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2011年高考数学试题分类汇编--概率统计与排列组合二项式定理


2011 年高考数学试题分类汇编

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概率统计与排列组合二项式定理 概率统计与排列组合二项式定理
安徽理 (12)设 ( x ?1) 21 = a0 + a1 x + a2 x 2 + L a21 x 21 ,则
11 (12) C20 【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.

.

【解析】 a10 = C21 ( ?1) = ?C21 , a11 = C21 ( ?1) = C21 ,所以
10 11 10 11 10 11
11 10 10 11 10 11 a10 + a11 = C21 ? C21 = C20 + C20 ? C21 = C20 .

(20) (本小题满分 13 分) 工作人员需进入核电站完成某项具有 高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人 只派一次,工作时间不超过 10 分钟,如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出,再派下 一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别

p1 , p2 , p3 p1 , p2 , p3 ,假设 p1 , p2 , p3 互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
(Ⅰ)如果按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个 人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化? (Ⅱ)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为 q1 , q2 , q3 ,其中

q1 , q2 , q3 是 p1 , p2 , p3 的一个排列, 求所需派出人员数 目 X 的分布列和均值 (数字期望)EX ;
(Ⅲ)假定 1 > p1 > p2 > p3 ,试分析以怎样的 先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数 目的均值(数字期望)达到最小。 (20) (本小题满分 13 分)本题考查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量及其分 布列、均值等基本知识,考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与 演绎推理,分类读者论论思想,应用意识与创新意识. 解: I) ( 无论以怎样的顺序派出人员, 任务不能被完成的概率都是 (1 ? p1 )(1 ? p 2 )(1 ? p 3 ) , 所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关,并等于

1 ? (1 ? p1 )(1 ? p 2 )(1 ? p 3 ) = p1 + p 2 + p 3 ? p1 p 2 ? p 2 p 3 ? p 3 p1 + p1 p 2 p3 .
(II)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 q1 , q 2 , q 3 时,随机变量 X 的分布列 为 X P 1 2 3

q1

(1 ? q1 )q 2

(1 ? q1 )(1 ? q 2 )

所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX 是
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EX = q1 + 2(1 ? q1 )q 2 + 3(1 ? q1 )(1 ? q 2 ) = 3 ? 2q1 ? q 2 + q1 q 2 .
(III) (方法一)由(II)的结论知,当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,

EX = 3 ? 2 p1 ? p 2 + p1 p 2 .
根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明:对于 p1 , p 2 , p 3 的任意排列 q1 , q 2 , q 3 ,都有

3 ? 2q1 ? q 2 + q1 q 2 ≥ 3 ? 2 p1 ? p 2 + p1 p 2 , ……………………(*)
事实上, ? = (3 ? 2q1 ? q 2 + q1 q 2 ) ? (3 ? 2 p1 ? p 2 + p1 p 2 )

= 2( p1 ? q1 ) + ( p 2 ? q 2 ) ? p1 p 2 + q1 q 2 = 2( p1 ? q1 ) + ( p 2 ? q 2 ) ? ( p1 ? q1 ) p 2 ? q1 ( p 2 ? q 2 ) = (2 ? p 2 )( p1 ? q1 ) + (1 ? q1 )(( p 2 ? q 2 ) ≥ (1 ? q1 )[( p1 + p 2 ) ? (q1 + q 2 )] ≥ 0.
即(*)成立. (方法二) (i)可将(II)中所求的 EX 改写为 3 ? ( q1 + q 2 ) + q1 q 2 ? q1 , 若交换前两人的 派出顺序,则变为 3 ? ( q1 + q 2 ) + q1 q 2 ? q1 , .由此可见,当 q 2 > q1 时,交换前两人的派出顺 序可减小均值. (ii)也可将(II)中所求的 EX 改写为 3 ? 2q1 ? q 2 + q1 q 2 ,或交换后两人的派出顺序, 则变为 3 ? 2q1 ? q 3 + q1 q 3 .由此可见,若保持第一个派出的人选不变,当 q 3 > q 2 时,交换后 两人的派出顺序也可减小均值. 综合(i) (ii)可知,当 (q1 , q 2 , q 3 ) = ( p1 , p 2 , p 3 ) 时,EX 达到最小. 即完成任务概率大的 人优先派出,可减小所需派出人员数目的均值,这一结论是合乎常理的. 安徽文(9) 从正六边形的 6 个顶点中随机选 择 4 个顶点, 则以它们作为顶点的四边形是矩形的 安徽文 概率等于 (A)

1 10

(B)

1 8

(C)

1 6

(D)

1 5

(9)D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题. 【解析】通过画树状图可知从正六边形的 6 个顶点中随机选 择 4 个顶点,以它们作为顶点的 四边形共有 15 个,其中能构成矩形 3 个,所以是矩形的概率为

3 1 = .故选 D. 15 5

(20) (本小题满分 10 分) 某地最近十年粮食需求量逐年上升, 下表是部分统计数据: 年份 2002 2004 2006 2008 2010

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需求量(万 吨)

236

246

257

276

286

(Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y = bx + a ; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量。 温馨提示:答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明. (20) (本小题满分 10 分)本题考查回归分析的基本思想及其初步应用,回归直线的意义和 求法,数据处理的基本方法和能力,考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力. 解: (I)由所给数据看出, 年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来配回归直线方程, 为此对数据预处理如下: 年份—2006 需求量—257 -4 -21 -2 -11 0 0 2 19 4 29

对预处理后的数据,容易算得

x = 0, y = 3.2, (?4) × (?21) + (?2) × (?11) + 2 × 19 + 4 × 29 260 b= = = 6.5, 40 42 + 22 + 22 + 42 a = y ? b x = 3 .2 .
由上述计算结果,知所求回归直线方程为


y ? 257 = b( x ? 2006) + a = 6.5( x ? 2006) + 3.2,


即 y = 6.5( x ? 2006) + 260.2.



(II)利用直线方程①,可预测 2012 年的粮食需求量为

6.5(2012 ? 2006) + 260.2 = 6.5 × 6 + 260.2 = 299.2 (万吨)≈300(万吨).
北京理 12.用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有______个(用数 字作答) 【解析】个数为 24 ? 2 = 14 。 17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊,无法 确认,在图中以 X 表示。

(1)如果 X = 8 ,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果 X = 9 ,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数 Y 的 分布列和数学期望。 (注:方差 s 2 = 注

1 [( x1 ? x ) 2 + ( x2 ? x ) 2 + L + ( xn ? x ) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,…, xn 的平均 n
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数) (17) (共 13 分) 解(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为

x=

8 + 8 + 9 + 10 35 = ; 4 4

方差为

1 35 35 35 35 11 s 2 = [(8 ? ) 2 + (8 ? ) 2 + (9 ? ) 2 + (10 ? ) 2 ] = . 4 4 4 4 4 16
(Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同 学的植树棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种可能的结果, 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17, 19, 21 事件“Y=17” 18, 20, 等价于“甲组选出的同学植树 9 棵, 乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能 的结果,因此 P(Y=17)= 同理可得 P (Y = 18) =

2 1 = . 16 8

1 1 1 1 ; P (Y = 19) = ; P (Y = 20) = ; P (Y = 21) = . 4 4 4 8
18 19 20 21

所以随机变量 Y 的分布列为: Y P 17

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8

EY=17×P ( Y=17 ) +18×P ( Y=18 ) +19×P ( Y=19 ) +20×P ( Y=20 ) +21×P ( Y=21 ) =17×

1 1 1 1 1 +18× +19× +20× +21× 8 4 4 4 8

=19 北京文 北京文 7.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时 间为

x 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储 8

费 用 之 和 最 小 , 每 批 应 生 产 产 品 B A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 16. (本小题共 13 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法 确认,在图中以 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率.

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(注:方差 s =
2

1 [( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + L ( x n ? x) 2 ], 其中 x 为 x1 , x 2 ,L , x n 的平均 n

数) (16) (共 13 分) 解(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为

8 + 8 + 9 + 10 35 = ; 方 4 4 1 35 35 35 11 s 2 = [(8 ? ) 2 + (9 ? ) 2 + (10 ? ) 2 ] = . 4 4 4 4 16 x=





(Ⅱ)记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为 9,9,11,11; 乙组四名同学为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为 9,8,9,10,分别从甲、 乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有 16 个,它们是: (A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A1,B4) , , , , (A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(A2,B4) , , , , , , , , (A3,B1)(A2,B2)(A3,B3)(A1,B4) , , , , (A4,B1)(A4,B2)(A4,B3)(A4,B4) 用 C 表示:“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件,则 C 中的结果有 4 个,它们 是: 1,B4)(A2,B4)(A3,B2)(A4,B2) (A , , , ,故所求概率为 P (C ) =

4 1 = . 16 4

3 的 展 开 式 中 , x2 的 系 数 等 于 福 建 理 6 . ( 1+2x ) B A.80 B.40 C.20 D.10 13.盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个。若从中随机取

出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_______。

3 5

19. (本小题满分 13 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,……,8,其中 X≥5 为标准 A,X≥为标准 B,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙 厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂得产品都符合相应 的执行标准 (I)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示: 5 6 7 8

x1

P

0.4

a

b

0.1

且 X1 的数字期望 EX1=6,求 a,b 的值; (II)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系 数组成一个样本,数据如下: 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望. (III)在(I)(II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购 、

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买性?说明理由. 注: (1)产品的“性价比”=

产品的等级系数的数学期望 ; 产品的零售价

(2) “性价比”大的产品更具可购买性. 19.本小题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识, 考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想,满分 13 分。 解: (I)因为 EX 1 = 6, 所以5 × 0.4 + 6a + 7b + 8 × 0.1 = 6, 即6a + 7b = 3.2. 又由 X1 的概率分布列得 0.4 + a + b + 0.1 = 1, 即a + b = 0.5. 由?

?6a + 7b = 3.2, ?a = 0.3, 解得 ? ?a + b = 0.5. ?b = 0.2.
6 0.1 7 0.1 8 0.1

(II)由已知得,样本的频率分布表如下: 3 4 5

X2
f

0.3

0.2

0.2

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的概率分布列 如下:

X2
P 所以

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

EX 2 = 3P ( X 2 = 3) + 4 P ( X 2 = 4) + 5 P ( X 2 = 5) + 6 P ( X 2 = 6) + 7 P ( X 2 = 7) + 8 P ( X 2 = 8)

= 3 × 0.3 + 4 × 0.2 + 5 × 0.2 + 6 × 0.1 + 7 × 0.1 + 8 × 0.1 = 4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (III)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:

6 = 1. 6 4.8 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以其性价比为 = 1.2. 4
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比为 据此,乙厂的产品更具可购买性。 福建文 福建文 4.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名。现用分层抽 样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年 级 B A.6 B.8 C.10 D.12 的 学 生 中 应 抽 取 的 人 数 为

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7.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点。若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于 1 A.4 C 19. (本小题满分 12 分)
A B D E C

1 B.3

1 C.2

2 D.3

某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1、2、3、4、5。现从一 批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X f 1 a 2 0.2 3 0.45 4 b 5 c

(Ⅰ)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件; 求 a、b、c 的值。 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件记为 x1、x2、x3,等级系数为 5 的 2 件 记为 y1、y2。现从这五件日用品中任取 2 件(假定每件日用品被取出的可能性相同) ,写出所 有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。 19.本小题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识, 考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想,满分 12 分。 解: (I)由频率分布表得 a + 0.2 + 0.45 + b + c = 1, 即a+b+c=0.35 , 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b = 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c = 所以 a = 0.1, b = 0.15, c = 0.1. (II)从日用品 x1 , x2 , y1 , y2 中任取两件,所有可能的结果为:

3 = 0.15, 20

2 = 0.1 ,从而 a = 0.35 ? b ? c = 0.1 20

{x1 , x2 },{x1 , x3 },{x1 , y1},{x1 , y2 },{x2 , x3 },{x2 , y1},{x2 , y2 },{x3 , y1},{x3 , y2 },{ y1 , y2 } ,
设事件 A 表示“从日用品 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件,其等级系数相等” ,则 A 包含的基 本事件为:

{x1 , x2 },{x1 , x3 },{x2 , x3 },{ y1 , y2 } 共 4 个,又基本事件的总数为 10,故所求的概率 P( A) = 4 = 0.4. 10

广东理 6 甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再 赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 A.

1 2

B.

3 5

C.

2 3
-7-

D.

3 4

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解析 : 设A i (i = 1,2)表示继续比赛时,甲在第i局获胜; B事件表示甲队获得冠军, 则B = A 1 + A1 A2 ,∴ P ( B ) = P (A 1 ) + P ( A1 A2 ) =
2 x
4

1 1 1 3 + × = , 故选D. 2 2 2 4

1 0. x ( x ? ) 7 的展开式中, x 的系数是______ (用数 字作答).

2 2 ( 解析 : 所求x 4的系数即( x ? ) 7 展开式中x3项的系数, x ? ) 7 展开式的通项为 x x r 7? r ?1 r r r 7? 2 r Tr +1 = C7 x (?2 x ) = (?2) C7 x ,由7 ? 2r = 3得r = 2,∴ x 4的系数是( ?2) 2 C72 = 84.
13.某数学老师身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm、和 182cm.因儿 子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.

解析 : 根据题中所提供的信息, 可知父亲与儿子的对应数据可列表如下 :
父亲的身高(x) 儿子的身高(y) 173 170 170 176 176 182

x = 173, y = 176,∴ b =

∑ (x
i =1 3

3

i

? x)( yi ? y )
i

∑ (x
i =1

=

? x) 2

3× 6 = 1, a = y ? b x = 176 ? 173 = 1, (?3) 2 + 3 2

∴ 所以回归直线方程为y = x + 3, 从而可预测也他孙子的身高为182 + 3 = 185(cm).
17.(本小题满分13分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 14件和5件,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量 数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共98件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175且y≥75时,该产品为优等品,用上述样本数据估 计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随即抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ξ 的分布 列及其均值(即数学期望).

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解 : (1)乙厂的产品数量为 :

98 × 5 = 35; 14 (2)从乙厂抽取的5件产品中, 编号为2,5的产品是优等品, 2 故可估计出乙厂生产的优等品的数量为 : × 35 = 14; 5 2 C C 1C 1 C2 3 6 1 (3)ξ可以取值 : 0,1,2 , P(ξ = 0) = 32 = , P(ξ = 1) = 2 2 3 = , P(ξ = 2) = 2 = , 2 10 C 5 10 C5 C 5 10 故ξ其分布列为 :

ξ
P

0

1

2

1 10 3 6 1 4 ∴ ξ的数学期望为E(ξ ) = 0 × + 1 × + 2 × = . 10 10 10 5
广东文 广东文 7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那 么 一 个 正 五 棱 柱 对 角 线 的 条 数 共 有 A A.20 B.15 C.12 D.10 13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

3 10

6 10

小李这 5 天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法, 预测小李每月 6 号打 篮球 6 小时的投篮命中率为________.0.5,0.53 17. (本小题满分 13 分) 在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分。用 xn 表示编号为 n(n=1,2,…,6)的同学 所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 1 2 3 4 5 编号 n 成绩 xn 70 76 72 70 72 (1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的 概率。 17. (本小题满分 13 分) 解: (1)Q x =
5 1 6 xn = 75 ,∴ x6 = 6 x ? ∑ xn = 6 × 75 ? 70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 = 90, ∑ 6 n =1 n =1

s2 =

1 6 1 ∑ ( xn ? x)2 = 6 (52 + 12 + 32 + 52 + 32 + 152 ) = 49 ,∴ s = 7. 6 n =1

(2)从 5 位同学中随机选取 2 位同学,共有如下 10 种不同的取法: {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}, 选出的 2 位同学中,恰有 1 位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下 4 种取法:
-9-

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- - 10 - -

{1,2},{2,3},{2,4},{2,5}, 故所求概率为 .

2 5

湖北理 5.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N 2, σ

(

2

) ,且 P(ξ < 4) = 0.8 ,则 P(0 < ξ < 2) =
y

A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 【答案】C 解析: 解析: 如图,正态分布的密度函数示意图所示,函数关于 直线 x = 2 对称,所以 P (ξ < 2 ) = 0.5 ,并且

P(0 < ξ < 2) = P(2 < ξ < 4)
则 P (0 < ξ < 2 ) = P (ξ < 4 ) ? P (ξ < 2 )

O

2

4

x

= 0 .8 ? 0 .5 = 0 .3
所以选 C. 7.如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统, K 正常工作且 A1、A2 至少有一个 正常工作时,系统正常工作.已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次为 0.9 、 0.8 、 0.8 ,则系 统正常工作的概率为 K A2 A. 0.960 【答案】B B. 0.864 C. 0.720 D. 0.576 A1

解析: 解析: A1、A2 至少有一个正常工作的概率为 1 ? P A1 P A2

( )( )

= 1 ? (1 ? 0.8) × (1 ? 0.8) = 1 ? 0.04 = 0.94 ,
系统正常工作概率为 P (K ) 1 ? P A1 P A2 = 0.9 × 0.96 = 0.864 ,所以选 B.

(

( ) ( ))

? 1 ? ? 展开式中含 x15 的项的系数为 11.在 ? x ? ? ? 3 x? ?
【答案】17 【解析】二项式展开式的通 项公式为 Tr +1 = C x
r 18
18 ? r

18

.(结果用数值表示)

18 ? r ? r ? ? 1 ? 1? r 2 ?? ? = C18 x ? ? ? ,令 ? ? ? 3? ? 3 x? 1 2

r

r

1 1? 2 ? 18 ? r ? r = 15 ? r = 2 ,含 x15 的项的系数为 C18 ? ? ? = 17 ,故填 17. 2 ? 3?
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12.在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期.从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过 .(结果用最简分数表示) 了保质期饮料的概率为 【答案】

28 145

解析: 解析:从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,设至少取到 1 瓶已过了保质期饮料为事件 A,从这 30 瓶 饮料中任取 2 瓶,没有取到 1 瓶已过了保质期饮料为事件 B,则 A 与 B 是对立事件,因为
25 C 27 27 × 13 27 × 13 28 28 P (B ) = 2 = ,所以 P ( A) = 1 ? P (B ) = 1 ? = ,所以填 . 15 × 29 145 145 C 30 15 × 29

15.给 n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n ≤ 4 时,在所有不同的着色方案中,黑色 正方形互不相邻的着色方案如下图所示: n=1 .... 由此推断,当 n = 6 时,黑色正方形互不相邻着色方案共 .... n=2 种,至少有两个黑色正方形相邻着色方案共 有 .. 有 种.(结果用数值表示) n=3 【答案】 21,43 解析: 解析:设 n 个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数 .... 为 a n ,由图可知, n=4

a1 = 2 , a 2 = 3 ,
a 3 = 5 = 2 + 3 = a1 + a 2 , a 4 = 8 = 3 + 5 = a 2 + a3 ,
由此推断 a 5 = a3 + a 4 = 5 + 6 = 13 , a 6 = a 4 + a 5 = 8 + 13 = 21 ,故黑色正方形互不相邻着 .... 色方案共有 21 种;由于给 6 个正方形着黑色或白色,每一个小正方形有 2 种方法,所以一共 有 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 = 64 种方法,由于黑色正方形互不相邻着色方案共有 21 种,所以 ....
6

至少有两个黑色正方形相邻 着色方案共有 64 ? 21 = 43 种着色方 .. 案,故分别填 21,43 . 湖北文 5.有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样 本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间 ?10,12 ) 内的频 ? 数为 B A.18 B.36 C.54 D.72 11. 某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家。为掌握各类超市的营业情 况,现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中型超市__________家。20

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1 ? ? 15 12. ? x ? (结果用数值表示)17 ? 的展开式中含 x 的项的系数为__________。 3 x? ?
湖南理 15、如图 4, EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到 ,B 该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” 表示事件“豆子落在扇形 OHE (阴 影部分)内” ,则 (1) P A =______ ; ( ) (2) P (B|A) =______ 答案: (1)

18

2

π

; (2) P (B|A) =

1 4 S正 2 = ; S圆 π

解析: (1)由几何概型概率计算公式可得 P A) ( =

2 1 × P AB) π 4 1 ( (B|A) = = = (2)由条件概率的计算公式可得 P 2 4 P A) (

π

16、对于 n ∈ N ,将 n 表示为 n = a0 × 2 + a1 × 2
*

k

k ?1

+ a2 × 2k ? 2 + L + ak ?1 × 21 + ak × 20 ,当

i = 0 时, ai = 1 ,当 1 ≤ i ≤ k 时, ai 为 0 或 1.记 I (n) 为上述表示中 ai 为 0 的个数, (例如
1 = 1× 20 , 4 = 1× 22 + 0 × 21 + 0 × 20 :故 I (1) = 0, I (4) = 2 )则
(1) I (12) = _____ (2)

∑2
n=1

127

I (n)

= ______

答案: (1)2; (2) 1093 解析: (1)因 12 = 1× 2 +1× 2 + 0 × 2 + 0 × 2 ,故 I (12) = 2 ;
3 2 1 0

(2)在 2 进制的 k ( k ≥ 2) 位数中,没有 0 的有 1 个,有 1 个 0 的有 Ck ?1 个,有 2 个 0 的有
1 ? Ck2?1 个,……有 m 个 0 的有 Ckm?1 个,……有 k ? 1 个 0 的有 Ckk?11 = 1 个。故对所有 2 进制为 k

位数的数 n ,在所求式中的 2 I ( n ) 的和为:
1 ?1 1 ? 20 + Ck ?1 ? 21 + Ck2?1 ? 2 2 + L + Ckk?1 ? 2 k ?1 = 3k ?1 。 127 7

又 127 = 2 ? 1 恰为 2 进制的最大 7 位数,所以
7

∑ 2I ( n ) = 20 + ∑ 3k ?1 = 1093 。
n =1 k =2

18. 某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 0 1 2 3

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2011 年高考数学试题分类汇编

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频数

1

5

9

5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变) ,设某天开始营业时有该商品 3 件,当 天营业结束后检查存货,若发现存货少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货,将频 .. ... 率视为概率。 (Ⅰ)求当天商品不进货的概率; ... (Ⅱ)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列和数学期望。 解析: (I)P( “当天商店不进货” )=P( “当天商品销售量为 0 件” )+P( “当天商品销售量 1 件” )=

1 5 3 + = 。 20 20 10
5 1 = ; 20 4

(II)由题意知, X 的可能取值为 2,3.

P ( x = 2) = P ("当天商品销售量为1件") =

P( x = 3) = P("当天商品销售量为0件")+P("当天商品销售量为2件")+P("当天商品销售 量为3件") = 1 9 5 3 + + = 20 20 20 4
2 3

故 X 的分布列为

X P

1 4

3 4

1 3 11 X 的数学期望为 EX = 2 × +3 × = 。 4 4 4
湖南文 5.通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 女 总计 爱好 不爱好 总计 由K =
2

40 20 60

20 30 50

60 50 110

2 n(ad ? bc) 2 110 × (40 × 30 ? 20 × 30)2 算得,K = ≈ 7.8 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 60 × 50 × 60 × 50

附表:

P( K 2 ≥ k )
k

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

参照附表,得到的正确结论是( ) A. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 答案:A

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解析:由 K ≈ 7.8 > 6.635 ,而 P ( K ≥ 6.635) = 0.010 ,故由独立性检验的意义可知选 A.
2

2

10. 已知某试验范围为[10, 若用分数法进行 4 次优选试验, 90], 则第二次试点可以是 . 答案:40 或 60(只填一个也正确) 解 析 : 有 区 间 长 度 为 80 , 可 以 将 其 等 分 8 段 , 利 用 分 数 法 选 取 试 点 :

5 x1 = 10 + × (90 ? 10) = 60 , x2 = 10 + 90 ? 60 = 40 ,由对称性可知,第二次试点可以是 40 8
或 60。 16、给定 k ∈ N ,设函数 f : N → N 满足:对于任意大于 k 的正整数 n , f (n) = n ? k
* * *

(1)设 k = 1 ,则其中一个函数 f 在 n = 1 处的函数值为

; 。

(2)设 k = 4 ,且当 n ≤ 4 时, 2 ≤ f ( n) ≤ 3 ,则不同的函数 f 的个数为 答案: (1) a ( a为正整数) , (2)16

* * * 解析: (1)由题可知 f ( n) ∈ N ,而 k = 1 时, n > 1 则 f ( n) = n ? 1 ∈ N ,故只须 f (1) ∈ N ,

故 f (1) = a ( a为正整数) 。 (2) 由题可知 k = 4 , > 4 则 f ( n) = n ? 4 ∈ N * , n ≤ 4 时, ≤ f ( n) ≤ 3 即 f (n) ∈ {2, 3} , n 而 2 即 n ∈ {1, 2, 3, 4} , f (n) ∈ {2, 3} ,由乘法原理可知,不同的函数 f 的个数为 2 = 16 。
4

18. (本题满分 12 分) 某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月 份的降雨量 X(单位:毫米)有关.据统计,当 X=70 时,Y=460;X 每增加 10,Y 增加 5;已 知近 20 年 X 的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160, 200,140,110,160,220,140,160. (I)完成如下的频率分布表: 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70 110 140 160 200 220

1 20

4 20

2 20

(II)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份的降雨量的分布规律相同,并将频率视为 概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的 概率. 解: (I)在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米的 有 3 个,故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 频率 70 110 140 160 200 220

1 20

3 20

4 20

7 20

3 20

2 20

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- - 15 - -

P(" 发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时")
(II) =P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)

=

1 3 2 3 + + = 20 20 20 10

故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率 为

3 . 10

江苏 5.从 1, 2,3, 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 4 答案:

1 3 1 4 1 .也可以由 1 ? = 得到. 3 6 3

解析:从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共 6 种. 其 中符合条件的有 2 种,所以概率为

本题主要考查随机事件与概率,古典概型的概率计算,互斥事件及其发生的概率.容易题. 6.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6,则该组数据的方差 s 2 = ___ . 答案: 解

16 . 5
: 五 个 数 的 平 均 数 是 7, 方 差 为



s2 =

(10 ? 7) 2 + (6 ? 7) 2 + (8 ? 7)2 + (5 ? 7)2 + (6 ? 7)2 16 = 5 5 16 . 5

还可以先把这组数都减去 6 再求方差,

本题主要考查总体分布的估计,总体特征数的估计,平均数方差的计算, 考查数据处理能力,容易 题. 附加:23. (本小题满分 10 分) 设整数 n ≥ 4 ,P ( a, b) 是平面直角坐标系 xOy 中的点, 其中 a, b ∈ {1, 2,3, …, n} ,a > b . (1)记 An 为满足 a ? b = 3 的点 P 的个数,求 An ; (2)记 Bn 为满足 ( a ? b) 是整数的点 P 的个数,求 Bn . 解: (1)点 P 的坐标满足条件: 1 ≤ b = a ? 3 ≤ n ? 3, 所以An = n ? 3. (2)设 k 为正整数,记 f n ( k ) 为满足题设条件以及 a ? b = 3k 的点 P 的个数,只要讨论

1 3

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f n (k ) ≥ 1 的情形,由 1 ≤ b = a ? 3k ≤ n ? 3k 知 f n (k ) = n ? 3k .且k ≤
设 n ? 1 = 3m + r , 其中m ∈ N * , r ∈| 0,1, 2 |, 则k ≤ m. 所以 Bn = 将m =

n ?1 . 3

∑f
k =1

m

n

(k ) = ∑ (n ? 3k ) = mn ?
k =1

m

3m(m + 1) m(2n ? 3m ? 3) = . 2 2

n ?1? r (n ? 1)(n ? 2) r (r ? 1) 代入上式,化简得 Bn = ? 3 6 6

? n(n ? 3) n ? 6 , 3 是整数, ? 所以 Bn = ? ? (n ? 1)(n ? 2) , n 不是整数. ? 6 3 ?
, , , , ; 江西理 6. 变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1)(11.3,2)(11.8,3)(12.5,4)(13,5) 变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5)(11.3,4)(11.8,3)(12.5,2)(13,1) r1 表示 , , , , , 变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则 A.

r2 < r1 < 0
— —

B.

0 < r2 < r1

C. r2 < 0 < r1

D. r2 = r1

【答案】C 【解析】 X = U = 10 + ∴ r1 =
— — 0 + 1.3 + 1.8 + 2.5 + 3 1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 11.72 , Y = V = = 3, 5 5

(?1.72) × (?2) + (?0.42) × (?1) + 0 + 0.78 × 1 + 1.28 × 2 (?0.72) 2 + (?0.42) 2 + 0.08 2 + 0.78 2 + 1.28 2 (?2) 2 + (?1) 2 + 0 + 1 + 2 2 (?1.72) × 2 + (?0.42) × 1 + 0 + 0.78 × (?1) + 1.28 × (?2) (?0.72) + (?0.42) 2 + 0.08 2 + 0.78 2 + 1.28 2 (?2) 2 + (?1) 2 + 0 + 1 + 2 2
2

>0

r2 =

<0

∴ r2 < 0 < r1 ,选 C 12. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机的往单位圆内投掷一点,若此点到圆心 的距离大于

1 1 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在 2 4
.

家看书.则小波周末不在家看书的概率为 . 【答案】

13 16 1 2
2

【解析】 P = [1 ? ( ) ] + ( ) =
2

1 4

3 1 13 + = 4 16 16

16.(本小题满分 12 分) 某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种 不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料.公司 要求此员工一一品尝后, 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对, 从 则月工资定为 3500

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元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2800 元;否则月工资定为 2100 元.令 X 表示此人选 对 A 饮料的杯数.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望. 【解析】 (1) X 的所有可能取值为:0, 1, 2, 3, 4
i 4 C 4 C 4 ?i P( X = i) = (i = 0,1,2,3,4) C84



X P

0

1

2

3

4

1 70

16 70

36 70

16 70

1 70

(2)令 Y 表示新录用员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 2100,2800,3500 Y 的分布列为:

Y P

2100

2800

3500

53 70

16 70

1 70

EY = 2100 ×

53 16 1 + 2800 × + 3500 × = 2280 70 70 70

所以新录用员工月工资的期望为 2280 元. 江西文 7.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随即 抽取 30 名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所 示,假设得分值的中位数为 me ,众数为 mo ,平均值为 x , 则( ) B. me = mo < x C. me < mo < x

A. me = mo = x D. mo < me < x

答案:D 计算可以得知,中位数为 5.5,众数为 5 所以选 D 8.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如下: 父亲身高 x(cm) 174 儿子身高 y(cm) 175 则 y 对 x 的线性回归方程为 A.y = x-1 B.y = x+1 C.y = 88+
n

176 175

176 176

176 177

178 177

1 x 2
i

D.y = 176

C 线性回归方程 y = a + bx , b =

∑ (x ? x )(y
i =1 n i =1 i

i

?y
2

)

∑ (x ? x )

, a = y ? bx

16.(本小题满分 12 分)

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某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共 5 杯,其颜色完全相同,并且其中 3 杯为 A 饮料,另外 2 杯为 B 饮料,公司要求此员工 一一品尝后,从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料.若该员工 3 杯都选对,则评为优秀;若 3 杯选对 2 杯,则评为良好;否则评为及格.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率; (2)求此人被评为良好及以上的概率. 解: (1)员工选择的所有种类为 C
3 5 ,而

3 杯均选中共有 C

3 3 种,故概率为

3 C3 1 = . 3 C5 10 3

(2)员工选择的所有种类为 C5 ,良好以上有两种可能 :3 杯均选中共有 C3 种; :3 杯选中 2 杯共有 C3 C2 种。故概率为
2 1 3 1 C3 + C32C2 7 = . 3 C5 10

3

解析:本题考查的主要知识是排列组合与概率知识的结合,简单题。 辽宁理 5.从 1,2,3,4,5 中任取 2 各不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和 为偶数” ,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数” ,则 P(B︱A)= A.

B

1 8 2 C. 5

1 4 1 D. 2
B.

14.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元) ,调查显 示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程:

? y = 0.254 x + 0.321 .由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均
增加____________万元. 19. (本小题满分 12 分) 某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种 乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机 选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (I)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和数 学期望; (II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上 的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表: 397 390 404 388 400 412 406 品种甲 403 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为 应该种植哪一品种? 附 : 样 本 数 据
2

x1 , x 2 ,? ? ?, x n

1 1 P ( X = 0) = 4 = , 的 的 样 本 方 差 C8 70

1 s = [( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + ? ? ? + ( x n ? x) 2 ] ,其中 x 为样本平均 n 数. 19.解:

1 3 C 4C 4 8 P ( X = 1) = = , 4 C8 35

P ( X = 2) = P ( X = 3) = P ( X = 4) =

2 2 C4 C4 18 = , 35 C84 3 1 C4 C4 8 = , 35 C84

- 18 -

1 1 = . 4 C8 70

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- - 19 - -

(I)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且 即 X 的分布列为

………………4 分 X 的数学期望为

E( X ) = 0 ×

1 8 18 8 1 + 1× + 2 × + 3 × + 4 × = 2. ………………6 分 70 35 35 35 70

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x甲 = (403 + 397 + 390 + 404 + 388 + 400 + 412 + 406) = 400, 8 1 S甲 = (32 + (?3) 2 + (?10)2 + 42 + (?12)2 + 0 2 + 122 + 6 2 ) = 57.25. 8
………………8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x乙 = (419 + 403 + 412 + 418 + 408 + 423 + 400 + 413) = 412, 8 1 2 S乙 = (7 2 + (?9) 2 + 02 + 6 2 + (?4) 2 + 112 + (?12)2 + 12 ) = 56. 8
………………10 分 由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本 方差差异不大,故应该选择种植品种乙. 19. (本小题满分 12 分) 某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种 乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机 选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (I)假设 n=2,求第一大块地都种植品种甲的概率; (II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地 上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表: 397 390 404 388 400 412 406 品种甲 403 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为 应该种植哪一品种? 附: 样本数据 x1 , x 2 ,? ? ?, x n 的的样本方差 s 2 =
1 其中 x [( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + ? ? ? + ( x n ? x) 2 ] , n

为样本平均数. 19.解: (I)设第一大块地中的两小块地编号为 1,2,第二大块地中的两小块地编号为 3,4, 令事件 A=“第一大块地都种品种甲”. 从 4 小块地中任选 2 小块地种植品种甲的基本事件共 6 个; (1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4). , , , , ,

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- - 20 - -

而事件 A 包含 1 个基本事件: (1,2). 所以 P ( A) =

1 . 6

………………6 分

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x甲 = (403 + 397 + 390 + 404 + 388 + 400 + 412 + 406) = 400, 8 1 S甲 = (32 + (?3) 2 + (?10)2 + 42 + (?12)2 + 0 2 + 122 + 6 2 ) = 57.25. 8
………………8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x乙 = (419 + 403 + 412 + 418 + 408 + 423 + 400 + 413) = 412, 8 1 2 S乙 = (7 2 + (?9) 2 + 02 + 6 2 + (?4) 2 + 112 + (?12)2 + 12 ) = 56. 8
………………10 分 由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本 方差差异不大,故应该选择种植品种乙. 全国Ⅰ理 全国Ⅰ (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可 能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A) A

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 [来源:学& 4

a ?? 1? ? (8) ? x + ? ? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 x ?? x? ?

5

(A)-40
D

(B)-20

(C)20

(D)40

(19) (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于 或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产 了 100 件这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 指标值分组 [90,94) 8 [90,94) [94,98) 20 [94,98) [98,102) 42 [98,102) [102,106) 22 [102,106) [106,110] 8 [106,110]

B 配方的频数分布表

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4 12 42 32 10 频数 (I)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (II)已知用 B 配方生产的一种产品利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

??2, t < 94 ? y = ?2,94 ≤ t < 102 ?4, t ≥ 102 ?
从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) .求 X 的分布列及数学期 望. (以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概 率) . (19) 解 (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 生产的产品的优质品率的估计值为 0.42
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

22 + 8 =0.3 ,所以用 A 配方 100

32 + 10 = 0.42 ,所以用 B 配方 100

( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间

[90,94 ) , [94,102 ) , [102,110] 的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此
P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68

全国Ⅰ 全国Ⅰ文 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于 或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产 了 100 件这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 指标值分组 频数 [90,94) 8 [90,94) 4 [94,98) 20 [94,98) 12 [98,102) 42 [98,102) 42 [102,106) 22 [102,106) 32 [106,110] 8 [106,110] 10

B 配方的频数分布表

(I)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率;
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(II)已知用 B 配方生产的一种产品利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

??2, t < 94 ? y = ?2,94 ≤ t < 102 ?4, t ≥ 102 ?
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产 品平均一件的利润. (19)解 (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的频率为 生产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 (Ⅱ)由条件知用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 当且仅当其质量指标值 t≥94,由 试验结果知,质量指标值 t≥94 的频率为 0.96,所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96. 用 B 配方生产的产品平均一件的利润为

22 + 8 =0.3 ,所以用 A 配方 100

32 + 10 = 0.42 ,所以用 B 配方 100

1 × (4 × (?2) + 54 × 2 + 42 × 4) = 2.68 (元) 100
山东理 7. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 2 广告费用 x (万元) 4 销售额 y (万元) 49 26

3 39

5 54

? ? ? ? 根据上表可得回归方程 y = bx + a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额
为 (A)63.6 万元 (B)65.5 万元 (C)67.7 万元 (D)72.0 万元 【答案】B 【解析】由表可计算 x =

4+ 2+ 3+ 5 7 49 + 26 + 39 + 54 7 = ,y= = 42 ,因为点 ( , 42) 在回归 4 2 4 2 7 $ ? ? ? ? ? 直 线 y = bx + a 上 , 且 b 为 9.4 , 所 以 42 = 9.4 × + a , 解 得 a = 9.1 , 故 回 归 方 程 为 2
? ? y = 9.4 x + 9.1 , 令 x=6 得 y = 65.5,选 B.

14. 若 ( x ? 【答案】4

a x2

)6 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为

.

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【解析】因为 Tr +1 = C6 ? x
r

6?r

? (?

a x
2

) r ,所以 r=2, 常数项为 a × C62 = 60,解得 a = 4 .

18.(本小题满分 12 分) 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘, 已知甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。 (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率; (Ⅱ)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ . 【 解 析 】 ( Ⅰ ) 红 队 至 少 两 名 队 员 获 胜 的 概 率 为

0.6 × 0.5 × 0.5 × 2 + 0.4 × 0.5 × 0.5 + 0.6 × 0.5 × 0.5 =0.55.
(Ⅱ) ξ 取的可能结果为 0,1,2,3,则

P (ξ = 0) = 0.4 × 0.5 × 0.5 =0.1; P (ξ = 1) = 0.6 × 0.5 × 0.5 + 0.4 × 0.5 × 0.5 + 0.4 × 0.5 × 0.5 =0.35; P (ξ = 2) = 0.6 × 0.5 × 0.5 × 2 + 0.4 × 0.5 × 0.5 =0.4; P (ξ = 3) = 0.6 × 0.5 × 0.5 =0.15.
所以 ξ 的分布列为

ξ
P

0 0.1

1 0.35

2 0.4

3 0.15

数学期望 Eξ =0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0. 15=1.6. 山东文 8.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

? ? ? ? 根据上表可得回归方程 y = bx + a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销
售额为 A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元

B (13)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生,为了解学生的就 业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查,应在丙专业抽取的 学生人数为 . 16 18) (本小题满分 (18) 本小题满分 12 分) (
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甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (Ⅰ)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师性别相同的概率; (Ⅱ)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自 同一学校的概率. 18.解: (I)甲校两男教师分别用 A、B 表示,女教师用 C 表示; 乙校男教师用 D 表示,两女教师分别用 E、F 表示 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为: (A,D) (A,E)(A,F)(B,D)(B,E)(B,F)(C,D)(C,E)(C,F)共 9 , , , , , , , 种。 从中选出两名教师性别相同的结果有: (A,D)(B,D)(C,E)(C,F)共 4 种, , , , 选出的两名教师性别相同的概率为 P =

4 . 9

(II)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为: (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)(B,C)(B,D)(B,E)(B,F) , , , , , , , , , (C,D)(C,E)(C,F)(D,E)(D,F)(E,F)共 15 种, , , , , , 从中选出两名教师来自同一学校的结果有: (A,B)(A,C)(B,C)(D,E)(D,F)(E,F)共 6 种, , , , , , 选出的两名教师来自同一学校的概率为 P =

6 2 = . 15 5
( )

?x 6 (4 x 展开式中的常数项是 陕西理 4. ? 2 ) ( x ∈ R)

(A) ?20 (B) ?15 (C)15 (D)20 【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项,再进行整理化简,由 x 的指数为 0,确定常数 项是第几项,最后计算出常数项. 【解】选 C

Tr +1 = C6r (4 x )6?r (2? x ) r = C6r ? 22 x (6?r ) ? 2 ? xr = C6r ? 212 x ?3 xr ,
4

令 12 x ? 3 xr = 0 ,则 r = 4 ,所以 T5 = C6 = 15 ,故选 C. 9.设 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,…, ( x3 , y3 ) 是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些样本点通过 最小二乘法得到的线性回归方程(如图) ,以下结论中正确的是 (A) x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 (B) x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 (C)当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 (D)直线 l 过点 ( x, y ) 【分析】根据最小二乘法的有关概念:样本点的中心,相关系 数线,性回归方程的意义等进行判断. 【解】选 D 选项 A 具体分析 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度, 直线的斜率表示直线的倾斜 程度;它们的计算公式也不相同 结论 不正确 ( )

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B C

相关系数的值有正有负,还可以是 0;当相关系数在 0 到 1 之间时,两个 变量为正相关,在 ?1 到 0 之间时,两个变量负相关

不正确 不正确

l 两侧的样本点的个数分布与 n 的奇偶性无关,也不一定是平均分布
回 归 直 线 l 一 定 过 样 本 点 中 心 ( x, y ) ; 由 回 归 直 线 方 程 的 计 算 公 式

D

正确

$ $ a = y ? bx 可知直线 l 必过点 ( x, y )
10.甲乙两人一起去游“2011 西安世园会” ,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( ) (A)

1 36

(B)

1 9

(C)

5 36

(D)

1 6

【分析】本题抓住主要条件,去掉次要条件(例如参观时间)可以简化解题思路,然后把问 题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题. 【解】选 D 甲乙两人各自独立任选 4 个景点的情形共有 A6 ? A6 (种) ;最后一小时他们同在
4 4

一个景点的情形有 A5 ? A5 × 6 (种) ,所以 P =
3 3

A53 ? A53 × 6 1 = . 6 A64 ? A64

20. (本小题满分 13 分) 如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2 ,据统计,通过 两条路径所用的时间互不影响, 所用时间落在个时间段内的 频率如下表: 时间(分钟) 10 ~ 20 20 ~ 30 30 ~ 40 40 ~ 50

50 ~ 60

L1 的频率 L2 的频率

0.1
0

0.2 0.1

0.3 0.4

0.2 0.4

0.2 0.1

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案, 求 X 的分布列和数学期望 . 【分析】 (1)会用频率估计概率,然后把问题转化为互斥事件的概率; (2)首先确定 X 的取 值,然后确定有关概率,注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算,列出分布 列后即可计算数学期望. 【解】 (1) Ai 表示事件“甲选择路径 L i 时,40 分钟内赶到火车站” Bi 表示事件“甲选择 , 路径 L i 时,50 分钟内赶到火车站” i = 1 , 2 . , 用频率估计相应的概率,则有:

P( A1 ) = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6 , P( A2 ) = 0.1 + 0.4 = 0.5 ;

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∵ P ( A1 ) > P ( A2 ) ,∴甲应选择路径 L 1 ;

P ( B1 ) = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 = 0.8 , P ( B2 ) = 0.1 + 0.4 + 0.4 = 0.9 ;
∵ P ( B2 ) > P ( B1 ) ,∴乙应选择路径 L 2 . (2)用 A,B 分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时 间内赶到火车站,由(1)知 P ( A) = 0.6 , P ( B ) = 0.9 ,又事件 A,B 相互独立, X 的取值是 0,1,2, ∴ P ( X = 0) = P ( AB ) = P ( A) ? P ( B ) = 0.4 × 0.1 = 0.04 ,

P ( X = 1) = P ( AB + AB ) = P ( A) P ( B ) + P ( A) P ( B ) = 0.4 × 0.9 + 0.6 × 0.1 = 0.42 P ( X = 2) = P ( AB ) = P ( A) ? P ( B ) = 0.6 × 0.9 = 0.54 ,
∴X 的分布列为

X
P

0 0.04

1 0.42

2 0.54

∴ EX = 0 × 0.04 + 1× 0.42 + 2 × 0.54 = 1.5 . 陕西文 · 陕西文 9.设 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ·· , ( xn , yn ) 是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些样 本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图) ,以下结论正确的是( (A) 直线 l 过点 ( x, y ) (B) x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 (C) x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 (D)当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 【分析】根据最小二乘法的有关概念:样本点的中心,相关系数线,性回归方程的意义等进 行判断. 【解】选 A 选项 具体分析 回 归 直 线 l 一 定 过 样 本 点 中 心 ( x, y ) ; 由 回 归 直 线 方 程 的 计 算 公 式 A 正确 结论 )

$ $ a = y ? bx 可知直线 l 必过点 ( x, y )
B C D 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度, 直线的斜率表示直线的倾斜 程度;它们的计算公式也不相同 相关系数的值有正有负,还可以是 0;当相关系数在 0 到 1 之间时,两个 变量为正相关,在 ?1 到 0 之间时,两个变量负相关 不正确 不正确 不正确

l 两侧的样本点的个数分布与 n 的奇偶性无关,也不一定是平均分布

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20.(本小题满分 13 分) 如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2 ,现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进 行调查,调查结果如下: 所用时间(分钟) 选择 L1 的人数 选择 L2 的人数 10 ~ 20 6 0 20 ~ 30 12 4 30 ~ 40 18 16 40 ~ 50 12 16 50 ~ 60 12 4

(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率; .. (2 )分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的 频率; (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站, 为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 【分析】 (1)读懂数表,确定不能赶到火车站的人数所在的区间,用相应的频率作为所 求概率的估计值; (2)根据频率的计算公式计算; (3)计算选择不同的路径,在允许的时间 内赶往火车站的概率,通过比较概率的大小确定选择的最佳路径. 【解】 (1)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=44 人,

∴ 用频率估计相应的概率为 0.44.
(2 )选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人, 故由调查结果得频率为: 所用时间(分钟) 选择 L1 的人数 选择 L2 的人数 10 ~ 20 0.1 0 20 ~ 30 0.2 0.1 30 ~ 40 0.3 0.4 40 ~ 50 0.2 0.4 50 ~ 60 0.2 0.1

(3)用 A1 , A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站;用 B1 , B2 分别表 示乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站. 由(2)知 P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, P(A1) > P(A2),

∴ 甲应选择路径 L1 ;
, P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1)
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∴ 乙应选择路径 L2. 上海理 9.马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布律如下表:

x
P (ξ = x)

1 ?

2 !

3 ?

请小牛同学计算 ξ 的数学期望.尽管“! ”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断 定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 Eξ = 12.随机抽取的 9 位同学中,至少有 2 位同学在同一月份出生的概率为 天数相同,结果精确到 0.001). 0.985 . 2 (默认每个月的

上海文 上海文 10、课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数 分别为 4,12,8,若用分层抽样抽取 6 个城市,则丙组中应抽取的城市数为 2 四川理 1.有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5 , 27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5 , 43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是 1 1 1 2 (A) (B) (C) (D) 6 3 2 3 答案:B 22 1 解析:数据落在[31.5,43.5)的频数为 22,频率为 = ,选 B. 66 3 18. (本小题共 l2 分) 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准 是每车每次租车不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元(不足 1 小时的 部分按 1 小时计算).有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游(各租一车一次) .设甲、乙 1 1 1 1 不超过两小时还车的概率分别为 、 ; 两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 、 ; 4 2 2 4 两人租车时间都不会超过四小时. (Ⅰ) 求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率; (Ⅱ)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ ,求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ . 本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查 运用所学知识和方法解决实际问题的能力. 1 1 解: (Ⅰ)依题意得,甲、乙在三小时及以上且不超过四小时还车的概率分别为 、 . 4 4 1 1 1 1 1 1 5 记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件 A,则 P ( A) = × + × + × = . 4 2 2 4 4 4 16 5 答:甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 . 16

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(Ⅱ) ξ 可能的取值有 0,2,4,6,8. 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 5 P (ξ = 0) = ; P (ξ = 2) = ? + ? = ; P (ξ = 4) = ? + ? + ? = ; 8 4 4 2 2 16 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 1 1 1 P (ξ = 6) = ? + ? = ; P (ξ = 8) = ? = . 4 4 2 4 16 4 4 16 甲、乙两人所付的租车费用之和 ξ 的分布列 ξ 0 2 4 6 8 1 5 5 3 1 P 8 16 16 16 16 1 5 5 3 1 7 所以 Eξ = 0 × + 2 × + 4 × + 6 × + 8 × = . 8 16 16 16 16 2 四川文 2.有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5 , 27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5 , 43.5) 3 根据样本的频率分布估计,大于或等于 31.5 的数据约占 2 1 1 2 (B) (C) (D) (A) 11 3 2 3 答案:B 22 1 = ,选 B. 解析:大于或等于 31.5 的数据共有 12+7+3=22 个,约占 66 3 13. ( x + 1)9 的展开式中 x3 的系数是_________. (用数字作答) 答案:84 3 解析:∵ ( x + 1)9 的展开式中 x3 的系数是 C96 = C9 = 84 . 17. (本小题共 l2 分) 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准 是每车每次租车不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元(不足 1 小 时的部分按 1 小时计算).有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游(各租一车一次) .设 1 1 甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 、 ;两小时以上且不超过三小时还车的概率 4 2 1 1 分别为 、 ;两人租车时间都不会超过四小时. 2 4 (Ⅰ)分别 求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率. 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算,考查运用所学知识和 方法解决实际问题的能力. 解: (Ⅰ)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件 A、B,则 1 1 1 1 1 1 P( A) = 1 ? ? = , P( A) = 1 ? ? = . 4 2 4 2 4 4 1 1 答:甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 、 . 4 4 (Ⅱ)记甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元为事件 C,则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 P(C ) = ( × ) + ( × + × ) + ( × + × + × ) = . 4 2 4 4 2 2 2 4 4 2 4 4 4 3 答:甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率为 4 天津理
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10.如图,用四种不同的颜色给图中的 A, B, C , D, E , F 六个点涂色,要求每个点涂一种 颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有( A. 288 种 B. 264 种 C. 240 种 D. 168 种 【解】解法 1.首先考虑除 E , F 外,相邻两端点不同色的情形:此时 解 解法 . ) .
A E D

A 有 4 种涂法,与 A 相邻的点 B 有 3 种涂法, D 有 3 种涂法, E 有 2 种涂法, B 此时, C 有 2 种涂法, F 有 2 种涂法,因此共有 4 × 3 × 3 × 2 × 2 × 2 = 288 (种) .

F C

但是,这是有可能 E , F 同色,且当 B, D 同色, A, C 不同色时, E , F 同色.此时的涂法 有同色的 E, F 有 4 种,对于点 E ,点 A, D 共有 3 × 2 = 6 种,由对称性 B, C 只有 1 种涂法. 所以共有 4 × 3 × 2 × 1 = 24 (种) . 因此,符合题目要求的涂法有 288 ? 24 = 264 (种) .故选B. 解法 2.分两种情形讨论:点 A, F 同色和点 A, F 不同色,涂法数如下表: .

A, F
点 A, F 同色 点 A, F 不同色

B

E

D

C





4 4×3

3 2

3 2

2 2

1 2

4 × 3 × 3 × 2 × 1 = 72 4 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 192

因此,符合题目要求的涂法有 72 + 192 = 264 (种) .故选B. . 解法 3.先对 B, F , C 涂色,有 4 × 3 × 2 = 24 (种) . 固定其中一种涂法,设四种不同的颜色为颜色①,②,③,④.且设 B 涂颜色①, F 涂 颜色②, C 涂颜色③. 则根据题意 A, E , D 的涂法可用下表枚举:

A E D

② ③ ④

② ③ ①

② ④ ①

② ① ④

③ ④ ②

③ ④ ①

③ ① ④

③ ① ②

④ ③ ①

④ ③ ②

④ ① ②

以上共 11 种, 因此符合题目要求的涂法有 24 ×11 = 264 (种) .故选B. 解法 4.分两种情形讨论: . (1)全部使用四种不同的颜色. 第一步:对 B, F , C 涂色,只能用三种颜色,有 A 4 = 24 (种) ,
3

第二步:从 A, E , D 三点中选一点涂第四种颜色,有 C3 = 3 种,再对另两点涂色有 3 种涂
1

法,共有 3 × 3 = 9 种涂法, ; 所以全部使用四种不同的颜色的涂法有 24 × 9 = 216 (种) (2) 只使用三种颜色.

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第一步:对 B, F , C 涂色,有 C4 A 3 = 24 (种) ,
3 3

第二步:对 A, E , D 三点涂色,由于只用三种颜色,则点 A 有 2 种涂法,此时 E 和 D 只 有 1 种涂法. . 所以只使用三种颜色的涂法有 24 × 2 = 48 (种) 由(1) ,(2) 符合题目要求的涂法有 216 + 48 = 264 种) .故选B. 解法 5.为研究问题方便,不妨把平面图形变换成三棱柱,如右图所示, . 染色规则: 在三棱柱的六个顶点中,相同颜色的顶点可连接同一颜色的线段,依题意,三棱 柱的九条棱都不能染色. 下面分情况进行讨论: (1) 当六个顶点只用三种颜色涂色时,相同颜色 顶点的连线为三棱柱侧面上的对角线,如图 (甲)或(乙),图中字母的角码表示颜色编号, 则不同的涂色方法共有: C2 A 4 = 48 (种);
1 3

A1 E3

D2

A1 E3

D2

B2 F1
(图甲)

C3

B3 F2
(图乙)

C1

(2) 当六个顶点用四种颜色涂色时,又可分为 在(1)的条件下,用第四种颜色替换掉六个 顶点中的一个或两个: ①用第四种颜色替换掉六个顶点中的一个, 如图(丙),此时相当于在(1)的条件下,去掉 一条侧面上的对角线,有 C
1 1 3 种方法,因此, 1 3

A4 E3

D2

A1 E4

D2

B2 F1
(图丙)

C3

B3 F2
(图丁)

C4

不同的涂色方法共有: C3 (C 2 A 4 ) = 144 (种); ②用第四种颜色替换掉六个顶点中两个,显然被替换掉的两个顶点的颜色编号 不能相同,否则与(1)重复,被替换掉的两个顶点也不能在同一底面上或同一侧 棱上,因此被替换掉的两个顶点与被保留的两个同颜色顶点在同一侧面上,如 图(丁), 此时相当于在(1)的条件下,保留一个侧面上的对角线,考虑到重复情 况,不同的涂色方法共有:

1 1 1 3 C3 (C 2 A 4 ) = 72 (种). 2

综 上 所 述 , 不 同 的 涂 色 方 法 共 有 :
48 + 144 + 72 = 264 (种).故选 B.

11.甲、乙两人在 10 天中每天加工的零件的个数用茎叶 图表示如下图. 中间一列的数字表示零件个数的十位数, 两边 的数字零件个数的个位数,则这 10 天中甲、乙两人日加工零 和 . 件的平均数分别为

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【解】 24 , 23 . 解 设甲的平均数为 a ,乙的平均数为 b ,则

?1 ? 2 + 0 + 1 + 3 + 2 + +0 + 15 + 11 + 11 = 24 . 10 ?1 ? 3 ? 9 + 1 + 4 + 2 + 4 + 10 + 12 + 10 b = 20 + = 23 . 10 则这 10 天中甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 24 和 23 2 18. (本小题满分 12 分)某射手每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击的结果互不影 3 a = 20 +
响. (Ⅰ)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中的概率. (Ⅱ)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标的概率. (Ⅲ)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次 射击中, 若有 2 次连续击中, 而另外 1 次未击中, 则额外加 1 分; 3 次全击中, 若 则额外加 3 分. 记

ξ 为射手射击 3 次后的总得分数,求 ξ 的分布列.
【解】 解 (Ⅰ)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X ~ B ? 5, 在 5 次射击中恰有 2 次击中的概率为

? ?

2? ?. 3?

40 ? 2? 2 ?2? P ( X = 2 ) = C5 × ? ? × ? 1 ? ? = . ? 3 ? ? 3 ? 243
(Ⅱ)设“第 i 次击中目标”为事件 Ai ( i = 1, 2,3, 4,5 ) , “射手在 5 次射击中有 3 次连续击 中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A .则

2

3

P ( A ) = P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) + P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) + P ( A1 A2 A3 A4 A5 )

8 ? 2? ?1? 1 ? 2? 1 ?1? ? 2? = ? ? ×? ? + ×? ? × + ? ? ×? ? = . ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 81
(Ⅲ)由题意, ξ 的所有可能取值为 0,1, 2, 3, 6 .

3

2

3

2

3

1 ?1? P (ξ = 0 ) = P ( 三次均未中) = P ( A1 A2 A3 ) = ? ? = ; ? 3 ? 27

3

P (ξ = 1) = P( 仅击中 1 次) = P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 )
2 ?1? 1 2 1 ?1? 2 2 = ×? ? + × × + ? ? × = ; 3 ? 3? 3 3 3 ? 3? 3 9 2 1 2 4 P (ξ = 2 ) = P ( 击中 2 次但未连续击中) = P ( A1 A2 A3 ) = × × = ; 3 3 3 27
2 2

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- - 33 - -

P (ξ = 3)

= P(


2

2


2











8 ?2? 1 1 ?2? = P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) = ? ? × + × ? ? = ; 27 ?3? 3 3 ?3?
8 ?2? P (ξ = 6 ) = P( 3 次连续击中) P ( A1 A2 A3 ) = ? ? = . ? 3 ? 27
或 P (ξ = 6 ) = 1 ? P ( ξ = 0 ) ? P (ξ = 1) ? P (ξ = 2 ) ? P (ξ = 3)
3

= 1?

1 2 4 8 8 ? ? ? = . 27 9 27 27 27

所以 ξ 的分布列为

ξ
P
天津文

0 1 27

1 2 9

2 4 27

3 8 27

6 8 27

18. (本小题满分 12 分)有编号为 A1 , A2 , L , A10 的 10 个零件,测量其直径(单位: cm ) ,得 到下面数据: 编号 直径

A1 1.51

A2 1.49

A3 1.49

A4 1.51

A5 1.49

A6 1.51

A7 1.47

A8 1.46

A9 1.53

A10 1.47

其中直径在区间 [1.48,1.52] 内的零件为一等品. (Ⅰ)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率. (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率 【解】 解 (Ⅰ)由所给的数据可知,一等品的零件共有 6 个. 设“从 10 个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件 A ,则 P ( A ) = 所以从 10 个零件中,随机抽取一个零件为一等品的概率为 (Ⅱ)(ⅰ)一等品零件的编号为 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 . 从这 6 个一等品零件种随机抽取 2 个,所有可能的抽取结果有

6 3 = . 10 5

3 . 5

{ A1 , A2 } , { A1 , A3 } , { A1 , A4 } , { A1 , A5 } , { A1 , A6 } ,

{ A2 , A3} , { A2 , A4 } , { A2 , A5 } , { A2 , A6 } , { A3 , A4 } , { A3 , A5 } , { A3 , A6 } , { A4 , A5 } , { A4 , A6 } , { A5 , A6 } .
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- - 34 - -

共 15 种. (ⅱ) 记“从一等品零件中,随机抽取 2 个直径相等”为事件 B ,则事件 B 的所有可能结 果有

{ A1 , A4 } , { A1 , A6 } , { A4 , A6 } , { A2 , A3 } , { A2 , A5 } , { A3 , A5 }
共 6 种.所以 P ( B ) =

6 2 = . 15 5 2 . 5

因此从一等品零件中,随机抽取 2 个直径相等的概率为

浙江理 9.有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随机的并排 摆 放 到 书 架 的 同 一 层 上 , 则 同 一 科 目 的 书 都 不 相 邻 的 概 率 B A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D

4 5

13.设二项式(x-

a )6(a>0)的展开式中 X 的系数为 A,常数项为 B,若 B=4A,则 a 的值 x

。2 是 15.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生 得到甲公司面试的概率为

2 ,得到乙丙公司面试的概率为 p ,且三个公司是否让其面试 3 1 是相互独立的。记 X 为该毕业生得到面试得公司个数。若 P ( X = 0) = ,则随机变量 X 12
的数学期望

E( X ) =

5 3

浙江文 浙江文(8)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白 球的概率是 A. D (13)某小学为了解学生数学课程的学习情 况,在 3000 名学生中随机抽取 200 名, 并统计这 200 名学生的某次数学考试成 绩,得到了样本的频率分布直方图(如 图) 。根据频率分布直方图推测 3000 名 学生在该次数学考试中成绩小于 60 分 的学生数是_____________________600 重庆理(4)(1 + 3 x ) n (其中n ∈ N 且n≥6) 的 重庆理 展开式中 x 与 x 的系数相等,则 n = (A)6 (B)7 (C)8 (D)9
5 6

1 10

B.

3 10

C.

3 5

D.

9 10

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2011 年高考数学试题分类汇编

- - 35 - -

B (13)将一枚均匀的硬币投掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率 为__________

11 32

(17) (本小题满分 13 分)(Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分) 某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申 请其中任一个片区的房源是等可能的。求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望。 17. (本题 13 分) 解:这是等可能性事件的概率计算问题. (I) 解法一: 所有可能的申请方式有 34 种, 恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式 C4 ? 2 种,
2 2

从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为

2 C4 ? 2 2 8 = . 4 27 3

解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P ( A) =

1 . 3

从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,恰有 2 人申请 A 片区房 源的概率为

1 2 8 P4 (2) = C42 ( )2 ( ) 2 = . 3 3 27
(II)ξ的所有可能值为 1,2,3.又

3 1 = , 4 27 3 C 2 (C1 C 3 + C 2 C 2 ) 14 C 2 (24 ? 2) 14 P (ξ = 2) = 3 2 4 4 4 2 = (或P (ξ = 2) = 3 4 = ) 27 27 3 3
P (ξ = 1) = P (ξ = 3) =
1 2 1 C3 C4 C2 4 C 2 A3 4 = (或P (ξ = 3) = 4 4 3 = ). 9 9 34 3

综上知,ξ有分布列 1 ξ P

2

3

14 4 27 9 1 14 4 65 从而有 Eξ = 1 × + 2× + 3× = . 27 27 9 27
重庆文 重庆文 4.从一堆苹果中任取 10 只,称得它们的质量如下(单位:克) 125 120 122 105 130 114 116 95 120 则样本数据落在 [114.5,124.5) 内的频率为 C
- 35 -

1 27

134

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- - 36 - -

A.0.2
6

B.0.3
4

C.0.4 240

D.0.5

11. (1 + 2 x) 的展开式中 x 的系数是

17. (本小题满分 13 分, (I)小问 6 分, (II)小问 7 分) 某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房 源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (I)没有人申请 A 片区房源的概率; (II)每个片区的房源都有人申请的概率。 17. (本题 13 分) 解:这是等可能性事件的概率计算问题。 (I)解法一:所有可能的申请方式有 34 种,而“没有人申请 A 片区房源”的申请方式有 24 种。 记“没有人申请 A 片区房源”为事件 A,则

P ( A) =

24 16 = . 34 81
1 . 3

解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P ( A) =

由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,没有人申请 A 片区房源的概率 为

2 16 0 1 P4 (0) = C4 ( )0 ( )4 = . 3 3 81
(II)所有可能的申请方式有 34 种,而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有
1 1 2 3 C3 C42 C2 (或C4 C3 ) 种.

记“每个片区的房源都有人申请”为事件 B,从而有
1 2 1 3 C3 C4 C2 36 4 C42 A3 4 P( B) = = 4 = (或P ( B ) = 4 = ). 9 9 34 3 3

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