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高考试卷广东省珠海市2015届高三下学期学业质量监测(二模)数学文试题


试卷类型:B
免费在线作业标准 100 分答案

珠海市 2014-2015 学年度第二学期高三学生学业质量监测 文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

选择题答案:ADBCD

BDBAC

1.已知全集 U=R,集合 A ? x ? R ? 2 ? 2x ? 1 ,集合 B ? x ? R x ? 1 ,则 CU ( A ? B) ?

?

?

?

?

? 1] ? ( , ? ?) A. ( ?? ,

1 2

B. ( ?1 , ]

1 2

? 1) ? [ ? C. ( ?? ,

1 , ? ?) 2

? ) D. (?1 ,

1 2

2.已知复数 z 满足方程 (3 ? i) z ? i ? 5 ? 0 ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是 A. ?

4 i 5
? ?

B.

4 i 5

C. ?

4 5
?

D.

4 5

3.已知向量 a 、 b ,命题 p : a ? b ? ?a ,命题 q : a ? ?b ,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要

? ?

?2

?

1) 的圆截弦长为 2 3 ,则圆 C 的方程为 4.一直线 l : x ? y ? 4 被一圆心为 C (1,
A. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

B. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 4
2 2

C. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 5
2 2

D. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 6
2 2

5.已知函数 f ( x) 是定义在 ( ?6,6) 上的偶函数, f ( x) 在 [0, 6) 上是单调函数,且 f (?2) ? f (1) ,则 下列不等式成立的是 A. f (?1) ? f (1) ? f (3) C. f (?2) ? f (0) ? f (1) 6.将函数 y ? sin(2 x ? B. f (2) ? f (3) ? f (?4) D. f (5) ? f (?3) ? f (?1)

?
3

) 的图像向右平移

7? 个单位,再将图像上每个点的横坐标扩大到原来的2 12

倍,纵坐标不变,得到的图像对应的函数表达式是

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A. y ? sin( x ?

5 ?) 6

B. y ? cos x

C. y ? sin( 4 x ?

5 ?) 6

D. y ? cos 4 x

7. l 、m 是空间两条直线, ? 、? 是空间两个平面,则 A. l // m , l ? ? , m ? ? ,则 ? // ? C. ? ? ? , l // ? , m // ? ,则 l ? m B. l ? m , l ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? D. l ? ? , l // m , m ? ? ,则 ? ? ?

0) ,C(2 , 0) , A 为动点, ?ABC 的周长为 10 ,则动点 A 的满足的方程为 8.已知 B(?2 ,
A.

x2 y 2 ? ?1 6 5

B.

x2 y 2 ? ?1 9 5

C.

x2 y 2 ? ?1 9 4

D.

x2 y 2 ? ?1 8 4

9.如图,一个旋转体沙漏,上部为一倒立圆台,下部为一圆柱,假定单位时间流出的沙量固定,并 且沙的上表面总能保持平整, 设沙漏内剩余沙的高度 h 与时间 t 的函数为 h ? f (t ) , 则最接近 f (t ) 的 图像的是

A

B

C

D

? xn ?1 ? yn ? xn (n ? N ) 为点 Pn ( xn,yn ) 到点 Pn?1 ( xn?1,yn?1 ) 的一个变换: 10.在平面直角坐标系中,定义 ? “附中变 ? yn ?1 ? yn ? xn 换” .
, 1),P2 ( x2,y2 ), ?,Pn ( xn,yn ),Pn?1 ( xn?1,yn?1 ) 是经过“附中变换”得到的一列点,设 an ? | Pn Pn ?1 | , 已知 P 1 (0

数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn ,那么 S10 的值为

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A. 31(2 ? 2)

B. 31(2 ? 2)

C. 31( 2 ? 1)

D. 31( 2 ? 1)

二、填空题:本大题共 5 小题,考生做答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中第 14~15 题是选 做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 11.某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查.已知该社区的青年人、中年人和老年人分 别有 800 人、1600 人、1400 人,若在老年人中的抽样人数是 70,则在中年人中的抽样人数应该 是______.80 12.已知 ?a n ?为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a10 的等比中项,则 s10 ? ________. 270

1) 上有增区间,则 a 的取值范围是 13.已知函数 f ( x) ? ax ? x ? 1在 (0 ,
3 2

? ?) .( ,

2 3

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) , ? y ? 2 ? 2sin ? 若以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的极坐标方程为___ ? ? 4 sin ? __.
14.(参数方程与极坐标选做题) 在直角坐标系中,圆 C 的参数方程为 ? 15. (几何证明选做题)如图,PA 切⊙ O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,PB=1, PA ? 3 ,OA 绕 点 O 逆时针旋转 60°到 OD,则 PD 的长为

7


C

D

A

O

B

P

第 15 题图 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、b 、c , sin 2 A ?

8 sin A , 5

?? ? b ? 3 , m ? (c ? a, b ? c) , n ? (a, b ? c) , m ? n .
(1)求 sin A ; (2)求角 B 与 c .

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解:(1)? ?ABC 中, 2sin A cos A ? sin 2 A ?

8 sin A ????????????????2分 5

? cos A ?

4 5

????????????????3分

A ? (0, ? ) ? sin A ?
(2)? m ? n

3 ????????????????4分 5

??

?

血清酒精 含量 常人精神

[0.2 0 00 ,0.4 0 00 ) 君子态(愉快)

[0.4 0 00 ,0.8 0 00 ) 孔雀态(炫耀)

[0.8 0 00 ,1.2 0 00 ) 狮子态(打架)

[1.2 0 00 ,1.6 0 00 ) 猴子态(失控)

[1.6 0 00 , ?? ) 狗熊态(昏睡)

? m ? n ? ac ? a2 ? b2 ? c2 ? 0 ????????????????5分
即 cos B ?

?? ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? ????????????????6分 2ac 2

? 0 ? B ? ? ????????????????7分

?B?

?

3

????????????????8分

? A?C ?

2? ????????????????9分 3

? sin C ? sin(
?

2? 3 1 3 4 1 3 3? 4 3 ,???????10分 ? A) ? cos A ? sin A ? ? ? ? ? 3 2 2 2 5 2 5 10

c b ? ????????????????11分 sin C sin B

b sin C ? ?c ? sin B

3?

3? 4 3 10 ? 3 ? 4 3 ????????????????12分 5 3 2

17. (本小题满分 12 分)2004 年 5 月 31 日国家制定了新的酒驾醉驾标准,车辆驾驶人员血液酒精 含量大于或等于 20mg /100ml(0.2 0 00 ) ,小于 80mg /100ml(0.8 0 00 )为饮酒驾车;大于或等于 80mg /100ml(0.8 0 00 )为醉酒驾车.以下是血清里酒精含量与常人精神状态关联的五个阶段:

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状态 但血清中的酒精含量在饮用等量酒的情况下,是因人而异有所不同的。下面是某卫生机构在 20~55 岁的饮酒男性志愿者中,随机选取 30 人作为样本进行测试。在饮用了 250ml( 60 0 0 )60 度纯粮白 酒(相当于 5 瓶啤酒)恰好一小时,血清中酒精含量(最大值)统计数据: 以上数据为参考依据. (1)试估计 20~55 岁的饮酒男性在饮用了 250ml( 60 0 0 )60 度纯粮白酒(相当于 5 瓶啤酒)恰好一 小时,血清中酒精含量 0.8 0 00 及以上的概率是多少? (2)在午夜 12 点,酒吧营业两小时,客人餐饮大约一小时。有 5 名 20~55 岁的男性(每人饮用相当 于60度纯粮白酒饮酒量 250ml 左右) 从酒吧走出并驾车离开 (已知其中 4 人血清酒精含量 0.8 0 00 及 以上,一人 0.8 0 00 以下) ,恰有两人途中被交警拦截检查,则这两人均是醉酒驾车的概率是多少? 解:

血清酒精 含量 人数

[0.2 0 00 ,0.4 0 00 ) 1

[0.4 0 00 ,0.8 0 00 ) 2

[0.8 0 00 ,1.2 0 00 ) 12 ?1分

[1.2 0 00 ,1.6 0 00 ) 13

[1.6 0 00 , ?? ) 2

(1)设“血清中酒精含量 0.8 0 00 及以上”的事件为 A 其中基本事件 n( A) ? 27 ,总事件数为 N ? 30

n( A) 27 9 ? ? ????????????????3分 N 30 10 9 ?血清中酒精含量 0.8 0 00 及以上的概率是 ????????????????4分 10
则 P( A) ? (2)设血清中酒精含量 0.8 0 00 以下那人为 a ,其余 4 人为 b 、c 、d 、e ??????????5分 个 人 两 两 组 合 共 有 ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de 十 种 , 其 中 b、 c 、 b d 、b、 e 、 c d 为二人均是醉驾,???????????????? c e d e 7分 设“二人均是醉驾”为事件 B ????????????????8 分 5 故 n( B) ? 6 , N ? 10

6 3 ? ????????????????11 分 10 5 3 ?两人均是醉酒驾车的概率为 ????????????????12 分 5 P( B) ?

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18. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 为 一 多 面 体 ABCDFE , AB ? AD , AB // CD ,

CD ? 2 AB ? 2 AD ? 4 ,四边形 BEFD 为平行四边形, BD ? DF , ?BDF ?
(1) 求证:平面 BCE ? 平面 BEFD . (2) 求点 B 到面 DCE 的距离.

?
3

, DF ? BC ,

F E

D A
(Ⅰ)证明:取 CD 中点 G ,连接 BG ? AB // CD , CD ? 2 AB ? 2 AD ? 4 ? AB // GD , AB ? GD ? AD ? 2

C B

第 18 题图
F E

? AB ? AD ?四边形 ABGD 是正方形????????????????1分

D H A B

G C

? BD ? 2 2 , GB ? CD , BG ? GD ? GC ? 2 ? BC ? 2 2 ,且 ?ADB ? ?BDC ? ?BCD ? 45 ??2 分
0

? BD ? BC
? DF ? BC , BD ? DF ? D ? BC ? 平面 BDFE ????????????????4 分 ? BC ? 平面 BCE ?平面 BCE ? 平面 BEFD ????????????????6 分 (Ⅱ)解: 由(Ⅰ)知 BC ? 平面 BDFE , 1 ? VC ? BDE ? BC .S BDE ,??7 分 3 ? 2? 1 2? ? 2 3 ?? 8 由 ?BDF ? 得 ?DBE ? ,且 BD ? BE ? 2 2 , ? S DBE ? .BD .BE . sin 3 3 2 3
分 又 BC ? 2 2 ,

1 4 6 ??9 分 ? ?VC ? BDE ? BC.S BDE ? 3 3
设点 B 到面 DCE 的距离为 h ,由等体积法??10 分

?VC ? BDE ?

1 1 4 6 BC.S BDE ? .S DCE .h ? ??11 分 3 3 3

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在 ?DCE中 ,易得: DC ? CE ? 4,DE ? 2 6 ,? S DCE ?

60 ??13 分

h?

4 10 ??14 分 10

19.(本小题满分 14 分)已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .
2 (1)若 4Sn ? an ? 2an ?1 ? 0 ,求 ?an ? 的通项公式;

(2)若 ?an ? 是等比数列,公比为 q ( q ? 1 , q 为正常数),数列 ?lg an ? 的前 n 项和为 Tn , 值,求 a1 . ( 1 ) 证 明 : 由
2 4Sn ? an ? 2an ?1 ? 0

T( k ?1) n Tkn

为定

?

?

?





4a1 ? a12 ? 2a1 ?1 ? ?a12 ? 2a1 ?1 ? ?(a1 ?1)2 ? 0

? a1 ? 1
?1分
2 由①得,当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ?1 ? 2an?1 ?1 ? 0

???????????????

???②

①-②得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0

? an ? 0

? an ? an?1 ? 2 ? 0 ,即 an ? an?1 ? 2
2分

????????????????

? ?an ? 是首项为1,公差为2的等差数列
3分

????????????????

? an ? 2n ? 1
(2)解:由题设 an ? a1q

????????????????4分
n ?1

,???????????5分

令 bn ? lg an ? n lg q ? lg a1 ? lg q

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故 ?lg an ? 是 lg a1 为首项, lg q 为公差的等差数列?????????6分 若

T( k ?1) n Tkn

为定值,令

T( k ?1) n Tkn

? p (定值)



(k ? 1)n lg a1 ?

(k ? 1)n[(k ? 1)n ? 1] lg q 2 ? p ?????????????7分 kn(kn ? 1) kn lg a1 ? lg q 2

即 {[(k ? 1)2 ? pk 2 ]lg q}n ? [(k ? 1) ? pk ](lg

a12 ) lg q ? 0 对 n ? N ? 恒成立???????8分 q

? q ? 1,q ? 0

?等价于 ?
由①得:

?(k ? 1) 2 ? pk ? 0 ??? ① ????????????????9分 2 ?? ② ? (k ? 1) ? pk ? 0或a1 ? q
k +1 ? k p 代入 (k ? 1) ? pk ? 0 得 p ? 0 或 p ? 1 ??????????10分

? k ? N ? ,? p ? 0 且 p ? 1 ???????11分

? a12 ? q ????????????????12分
? an ? 0 ,? q ? 0 ,? a1 ? q ??????14分

2 2 20.(本小题满分 14 分)已知 a ? 0, a ? 1, f ( x) ? x ? ak , g ( x) ? x ? a .

(1)若方程 loga

f ( x)

? loga g ( x) 有解,求 k 的取值范围;

(2)若函数 h( x) 满足: h?( x) ? g ( x) ? kf ( x) ,求当 a ? 2 时函数 h( x) 的单调区间.

?1? ? x ? ak ? 0....... ? 2 2 ?2? 解: (1)由题意得: ? x ? a ? 0...... ......2 分(全对 2 分,不全对最多 1 分) ?( x ? ak) 2 ? x 2 ? a 2 ...... ?3? ?
易知[1][3]成立时,[2]显然成立,所以只需解[1][3]。 由[3]得: 2kx ? a(1 ? k ) ......[4]......3 分
2

当 k ? 0 时,由 a ? 0 知[4]无解;......4 分

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所以 k ? 0 , x ?

a(1 ? k 2 ) ,代入[1]得: 2k

a(1 ? k 2 ) (1 ? k 2 ) (1 ? k 2 ) (1 ? k 2 ) ? ak ? ?k? ?k ?0? ?0 2k 2k 2k k

即k (1 ? k )(1 ? k ) ? 0 ......6 分
4 7 4 7 当k ? ? 或者k ? 时,? ? 0,h?( x) ? 0恒成立, ? k ? (??,?1) ? (0,7 1) 7 ..........10分 ...... ? h( x)在R上单调递增;
7分

当?

4 7 4 7 ?k? 时,? ? 0, 7 7

k ? 16 ? k 2 k ? 16 ? k 2 , x2 ? ........11分 2 2 (2) 当x ? x1或者x ? x2时,h?( x ) ? 0, 所以h( x )在(??, x1 )和( x2 , ??)单调递增; 令h?( x) ? 0,得x1 ?

h?( x) ?同理, g ( x) ? (在 x)( x ? x2 kx ? 2k 2 , ? 4 13分 hkf ( x) , x2? )单调递减 ......... 1
? 当k ? ?

.... ..8 分

4 7 4 7 或k ? 时,h( x )的递增区间为R; 7 7

4 7 4 7 k ? 16 ? k 2 k ? 16 ? k 2 当? ?k? 时,h( x )的递增区间为(??, ), ( , ??); 2 7 7 2 2 ? ? 16 ? 7k k ? 16 ? k 2 k ? 16 ? k 2 递减区间为 ( , )..........14分 .... 2 2
..9 分

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x2 y2 ? 1(a ? 2) . 21. (本小题满分 14 分)已知双曲线 E : 2 ? 2 a a ?4
(1)若 E 的离心率为

14 ,求 E 的方程; 3

( 2 ) 设 E 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,点 P 为双曲线上的点,直线 F2 P 交 y 轴于点 Q ,并且

F1P ? F1Q ,当 a 变化时,若点 P 是第一象限内的点,则点 P 在某一条定直线上吗?如果这条定直
线存在,请求出直线方程;如果不存在这条定直线,请说明理由. (1)解: e ?
2

a 2 ? (a 2 ? 4) 14 ,…(2分) ? a 3

解得: a ? 9 …(3分)

? a ? 0 ,? a ? 3 …(4分)

E:

x2 y2 ? ? 1 …(5分) 9 5

(2)解:假设这条定直线存在. 设 P ( x, y ) 、 Q(0, yQ ) ,而 c ? 2a2 ? 4 , F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) 由 P 、 F2 、 Q 三点共线知

y ? yQ x

?

y ( x ? c, x ? 0) ,…(6分) x?c

即 yQ ?

? yc ,…(7分) y?c
? yc ) …(8分) x?c
2

F Q ? ( c, 所以 F 1P ? ( x ? c, y) , 1

y 2c ? 0 ,…(9分) 因为 F1 P ? F1Q ,所以 F1 P ? F1Q ? xc ? c ? x?c
故 x ? y ? c ,即 x ? y ? 2a ? 4 ,…(10分)
2 2 2 2 2 2

与双曲线方程联立得:

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? x 2 ? y 2 ? 2a 2 ? 4 ? 2 ?x y2 ?1 ? 2? 2 a ?4 ?a
a4 ( a 2 ? 4) 2 2 解得 x ? ,y ? ,…(12分) 4 4
2

若点 P 为第一象限内的点,则 x ? 0 , y ? 0 , 所以 x ?

a2 a2 ? 4 ,y? ,…(13分) 2 2

? x ? y ? 2,
即点 P 在定直线 x ? y ? 2 上.…(14分)

-END-



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