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高中数学理科人教A版选修(2-2)3.2.2《复数代数形式的乘除运算》word教案

教学目标: 知识与技能: 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则, 深刻理解它是乘法运 算的逆运算 过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观:复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不 易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践 的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点:复数代数形式的除法运算。 教学难点:对复数除法法则的运用。 教具准备:多媒体、实物投影仪。 教学设想: 如果两个复数的实部和虚部分别相等, 那么我们就说这两个复数相等即: 如果 a, b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d,只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 教学过程: 学生探究过程: 1.虚数单位 i :(1)它的平方等于-1,即 i 2 ? ?1 ; (2)实数可以与它进行四则运算,进行 四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 2. i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根,即方程 x2=-1 的一个根,方程 x2=-1 的 另一个根是- i 3. i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1 4.复数的定义:形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部全 体复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示, 即 z ? a ? bi(a, b ? R) , 把复数表示成 a+bi 的形式,叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 a ? bi(a, b ? R) ,当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、b∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时, z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0. 5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个 复数相等即:如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就 可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴: 点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点 Z(a,b)表示,这个建立 了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为 (0,0), 它所确定的复数 是 z=0+0i=0 表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 8.复数 z1 与 z2 的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9. 复数 z1 与 z2 的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 讲解新课: 1.乘法运算规则: 规定复数的乘法按照以下的法则进行: 设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac- bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i2 换成-1,并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律: (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i, z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又 a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵(z1z2)z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i](a3+b3i) =[(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i, 同理可证: z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i, ∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i] =[a1(a2+a3)-b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-


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