 的纵坐标为 2, 求点 M 到抛物线焦点的距离. 2 ? ?x=2t , 解:由? 得 y2=2x, ? ?y=2t 即抛物线的标准方程为 y2=2x. 又∵M 点的纵坐标为 2, ∴M 点的横坐标也为 2.即 M(2,2). 1 又∵抛物线的准线方程为 x=-2. 1 1 5 ∴由抛物线的定义知|MF|=2-(-2)=2+2=2. 5 即点 M 到抛物线焦点的距离为2. 如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线 ? ?x=4secθ , ? (θ ? y = 3tan θ ? 为参数)的右顶点和右焦点,求该椭圆上的 点到双曲线渐近线的最大距离. [精讲详析] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程,解 答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程, 然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可. x2 y2 ∵16- 9 =1,∴右焦点(5,0),右顶点(4,0). x2 y 2 x2 y2 设椭圆a2+b2=1,∴a=5,c=4,b=3.∴方程为25+ 9 =1. 设椭圆上一点 P(5cos θ,3sin θ), 双曲线一渐近线为 3x-4y=0, |3×5cos θ-12sin θ| ∴点 P 到直线的距离 d= 5 3| 41sin (θ-φ)| 5 = (tan φ=4). 5 3 41 ∴dmax= 5 . 对于同一个方程,确定的参数不同, 所表示的曲 线就不同,当题目条件中出现多个字母时,一定要注 明什么是参数,什么是常量,这一点尤其重要. 3.(广东高考)已


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