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内蒙古准格尔旗世纪中学人教版高中数学必修二教案:4.2《圆与圆的位置关系》

《圆与圆的位置关系》教案 一、学习目标 1、会熟练地运用几何法和代数法判断圆与圆之间的位置关系; 2、能熟练地解决求公共弦方程和公共弦长问题. 【教学效果】:教学目标的给出,有利于学生整体上把握课堂. 二、教学过程 1、圆与圆的位置关系问题 <1>圆与圆的位置关系有几种? <2>你能分别用几何方法和代数方法判断圆与圆的位置关系吗?
结论:<1>外离、 内含(特殊情况:同
<2> 几何法:若

外切、相交、内切、 心圆); 两圆的半径分别为

r1、r2 ,两圆的圆心
置关系判断如表所 两圆的方程组成方程组.则方程组解的个数与两圆的位置关系如表所示.

距为 d ,则两圆的位
示: 代数法:联立

思考:当 d ? R ? r 时,两圆一定相交吗?
题型一:判断两圆的位置关系(几何法与代数法) 【教学效果】:需要学生能用几何法和代数法两种方法来判断圆与圆的位置关系.

2、求公共弦方程及公共弦长问题

<3>将两个圆的方程相减(把两圆方程中 x2、y 2 的系数化简为相同),我们就能得到两圆的公共

弦方程(如果存在的话),你能解释一下原因吗?

结论:<3>若将两圆的方程相减,得到一个一元一次方程,即直线方程,由于它过两圆的交点, 所以它是相交两圆的公共弦方程;<4>先求出公共弦方程,然后根据点(圆心)到直线距离公式

求出弦心距,再根据勾股定理求出公共弦长. <4>若已知两圆的方程(相交),让你求公共弦长,你能提供一个可行的方案吗?试着想一下!
题型二:求公共弦方程、公共弦长问题

例题:已知圆 C1 : x2 ? y2 ? 2x ? 6 y ?1 ? 0 ,圆 C2:x2 ? y2 ? 4x ? 2y ?11 ? 0 ,求两圆的公共线所在的直线方程及公共弦长.

结 论 : 设 两 圆 的 交 点 为 A(x1, y1)、B(x2 , y2 ) , 则 A 、 B 两 点 满 足 方 程 组 x2 ? y2 ? 2x ? 6 y ?1 ? 0 且 x2 ? y2 ? 4x ? 2y ?11 ? 0 ,将两个方程相减得 3x ? 4y ? 6 ? 0 ,即

为两圆公共弦所在的方程.易知圆 C1 的圆心(-1,3),半径 r=3.,下面我们可以用点到直线的距

离公式可以求得点C1到直线的距离为 d ?| ?1?3 ? 4?3 ? 6 | / 32 ? 42 ? 9 / 5.所以我们可以结合

图形得到 AB=2 r2 ? d 2 =24/5,即两圆的公共弦长为 24/5.
【教学效果】:公共弦问题在高考中常以选择和填空题的形式出现,是一个重要的考点. 3、与两圆相切的有关问题
与两圆相切的问题很多,我们不可能一一的讲解,只能试举一例,管中窥豹,希望同学们可 见一般.
题型三:与两圆相切的有关问题
例题:求与圆 C : x2 ? y2 ? 2x ? 0 外切且与直线 l : x ? 3y ? 0 相切与点 M(3,? 3)的圆的
方程.
结论:圆 C 的方程可化为 (x ?1)2 ? y2 ? 1,圆心为 C(1,0),半径为 1.设所求圆的方程为 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) ,由题意我们可以得到下列三个方程:
(a ?1)2 ? b2 ? r ?1、[(b ? 3) /(a ? 3)]? (? 3 / 3) ? ?1、
| a ? 3b | / 2 ? r ,联立可以解得 a=4,b=0,r=2.所以,所求圆的方程为: (x ? 4)2 ? y2 ? 4 .
【教学效果】:意培养学生解决问题分析问题的能力. 三、小结
本节课主要学习了圆与圆的位置关系、公共弦长、两圆相切的问题.学习完这节课要求学生 能熟练的判断圆与圆的位置关系,解决公共弦方程和公共弦长问题. 四、教学反思
要注意培养学生解决问题、分析问题的能力.引导学生用数形结合的思想来解决问题.



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