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江苏省扬州市邗江中学(集团)2014-2015学年高二数学下学期期中试题(新疆班)


2014-2015 学年度第二学期邗江中学新疆班高二年级 期中数学试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)

10? = 。 3 m ? 2i (m ? R, i 是虚数单位)为纯虚数,则 m = 2、若复数 1? i
1、计算: cos



3、某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x , 8,10,11,9 。已知这组数据的平 均数为 10,则其方差为 。

4、已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,若 a1 ? 3 ,前三项的和为 21 , 则 a 4 ? a5 ? a 6 ? 。

5、设 P和Q 是两个集合,定义集合 P ? Q ? ?x | x ? P, 且x ? Q

?,若 P ? ?1,2,3,4?,

? 1 Q ? ? x | x ? ? 2, x ? R ?,则 P ? Q ? 2 ?
6、根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 I 为

。 。

7、已知扇形的周长为 8cm ,则该扇形面积的最大值为

cm2 。

8、 过椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线, 与椭 a2 b2

圆 的 另 一 个 交 点 为 M , 与 y 轴 的 交 点 为 B 。 若 AM ? MB , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 为 。

9、若方程 lg | x |? ? | x | ?5 在区间 (k , k ? 1)(k ? z ) 上有解,则所有满足条件的 k 的值的和 为 。

10、如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A 、 B ,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向,海 上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75 方向,与 A 相距 3 2 海里的
?
D A

D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏西 60 方向,与 B 相距 5 海里的 C 处,则两艘
船之间的距离为 海里。
C B 第(10 )题

?

-1-

11、如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点,若截面 ?BC1 D 是面积为 6 的直角三角形,则此三棱柱的体积为 。
A1 C1

B1 D

A

C B 第(11)题

12、设 p :函数 f ( x) ? 2| x?a| 在区间 (4,??) 上单调递增; q : loga 2 ? 1,如果命题“┐p” 与 q 都是真命题,那么实数 a 的取值范围是 13、如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB ? 2 , 。

M 为 BC 的中点,若 N 为正


D N

C

方形内(含边界)任意一点,则 AM ? AN 的最大值是

M

4 14、已知函数 f ( x) ? ax ? x , x ? [ ,1] , A, B 是其图象上不同的两点.若直线

1 2

A 第(13)题

B

1 AB 的斜率 k 总满足 ? k ? 4 ,则实数 a 的值是 2



二、解答题 15、 (本题满分 14 分) 某学校篮球队,羽毛球队、乒乓球队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图 所示,现从中随机抽取一名队员,求: (1) 该队员只属于一支球队的概率; 蓝球 (2)该队员最多属于两支球队的概率 2
5 2 1 4 乒乓球 3

羽毛球 3

16 、 (本题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 中为菱形,

第15 题

?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点。
(1) 若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (2) 点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定实数 t 的值,使得 PA || 平面 MQB 。
P M

D Q A B

C

-2-

17、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x 。 (1) 求函数 f ( x) 在 [ ?

? ?

, ] 上的值域; 6 3

(2) 在 ?ABC 中,若 f (C ) ? 2,2 sin B ? cos(A ? C ) ? cos(A ? C ) ,求 tan A 的值。

18、 (本题满分 16 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知抛物线 y 2 ? 2 px 横坐标为 4 的点到 该抛物线的焦点的距离为 5。 (1) 求抛物线的标准方程; (2) 设点 C 是抛物线上的动点,若以 C 为圆心的圆在 y 轴上截得的弦长为 4 ,求证: 圆 C 过定点。

19、 (本题满分 16 分)在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? p ? 0 ,且, n ? N (1) 若数列 ?an ? 为等差数列,求 p 的值。 (2) 求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n

2 20、 (本题满分 16 分)设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? a | ln x ? 1 | .

(1) 当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2) 当 x ? [1,??) 时,求函数 f ( x) 的最小值.

-3-

参考答案 一、填空 1、 ?

1 6 ;2、 2 ;3、 2 ;4、 168 ;5、 ?4?;6、5;7、 4 ;8、 ;9、 ? 1 ; 2 3
9 。 2

10、 13 ;11、 8 3 ;12、 (4,??) ;13、 6 ;14、

二、解答题 1`5、 (本题满分 14 分) 解: (1) (设“该队员只属于一支球队的”为事件 A,则事件 A 的概率

P( A) ?

12 3 ? 20 5 2 9 ? 20 10

(2)设“该队员最多属于两支球队的”为事件 B,则事件 B 的概率为 P ( A) ? 1 ? 答: (略) 16、 (本题满分 14 分) 解: (1)连 BD ,四边形 ABCD 菱形

? AD ? AB , ?BAD ? 60?
P M

? ?ABD为正三角形 Q为AD中点
? AD ? BQ

? PA ? PD

Q 为 AD 的中点, AD ? PQ
Q

D O N A B

C

又 BQ ? PQ ? Q

? AD ? 平面PQB , AD ? 平面PAD ? 平面PQB ? 平面PAD
(2)当 t ?

1 时,使得 PA || 平面MQB ,连 AC 交 BQ 于 N ,交 BD 于 O ,则 O 为 BD 的 3

中点,又? BQ 为 ?ABD 边 AD 上中线,? N 为正三角形 ABD 的中心,令菱形 ABCD 的边 长为 a ,则 AN ?

3 a , AC ? 3a 。 3
PA ? 平面PAC

? PA || 平面MQB
? PA || MN

平面PAC ? 平面MQB ? MN

3 a PM AN 1 3 ? ? ? PC AC 3a 3

即: PM ?

1 PC 3

t?

1 。 3
-4-

17、解: (1) f ( x) ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?
2

?
6

) ?1

??

?
6

?x?

?
3

??

?
6

? 2x ?

?

? 0 ? sin( 2 x ?

?
6

5 1 ? ? ? , ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 6 6 2 6

) ?1 ? 3

f ( x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的值域为 [0,3] 6 3

(2) f (c) ? 2 sin( 2c ?

?

6

) ?1 ? 2

sin( 2c ?

?

?o ? c ? ?
? 2c ?

?

?
6

? 2c ?

?
6

? 2? ?

?

6

)?

1 , 2

?
6

?

5? ? ,c ? 6 3

6

? 2 sin B ? cos(A ? c) ? cos(A ? C ) ? 2 sin A sin C ? sin( A ? C ) ? sin A sin C
sin A cos C ? cos A sin C ? sin A sin C

sin C tan A ? ? sin C ? cosC
18、解: (1)依题意,得:

sin sin

?
3

?
3

? cos

?
3

?

3? 3 2

p ? 4 ? 5 ,? p ? 2 。 2
2

抛物线标准方程为: y ? 4 x
2 y0 , y 0 ) ,半径为 r 。 (2)设圆心 C 的坐标为 ( 4

? 圆心 C 在 y 轴上截得的弦长为 4

?

r2 ? 4 ? (

2 y0 )2 4 2 y0 y2 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? 4 ? ( 0 ) 2 4 4
2 2

圆心 C 的方程为: ( x ?

从而变为: (1 ? ) y 0 ? 2 yy 0 ? ( x ? y ? 4) ? 0
2

x 2



对于任意的 y 0 ? R ,方程①均成立。

-5-

x ? ? 1? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 故有: ? ? 2 y ? 0 解得: ? ?y ? 0 ?x 2 ? y 2 ? 4 ? ? 所以,圆 C 过定点(2,0) 。
19、解: (1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 an ? a1 ? (n ? 1)d , an?1 ? a1 ? nd , 依题得: [a1 ? (n ? 1)d ](a1 ? nd) ? n 2 ? 3n ? 2 ,对 n ? N 恒成立。 即: d 2 n 2 ? (2a1d ? d 2 )n ? (a1 ? a1d ) ? n 2 ? 3n ? 2 ,对 n ? N 恒成立。
2
? ?

? d2 ?1 ? d ? 1 ? d ? ?1 ? 2 所以 ?2a1 d ? d ? 3 ,即: ? 或? ?a1 ? 2 ?a1 ? ?2 ?a 2 ?a d ? 2 1 ? 1

? a1 ? p ? 0 ,故 p 的值为 2。
(2)? an?1 ? an ? n 2 ? 3n ? 2 ? (n ? 2)(n ? 3)

? an?2 ? an?1 ? (n ? 2)(n ? 3)
所以,

an?2 n ? 3 ? an n ?1 a3 4 a5 6 a n ?1 。 ? , ? ,??, n ? a1 2 a3 4 an?2 n ? 1

① 当 n 为奇数,且 n ? 3 时,

相乘得

an n ? 1 n ?1 p. 当 n ? 1 也符合。 ? , 所以 a n ? 2 a1 2 a a a4 5 7 n ?1 ? , 6 ? ?? n ? a2 3 a4 5 an?2 n ? 1

② 当 n 为偶数,且 n ? 4 时,

相乘得

an n ? 1 n ?1 a2 ? , 所以 a n ? 3 a2 3
6 2(n ? 1) 。因此 a n ? ,当 n ? 2 时也符合。 p p

? a1 ? a2 ? 6 ,所以 a 2 ?

? n ?1 p, n为奇数 ? ? 2 所以数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? ? 。 2(n ? 1) , n为偶数 ? ? ? p
-6-

当 n 为偶数时,

n n n (1 ? ) (3 ? n ? 1) 6 10 n 2(n ? 1) 2 2 2 2 S n ? p ? ? 2 p ? ? ?? ? p ? ? p? ? ? p p 2 p 2 p 2

?

n(n ? 2) n(n ? 4) p? 8 2p

当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数,

S n ? S n?1 ? a n ?

(n ? 1)(n ? 1 ? 2) (n ? 1)(n ? 1 ? 4) n ? 1 p? ? p 8 2p 2

?

(n ? 1)(n ? 3) (n ? 1)(n ? 3) p? 8 2p

所以

(n ? 1)(n ? 3) ? (n ? 1)(n ? 3) p? , n为奇数 ? ? 8 2p Sn ? ? n(n ? 2) n(n ? 4) ? p? ,n 为偶数 ? 8 2p ?

20、解(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? | ln x ? 1 | 令x ?1 得 f (1) ? 2, f ?(1) ? 1, 所以切点为(1,2) ,切线的斜率为 1,

所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为: x ? y ? 1 ? 0 。
2 (2)①当 x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?

a ( x ? e) x

? a ? 0 ,? f ( x) ? 0 恒成立。 ? f ( x) 在 [e,??) 上增函数。
故当 x ? e 时, ymin ? f (e) ? e ②
2

2 当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? 1,

f ?( x) ? 2 x ?

a 2 a a ? (x ? )(x ? ) (1 ? x ? e ) x x 2 2

(i)当

a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f ?( x) 在 x ? (1, e) 时为正数,所以 f ( x) 在区间 [1, e) 上为 2

增函数。故当 x ? 1 时, y min ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e)

-7-

(ii)当 1 ?

a a a 2 即 2 ? a ? 2e 时,f ?( x) 在 x ? (1, 在间 x ? ( ? e, ) 时为负数, ,e) 时 2 2 2 a a ) 上为减函数,在 ( , e] 上为增函数 2 2

为正数。所以 f ( x) 在区间 [1,

故当 x ?

3a a a a a ? ln ,且此时 f ( ) ? f (e) 时, y min ? 2 2 2 2 2

(iii)当

a ? e ;即 a ? 2e 2 时, f ?( x) 在 x ? (1, e) 时为负数,所以 f ( x) 在区间[1,e]上 2
为减函数,故当 x ? e 时, ymin ? f (e) ? e 2 。

2 2 综上所述,当 a ? 2e 时, f ( x) 在 x ? e 时和 1 ? x ? e 时的最小值都是 e 。 2 所以此时 f ( x) 的最小值为 f (e) ? e 2 ;当 2 ? a ? 2e 时, f ( x) 在 x ? e 时的最小值为

f(

a 3a a a a )? ? ln ,而 f ( ) ? f (e) , 2 2 2 2 2
所以此时 f ( x) 的最小值为 f (

a 3a a a )? ? ln 。 2 2 2 2

2 当 0 ? a ? 2 时,在 x ? e 时最小值为 e ,在 1 ? x ? e 时的最小值为 f (1) ? 1 ? a ,

而 f (1) ? f (e) ,所以此时 f ( x) 的最小值为 f (1) ? 1 ? a

所以函数 y ? f ( x) 的最小值为 y min

? 1 ? a,0 ? a ? 2 ? 3a a a ? ? ? ln ,2 ? a ? 2e 2 ?2 22 2 e , a ? 2e 2 ?

-8-



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