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高中数学北师大版选修1-2学案:章末分层突破3 含解析

章末分层突破 [自我校对] ①合情推理 ②间接证明 ③归纳推理 ④综合法 ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 合情推理 1.归纳推理的特点及一般步骤 2.类比推理的特点及一般步骤 1 3 1 1 5 1 1 1 7 (1)观察式子:1+ 2< ,1+ 2+ 2< ,1+ 2+ 2+ 2< ,?,由此可 2 2 2 3 3 2 3 4 4 归纳出的式子为( ) 1 1 1 1 A.1+ 2+ 2+?+ 2< 2 3 n 2n-1 1 1 1 1 B.1+ 2+ 2+?+ 2< 2 3 n 2n+1 1 1 1 2n-1 C.1+ 2+ 2+?+ 2< 2 3 n n 1 1 1 2n D.1+ 2+ 2+?+ 2< 2 3 n 2n+1 (2)两点等分单位圆时,有相应正确关系为 sin α+sin(π+α)=0;三点等 2π? 4π? ? ? 分单位圆时,有相应正确关系为 sin α+sin?α+ ?+sin?α+ ?=0,由此可以 3? 3? ? ? 推知,四点等分单位圆时的相应正确关系为__________. 【精彩点拨】 (1)观察各式特点,找准相关点,归纳即得. (2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论. 【规范解答】 1 1 1 2n-1 (1)由各式特点,可得 1+ 2+ 2+?+ 2< .故选 C. 2 3 n n (2)用两点等分单位圆时,关系为 sin α+sin(π+α)=0,两个角的正弦值 之和为 0,且第一个角为 α,第二个角与第一个角的差为(π+α)-α=π, 2π? 4π? ? ? 用三点等分单位圆时,关系为 sin α+sin?α+ ?+sin?α+ ?=0,此时三 3? 3? ? ? 个角的正弦值之和为 0,且第一个角为 α,第二个角与第一个角的差与第三个角 4π? ? 2π? ? 2π? 2π ? 与第二个角的差相等,即有?α+ ?-?α+ ?=?α+ ?-α= . 3? ? 3? ? 3? 3 ? 依此类推,可得当四点等分单位圆时,为四个角正弦值之和为 0,且第一个 角为 α,第二个角为 2π 2π π π +α= +α,第三个角为 +α+ =π+α,第四个角为 π 4 2 2 4 +α+ π? 3π? 2π 3π ? ? = +α,即其关系为 sin α+sin?α+2?+sin(α+π)+sin?α+ ?=0. 2? 4 2 ? ? ? (1)C π? 3π? ? ? (2)sin α+sin?α+2?+sin(α+π)+sin?α+ ?=0 2? ? ? ? 【答案】 [再练一题] ?1 ? 1.已知函数 y=sin4x+cos4x(x∈R)的值域是? ,1?,则 ?2 ? (1)函数 y=sin6 x+cos6x(x∈R)的值域是__________; (2)类比上述结论,函数 y=sin2n x+cos2nx(n∈N+)的值域是__________. 【解析】 (1)y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2 xcos2 x+cos4 3 x)=sin4x-sin2xcos2 x+cos4x=(sin2 x+cos2 x)2-3sin2xcos2x=1- sin2(2x) 4 3 =1- (1-cos 4x) 8 5 3 ?1 ? = + cos 4x∈? ,1?. 8 8 ?4 ? (2)由类比可知,y=sin2nx+cos2nx 的值域是[21-n,1]. 【答案】 ?1 ? (1)? ,1? ?4 ? (2)[2 1-n, 1] 综合法与分析法 1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法, 也是解决数学问题 的常用的方法,综合法是由因导果的思维方式,而分析法的思路恰恰相反,它是 执果索因的思维方式. 2.分析法和综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯,综合法是 顺推, 二者各有优缺点. 分析法容易探路, 且探路与表述合一, 缺点是表述易错; 综合法条理清晰,易于表述,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成 分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件. 1 1 1 设 a>0,b>0,a+b=1,求证: + + ≥8.试用综合法和分析法 a b ab 分别证明. 【精彩点拨】 1 1 1 (1)综合法:根据 a+b=1,分别求 + 与 的最小值. a b ab (2)分析法:把 【规范解答】 1 a+b 1 1 变形为 = + 求证. ab ab a b 法一:(综合法) ∵a>0,b>0,a+b=1, 1 1 1 ∴1=a+b≥2 ab, ab≤ ,ab≤ ,∴ ≥4. 2 4 ab 1 1 b a ?1 1? 又 + =(a+b)? + ?=2+ + ≥4, a b a b ?a b? 1 1 1 1 ? ? ∴ + + ≥8?当且仅当a=b= 时等号成立?. 2 a b ab ? ? 法二:(分析法) ∵a>0,b>0,a+b=1, 1 1 1 要证 + + ≥8, a b ab ?1 1? a+b 只要证? + ?+ ≥8, ab ?a b? ?1 1? ?1 1? 只要证? + ?+? + ?≥8, ?a b? ?b a? 1 1 即证 + ≥4. a


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