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【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第20课 导数的综合应用 文


第 20 课

导数的综合应用
页)

(本课时对应学生用书第

自主学习 回归教材

1.( 选修 2-2P27 习题 15 改编 ) 如图,水波的半径以 50 cm/s 的速度向外扩张,当半径为 250 cm 时,水波面的圆面积的膨胀率是 cm /s.
2

(第1题) 【答案】25 000π 【解析】设时间t对应的水波面的圆的半径为r,面积为S,则r=50t,S=π r =2 500π t ,当
2 2

r=250时,t=5,故有s'=(2 500π t2)'=5 000π ?t=25 000π (cm2/s).

2.(选修1-1P83习题3改编)若做一个容积为256的方底无盖水箱,为使它的用料最省(全面积最 小),则它的高为 【答案】4

.

256 1024 2 2 2 2 2 【解析】设高为h,底边长为x,则x h=256,所以S=4hx+x =4x? x +x = x +x ,S'=1024 x 2 +2x.令S'=0,解得x=8,此时h=4,S取最小值.

1 3.(选修2-2P34习题4改编)设函数f(x)= 3 x-ln x(x>0),则y=f(x)的最小值为
【答案】1-ln 3

.

1 1 【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),由f'(x)= 3 - x =0,得x=3,所以f(x)在(0,3)上单
调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(3)=1-ln 3.

1

4.(选修1-1P79例2改编)设计一种体积为v0的圆柱形饮料罐,为了使它的用料最省,则它的高 为
3

.

4v0

【答案】

?

v0 2 【解析】设圆柱的高为H,底面半径为R,则表面积为S=2π RH+2π R ,又π R H=v0,H= ? R ,
2 2

v v0 2v 0 2v 0 3 0 2 2 2 2 故S=2π R? ? R +2π R = R +2π R ,由S'=- R +4π R=0,解得R= 2π ,此时S最小,
v0 3 4v0 2 H= πR = π .

5.(选修2-2P35例1改编)用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角 分别截去一个小正方形,然后把四边翻折90°角,再焊接而成,则该容器的高为 时,容器的容积最大. 【答案】10 【解析】设容器的高为x cm,即小正方形的边长为x cm,该容器的容积为V,则V=(90-2x)(482x)x=4(x -69x +1 080x),0<x<12,V'=12(x -46x+360)=12(x-10)(x-36),当0<x<10时,
3 2 2

cm

V'>0;当10<x<12时,V'<0,所以V在(0,10]上是增函数,在[10,12)上是减函数,故当x=10
时,V最大.

1.最值与不等式 各类不等式与函数最值的关系如下表: 不等式类型 任意的x∈D,f(x)>M 任意的x∈D,f(x)<M 存在x∈D,f(x)>M 存在x∈D,f(x)<M 与最值的关系 任意的x∈D,f(x)min>M 任意的x∈D,f(x)max<M 任意的x∈D,f(x)max>M 任意的x∈D,f(x)min<M

2

任意的x∈D,f(x)>g(x)

任意的x∈D, [f(x)-g(x)]min>0 任意的x∈D, [f(x)-g(x)]max<0

任意的x∈D,f(x)<g(x)

(续表) 不等式类型 任 意 的 x1∈D1 , 任 意 的 x2∈D2 , 与最值的关系 任意的x∈D1,任意的x∈D2,f(x)min>g(x)max

f(x1)>g(x2)
任 意 的 x1∈D1 , 存 在 x2∈D2 ,

f(x1)>g(x2)
存 在 x1∈D1 , 任 意 的 x2∈D2 ,

任意的x∈D1,任意的x∈D2,f(x)min>g(x)min

f(x1)>g(x2)
存 在 x1∈D1 , 存 在 x2∈D2 ,

任意的x∈D1,任意的x∈D2,f(x)max>g(x)max

f(x1)>g(x2)

任意的x∈D1,任意的x∈D2,f(x)max>g(x)min

2.实际应用题 (1)解题的一般步骤:理解题意,建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果 回答实际问题. (2)注意事项:注意实际问题的定义域;实际问题中的函数多数是单峰函数(即在定义域内只有 一个极值点的函数),这样的极值点也是最值点.

【要点导学】 要点导学 各个击破

利用导数研究函数的性质

3

1 2 例1 设函数f(x)=cln x+ 2 x +bx(b,c∈R,c≠0),且x=1为f(x)的极值点.
(1)若x=1为f(x)的极大值点,求f(x)的单调区间(用c表示); (2)若f(x)=0恰有两解,求实数c的取值范围. 【思维引导】(1)条件:x=1为f(x)的极大值点;目标:确定函数f(x)的单调区间;方 法:利用f'(1)=0使用c表示b后确定导数大于零和小于零的区间.(2)条件:使用c表达的函数解 析式;目标:c的取值范围;方法:讨论函数的单调性和极值点,根据极值点的位置和极值大 小确定方程有解的条件.

x 2 ? bx ? c c x 【解答】f'(x)= x +x+b= ,
又因为f'(1)=0,所以b+c+1=0,

(x-1)(x-c) x 所以f'(x)= 且c≠1,b+c+1=0.
(1)因为x=1为f(x)的极大值点,所以c>1. 当0<x<1时,f'(x)>0; 当1<x<c时,f'(x)<0; 当x>c时,f'(x)>0, 所以f(x)的单调增区间为(0,1),(c,+∞);单调减区间为(1,c). (2)①若c<0,则f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,要使f(x)=0恰有两 解,如图(1)所示,只需f(1)<0,

1 1 即 2 +b<0,所以- 2 <c<0;

图(1)

图(2)

4

图(3) (例1)

c2 1 1 1 2 ②若0<c<1,则f(x)极大值=f(c)=cln c+ 2 c +bc=cln c- 2 -c,f(x)极小值=f(1)= 2 +b=- 2 c2 1 c,显然f(c)=cln c-c- 2 <0,f(x)极小值=- 2 -c<0,如图(2)所示,所以f(x)=0只有一解; c2 1 ③若c>1,则f(x)极小值=cln c-c- 2 <0,f(x)极大值=- 2 -c<0,如图(3)所示,所以f(x)=0只
有一解.

? 1 ? 0? ?- , 综上,使f(x)=0恰有两解的c的取值范围为 ? 2 ? .
【精要点评】本题中讨论方程实数根的个数的基本思想是数形结合思想,在定义域区间 端点函数值达到无穷大的、有两个极值点的函数类似三次函数,当其中两个极值都大于零或者 都小于零时函数只有一个零点,当其中一个极值点等于零时函数有两个零点,当极大值大于 零、极小值小于零时有三个零点.如果函数在定义域区间端点的函数值不是无穷的,还要结合 端点值和极值的情况进行综合比较.

变式 (2015?哈尔滨三中模拟)已知函数f(x)=x +ax -a x+m+2(a>0). (1)若f(x)在[-1,1]内没有极值点,求实数a的取值范围; (2)当a=2时,方程f(x)=0有三个互不相同的解,求实数m的取值范围. 【思维引导】(1)若f(x)在[-1,1]内没有极值点,则f'(x)=0的根不在区间[-1,1]上; (2)方程f(x)=0有三个互不相同的解,则函数f(x)的极大值大于零、极小值小于零.

3

2

2

? a? ? x- ? 2 2 【解答】(1)因为f'(x)=3x +2ax-a =3 ? 3 ? (x+a),
a 令f'(x)=0,得x= 3 或-a,
因为f(x)在[-1,1]内没有极值点,而且a>0,

5

?a ? ? 1, ?3 ?-a ? -1, 所以 ? 解得a>3,故实数a的取值范围是(3,+∞).

? 2? 2 ? x- ? (2)当a=2时,f'(x)=3 ? 3 ? (x+2)=0的两根为 3 ,-2,要使方程f(x)=0有三个互不相同
? f (-2) ? 0, ? ? ?2? 14 ? f ? 3 ? ? 0, 的解,需使 ? ? ? 解得-10<m<- 27 ,
14 ? ? ? ?10, ? ? 27 ? . 所以m的取值范围为 ?

利用导数解决实际生活中的优化问题 例2 在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门 (该门为轴对称图形),其中矩形ABCD的三边AB,BC,CD由长为6 dm的材料弯折而成,BC边的长

3? ? ?1 ? t ? ? 2 ? .曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种:曲线C1是一段余弦曲线,在如图 为2t dm ?
所示的平面直角坐标系中,其解析式为y=cos x-1,此时记门的最高点O到BC边的距离为

9 h1(t);曲线C2是一段抛物线,其焦点到准线的距离为 8 ,此时记门的最高点O到BC边的距离为
h2(t).
(1)试分别求出函数h1(t),h2(t)的表达式; (2)要使得点O到BC边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?

(例2)

6

【思维引导】(1)可以通过求点D的坐标求出点O到BC边的距离;(2)利用导数的方法求出 最大值,并进行比较. 【解答】(1)对于曲线C1,因为曲线AOD的解析式为y=cos x-1,所以点D的坐标为(t,cos

t-1),
所以点O到AD的距离为1-cos t,而AB=DC=3-t,

3 则h1(t)=(3-t)+(1-cos t)=-t-cos t+4,1≤t≤ 2 . 9 对于曲线C2,因为抛物线的方程为x =- 4 y,
2

? 4 2? 4 - t ? ? t, 2 9 ?, ? 9 即y=- x ,所以点D的坐标为
4 2 所以点O到AD的距离为 9 t ,而AB=DC=3-t, 4 3 2 所以h2(t)= 9 t -t+3,1≤t≤ 2 .
(2)由(1)知h'1(t)=-1+sin t<0,

? 3? ?1,? 所以h1(t)在 ? 2 ? 上单调递减,
所以当t=1时,h1(t)取得最大值3-cos 1.

4 ? 9 ? 39 3 ? t- ? 又h2(t)= 9 ? 8 ? + 16 ,而1≤t≤ 2 ,

2

3 5 所以当t= 2 时,h2(t)取得最大值 2 , π 1 因为cos 1>cos 3 = 2 , 1 5 所以3-cos 1<3- 2 = 2 . 3 5 故选用曲线C2,当t= 2 时,点O到BC边的距离最大,最大值为 2 dm.
【精要点评】用导数解决实际问题的注意事项:(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定 要注意考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值舍去.(2)在实际问题中,有时会遇到函数在

7

区间内只有一个点使得f'(x)=0的情形,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小) 值,就是问题的最优解.(3)在列函数关系式解决优化问题中,不仅要注意函数关系式表达要恰 当,还要注意自变量的实际意义,依此确定定义域.

变式 (2014?南京、盐城一模)如图,现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通 “环岛”.以正方形的四个顶点为圆心,在四个角分别建半径为x m(x≥9)的扇形花坛,以正方

1 2 形的中心为圆心建一个半径为 5 x m的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于60 m,绕
岛行驶的路宽均不小于10 m. (1)求x的取值范围(注: 2 取1.4);

4 2 2 (2)若中间草地的造价为a元/m ,四个花坛的造价为 33 ax 元/m ,其余区域的造价为 12 a 11 元/m2,问:当x取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?

(变式)

? ? x ? 9, ? ?100-2 x ? 60, ? 1 ?100 2-2 x-2 ? x 2 ? 2 ?10, 5 【解答】(1)由题意得 ?

解得

? x ? 9, ? ? x ? 20, ?-20 ? x ? 15, ?

即9≤x≤15.

所以x的取值范围是[9,15]. (2)记“环岛”的整体造价为y元,

8

则由题意得
2 2 ? 4 ? ?1 2? ?1 2? 4 12 a 10 ? ? ? x ? ? x2 ? a ? ? ? x ? ? ?5 ? ? ? ? = 11 y=a?π ? ? 5 ? + 33 ax?π x2+ 11 ? ?

? ? 1 4 4 3 2? 4? ?? ? ? 25 x ? 3 x ? 12 x ? ? 12 ? 10 ? ? ? ? ?.

1 4 4 3 2 令f(x)=- 25 x + 3 x -12x ,

? 1 2 ? 4 x -x ? 6 ? ? 3 2 ?, 则f'(x)=- 25 x +4x -24x=-4x ? 25
由f'(x)=0,解得x=0(舍去)或x=10或x=15.列表如下:

x f'(x) f(x)
所以当x=10时,y取最小值.

(9,10)

10 0 极小值

(10,15)



+


答:当x=10 m时,可使“环岛”的整体造价最低.

导数在研究方程、不等式中的应用 例3 已知函数f(x)=2x ,g(x)=aln x(a>0). (1)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围;
2

ln2 4 ln34 lnn 4 2 4 4 4 (2)求证: 2 + 3 +?+ n < e .
【思维引导】(1)条件:已知函数f(x),g(x)的解析式;目标:在不等式f(x)≥g(x)恒成 立时求参数a的取值范围;方法:构造函数F(x)=f(x)-g(x),只要函数F(x)在(0,+∞)上的最 小值大于0即可得参数a的不等式,解此不等式即得所求.(2)条件:(1)的求解结果;目标:证 明(2)中的不等式;方法:根据(1)中结果得到不等式,使用特殊赋值法和放缩法可得. 【解答】(1)令F(x)=f(x)-g(x)=2x -aln x,a>0,x>0,
2

a a 则F'(x)=4x- x ,令F'(x)=0,得x= 2 ,

9

? a 0 , ? ? 2 所以F(x)的单调减区间为 ?

? ? a ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,单调增区间为 ? 2 ? ,F(x)min=F(x)极小值

? a? a ? ? 2 ? ? ? = 2 -aln =F ?
a 只要 2 -aln

a 2 , a 2 ≥0即可,得a≤4e且a>0,

即a∈(0,4e].

4ln x 2 4 2 2 (2)由(1)得2x ≥4eln x,即 x ≤ ex ,

ln2 4 ln34 lnn 4 2 ? 1 ? 1 ? …? 1 ? 2 ? 2 ? 4 4 4 32 n2 ? < e 所以 2 + 3 +?+ n ≤ e ? 2

1 ? 2 ? 1 1 ? ? ? 1 ? 2 + 2 ? 3 +?+ n(n-1) ? < e .

【精要点评】含有参数的不等式恒成立问题是高考的一个热点题型,解决这类试题的基 本思想是转化思想,即把含参不等式的恒成立问题转化为函数的最值或者值域问题,根据函数 的最值或者值域找到参数所满足的不等式,即得到了参数的取值范围.

变式 (2016?苏州期中)已知函数f(x)=x -2ax+1. (1)若函数g(x)=loga[f(x)+a](a>0,a≠1)的定义域是R,求实数a的取值范围;

2

f (x) (2)当x>0时,不等式 x >ln x恒成立,求实数a的取值范围.
【解答】(1)由题意知,对任意的x∈R,f(x)+a>0恒成立,即x -2ax+1+a>0恒成立,即 Δ =4a -4(1+a)<0,
2 2

1- 5 1? 5 2 即a -a-1<0,解得 2 <a< 2 .
? 1? 5 ? ? ? 1, 2 ? ? ?. 又因为a>0,a≠1,所以实数a的取值范围是(0,1)∪ ?
f (x) 1 1 (2)当x>0时,不等式 x >ln x等价于x-2a+ x >ln x,即2a<x+ x -ln x. 1 设g(x)=x+ x -ln x(x>0),

10

1 1 x 2 -x -1 2 2 则g'(x)=1- x - x = x ,

1? 5 令g'(x)=0,得x= 2 , 1? 5 当0<x< 2 时,g'(x)<0,g(x)单调递减;

1? 5 当x> 2 时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
? 1? 5 ? 1? 5 ? ? 2 ? ? ? = 5 -ln 故当x= 2 时,g(x)取得极小值,也是最小值,且g(x)min=g ?

1? 5 1 2 .因为2a<x+ x -ln x, 1? 5 2 , 所以2a< 5 -ln
? 5 1 1? 5 ? ?? , ? ln ? ? ? 2 2 2 ? ?. 所以实数a的取值范围是 ?

1.(2015?全国卷)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,且当x>0时,xf'(x)-

f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是
【答案】(-∞,-1)∪(0,1)

.

f (x) xf'(x )-f (x ) x2 【解析】记函数g(x)= x ,则g'(x)= ,因为当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,故当x>0
时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x) 是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0<x<1时,g(x)>0,则

f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,1)∪(0,1).

11

2.(2015?启东调研)要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高应为 cm.

20 3 【答案】 3
1
2 2 2 2 【解析】设圆锥的高为x cm,则底面半径为 20 -x ,其体积V= 3 π x(20 -x )(0<x<20),

20 3 20 3 20 3 1 2 V'= 3 π (400-3x ),令V'=0,解得x1= 3 ,x2=- 3 (舍去).当0<x< 3 时,V'>0;当 20 3 20 3 3 <x<20时,V'<0,所以当x= 3 时,V取最大值.

?(2 x-x2 )e x,x ? 0, ? 2 - x ? 4 x ? 3,x ? 0, 3.(2014?苏锡常镇连徐调研(一))已知函数f(x)= ? g(x)=f(x)+2k,若函
数g(x)恰有两个不同的零点,则实数k的取值范围为

.

? ? 2 ? 1? ? 7 3? ? - ? ?0, 2 ? ?- , ? e ? ? 【答案】 ? 2 2 ? ∪ ?

(第3题)
2 x 【解析】当x≤0时,f'(x)=(2-x )e ,当x=- 2 时取得极小值f(- 2 )=-2( 2 +1)? e 2

.当

x<0时,f(x)<0,且f(0)=0,函数f(x)的图象如图所示,函数g(x)恰有两个不同的零点,就是
f(x)的图象与直线y=-2k有两个不同的交点,所以3<-2k<7或-2k=0或-2k=-2( 2 +1) e 2

,即

? ? 2 ? 1? ? 7 3? ? 0, ? ? ? , ? 2 ? ? ? e ?. 2 2 ? ? ? ? k∈ ∪

12

4.(2015?江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状, 计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区 边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分 别为5 km 和40 km,点N到l1,l2的距离分别为20 km和2.5 km,以l1,l2所在的直线分别为x

a 轴、y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y= x ? b (其中a,b为常数)的模型.
2

(1)求a,b的值. (2)设公路l与曲线C相切于点P,点P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; ②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.

(第4题)

a 【解答】(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y= x ? b ,
2

? a ? 40, ? ? 25 ? b ? ? a ? 2.5, ? 400 ? b ? 得

?a ? 1000, ? b ? 0. 解得 ?
1000 2 (2)①由(1)知,y= x (5≤x≤20),

? 1000 ? ? t, 2 ? t ?. 则点P的坐标为 ?

13

2000 1000 3 2 设在点P处的切线l交x轴、y轴分别于A,B两点,y'=- x ,则直线l的方程为y- t =-

? 3t ? ? 3000 ? 2000 0? ? , ? 0, 2 ? 3 t ?. t (x-t),由此得A ? 2 ? ,B ?
? 3t ? ? 3000 ? 3 2 4 ?106 t ? 4 ? ? ?? 2 ? 2 t ? =2 t 所以f(t)= ? ? ? ,t∈[5,20].
2 2

4 ?106 16 ?106 4 5 2 ②设g(t)=t + t ,则g'(t)=2t- t .
令g'(t)=0,解得t=10 2 . 当t∈(5,10 2 )时,g'(t)<0,g(t)是减函数; 当t∈(10 2 ,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数. 从而,当t=10 2 时,函数g(t)有极小值,也是最小值, 所以g(t)min=300,此时f(t)min=15 3 . 答:当t=10 2 时,公路l的长度最短,最短长度为15 3 km.

【融会贯通】 融会贯通 能力提升

(2014?南京学情调研)已知函数f(x)=ax -ln x(a为常数).

2

1 (1)当a= 2 时,求f(x)的单调减区间;
(2)若a<0,且对任意的x∈[1,e],f(x)≥(a-2)x恒成立,求实数a的取值范围.

【思维引导】

14

【规范解答】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),

1 2ax 2 -1 f'(x)=2ax- x = x .

x 2 -1 1 当 a= 2 时, f'(x)= x .???????????????????????????2


由f'(x)<0及x>0,解得0<x<1, 所 以 函 数

f(x)















(0



1).

?????????????????????4分

(2)方法一:设F(x)=f(x)-(a-2)x=ax -ln x-(a-2)x. 因为对任意的x∈[1,e],f(x)≥(a-2)x恒成立, 所以当x∈[1,e]时,F(x)≥0恒成立.

2

2ax 2 -(a-2)x-1 (ax ? 1)(2 x-1) 1 x x F'(x)=2ax- x -(a-2)= = .
1 1 因为a<0,令F'(x)=0,得x1=- a ,x2= 2 <1.??????????????????7分 1 ①当0<- a ≤1,即a≤-1时,因为x∈(1,e),所以F'(x)<0,
所以F(x)在(1,e)上单调递减.

15

因为对任意的x∈[1,e],F(x)≥0恒成立, 所以F(x)min=F(e)≥0,

1-2e 2 即ae -1-(a-2)e≥0,解得a≥ e -e .
2

1-2e 2 因为 e -e >-1,
所以此时a不存在.????????????????????????????10分

1 1 ②当1<- a <e,即-1<a<- e 时,

? 1? ? 1 ? - ? ?1, ? - ,e ? ? 时,F'(x)<0, 因为x∈ ? a ? 时,F'(x)>0;x∈ ? a ? 1? ? 1 ? - ? ?1, ? - ,e ? ? 上单调递减. 所以F(x)在 ? a ? 上单调递增,在 ? a
因为对任意的x∈[1,e],F(x)≥0恒成立, 所以F(1)=2>0,且F(e)≥0,

1-2e 2 2 即ae -1-(a-2)e≥0,解得a≥ e -e . 1-2e 1 2 因为-1< e -e <- e , 1-2e 1 2 所以 e -e ≤a<- e .?????????????????????????????13


1 1 ③当- a ≥e,即- e ≤a<0时,因为x∈(1,e),所以F'(x)>0,
所以F(x)在(1,e)上单调递增,由于F(1)=2>0,符合题意.???????????15分

?1-2e ? , 0? 2 ? e -e ? ? .??????????????????16分 综上所述,实数a的取值范围是
方法二:因为f(x)≥(a-2)x在x∈[1,e]上恒成立, 即a(x -x)≥ln x-2x在x∈[1,e]上恒成立.
2

16

2

当x=1时,此不等式恒成立,故此时a∈R.?????????????????6分

lnx-2 x 2 ②当x∈(1,e]时,a≥ x -x 在x∈(1,e]上恒成立, lnx-2 x 2 令g(x)= x -x ,x∈(1,e],


(2 x-1)[(x ? 1)-lnx] (x 2 -x)2 g'(x)= , ?????????????????????????9分
令h(x)=x+1-ln x,x∈(1,e],

1 x -1 则h'(x)=1- x = x >0在x∈(1,e]上恒成立,
故h(x)在x∈(1,e]上单调递增,从而h(x)>h(1)=2>0.??????????????12 分 从而知,当x∈(1,e]时,g'(x)>0恒成立, 故g(x)在(1,e]上单调递增, 14分

1-2e 1-2e 2 2 所以g(x)max=g(e)= e -e ,故a≥ e -e ,

?1-2e ? 0? ? 2 , 又 a<0 ,故实数 a 的取值范围是 ? e -e ? .???????????????????16
分 【精要点评】求解此类问题往往从三个角度求解:一是直接求解,通过对参数 a的讨论来 研究函数的单调性,进一步确定参数的取值范围;二是分离参数法,求相应函数的最值或取值 范围以达到解决问题的目的;三是凭借函数单调性确定参数的取值范围,然后对参数取值范围 以外的部分进行分析,验证其不符合题意,即可确定所求.

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第39~40页.

17

【检测与评估】 第20课 导数的综合应用 一、 填空题 1.若函数y=ax -x在R上是减函数,则实数a的取值范围是
3

.

2.已知函数f(x)=x -3a x+1的图象与直线y=3只有一个公共点,那么实数a的取值范围 是 .

3

2

3.(2015?无锡模拟)已知某生产厂家的年利润y(单元:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关

1 3 系式为y=- 3 x +81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
4.若函数y=m与y=3x-x 的图象有三个不同的交点,则实数m的取值范围为
3

万件.

.

5.(2015?海门中学)若对任意的x∈[1,e],都有aln x≥-x +(a+2)x恒成立,则实数a的取值 范围是 .

2

6.已知a∈R,且函数y=e +ax,x∈R有大于零的极值点,那么实数a的取值范围是

x

.

7.(2014?河北质检)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,那么当正六棱柱的 体积最大时,其高为 .

8.(2015?汇龙中学)现有一张长为80 cm,宽为60 cm的长方形铁皮ABCD,准备用它做成一个无 盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处的损失.如图,若长方形ABCD的一个 角剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,则该铁皮 盒体积V的最大值为

cm3.

(第8题)

18

二、 解答题 9.(2014?南京一中)甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲 方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的 年利润x(单位:元)与年产量t(单位:t)满足函数关系x=2 000 t .若乙方每生产1 t产品必须 赔付甲方s元(以下称s为赔付价格). (1)将乙方的年利润ω (单位:元)表示为年产量t的函数,并求出乙方获得最大利润时的年产 量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t (单位:元),在乙方按照获得最大利润 的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多 少?
2

9 2 10.(2015?曲塘中学)设函数f(x)=x - 2 x +6x-a.
3

(1)若对于任意实数x,f'(x)≥m恒成立,求实数m的最大值; (2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求实数a的取值范围.

11.(2015?全国卷)已知函数f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求实数a的取值范围.

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果)

(x-1)2 12.(2015?福建卷)已知函数f(x)=ln x- 2 .
(1)求函数f(x)的单调增区间; (2)求证:当x>1时,f(x)<x-1; (3)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x-1).

19

【检测与评估答案】 第20课 导数的综合应用

1.(-∞,0] 【解析】y'=3ax -1,因为函数y=ax -x在R上是减函数,所以3ax -1≤0在R上恒成 立,所以a≤0.

2

3

2

2.(-1,1) 【解析】f'(x)=3x -3a ,令f'(x)=0,则x=±a.由题意知当a<0时,f(a)=a 3a +1<3,即a >-1,所以-1<a<0;当a=0时,成立;当a>0时,f(-a)=-a +3a +1<3,即a <1,所 以0<a<1.故实数a的取值范围为(-1,1).
3 3 3 3 3

2

2

3

3.9 【解析】因为y'=-x +81,所以当x>9时,y'<0;当x∈(0,9)时,y'>0,所以函数y=-

2

1 3 x3+81x-234在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以x=9是函数的极大值点.又因
为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,所以函数在x=9处取得最大值.

4.(-2,2) 【解析】y'=3(1-x)(1+x),令y'=0,得x=±1,所以y极大值=2,y极小值=-2,作出函数

y=3x-x3和y=m的大致图象如图所示,根据图象知-2<m<2.

(第4题)

5.(-∞,-1] 【解析】由aln x≥-x +(a+2)x,得(x-ln x)a≤x -2x.由于x∈[1,e],ln

2

2

x 2 -2 x x≤1≤x,且等号不能同时取得,所以ln x<x,x-ln x>0.从而a≤ x -lnx 恒成立,即

? x2 -2 x ? (x-1)(x ? 2-2lnx) x 2 -2 x ? ? x-lnx ?min (x-lnx) 2 a≤ ? .设t(x)= x -lnx ,x∈[1,e].求导,得t'(x)= ,x∈[1,

20

e],x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,从而t'(x)≥0,t(x)在[1,e]上为增函数,所以

t(x)min=t(1)=-1,所以a≤-1.

6. (-∞,-1) 【解析】y'=e +a,由y'=0,得x=ln(-a).因为x>0,所以-a>1,所以a<-1,即 实数a的取值范围是(-∞,-1).

x

7.2 3

h2 h2 2 2 【解析】设正六棱柱的底面边长为a,高为h,则可得a + 4 =9,即a =9- 4 ,那么正
2

3 3 3 ? 9- h ? 4 2 4 2 六棱柱的体积V=6? a ?h= ??

? 3 3 ? h3 ? h3 ? ? - ? 9h ? ? h= 2 ? ? 4 ? .设y=- 4 +9h(0<h<6),

3h 2 则y'=- 4 +9,令y'=0,得h=2 3 .易知当h=2 3 时,y取得最大值,此时正六棱柱的体积最
大.

8.32000 【解析】设长方体的底面边长为x cm,高为y cm,则x +4xy=4 800,即

2

4800-x 2 y= 4 x ,0<x<60. 4800-x 2 1 2 2 4 x =- 4 x3+1 200x,令V'(x)=0,得x=40,因为当x∈(0,40) 铁皮盒体积V(x)=x y=x ?
时,V'(x)>0,V(x)是增函数;当x∈(40,60)时,V'(x)<0,V(x)是减函数,所以V(x)=-

1 4 x3+1 200x在x=40时取得极大值,也是最大值,其值为32 000 cm3.
9. (1)因为赔付价格为s元/t, 所以乙方的实际年利润为ω =2 000 t -st.

? 103 ? 106 106 t ? ? 2 s ? 2 因为ω =2 000 t -s( t ) =-s ? + s ,所以当t= s 时,ω 取得最大值.

2

106 2 所以乙方取得最大年利润时的年产量是 s t.
(2)设甲方净收入为v元,则v=st-0.002t ,
2

21

106 106 2 ?109 2 4 当t= s 时,v= s - s . 106 8 ? 109 106 ? (8? 000-s3 ) 2 5 s5 v'=- s + s = ,
令v'=0,得s=20. 当s<20时,v'>0;当s>20时,v'<0, 所以当s=20时,v取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格为20元/t时,获得最大净收入.

10.(1) f'(x)=3x -9x+6=3(x-1)(x-2),因为x∈(-∞,+∞),f'(x)≥m,

2

3 3 即3x -9x+(6-m)≥0恒成立,所以Δ =81-12(6-m)≤0,解得m≤- 4 ,即m的最大值为- 4 .
2

(2) 因为当x<1时,f'(x)>0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0,

5 所以当x=1时,f(x)取得极大值f(1)= 2 -a;当x=2时,f(x)取得极小值f(2)=2-a.故当f(2)>0 5 或f(1)<0时,方程f(x)=0仅有一个实根, 解得a<2或a> 2 ,即实数a的取值范围为(-∞,
?5 ? ?? ? ? , ?. 2)∪ ? 2

1 11.(1) f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= x -a.若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调
? 1? ?1 ? ?? ? ? 0, ? ? , ? 时,f'(x)<0,所以f(x)在 递增;若a>0,则当x∈ ? a ? 时,f'(x)>0,当x∈ ? a ? 1? ?1 ? ?? ? ? 0, ? ? , ? a ? 上单调递增,在 ? a ? 上单调递减.

1 (2) 由(1)知当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x= a 处取得最大值,
?1? ?1? 1 ?1- 1 ? ? ? ? ? ? ? 最大值为f ? a ? =ln a +a ? a ? =-ln a+a-1.因此f ? a ? >2a-2 ? ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-

22

1 1,g'(a)= a +1,当a>0时,g'(a)>0,所以g(a)在(0,+∞)上是增函数,g(1)=0,于是当
0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0,因此实数a的取值范围为(0,1).

? x ? 0, -x2 ? x ? 1 1 ? 2 - x ? x ? 1 ? 0, x 12.(1) f'(x)= x -x+1= ,x∈(0,+∞),令f'(x)>0,得 ? 解得
1? 5 0<x< 2 .
? 1? 5 ? ? ? 0, 2 ? ? ?. 故f(x)的单调增区间是 ?
(2) 令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞),

1-x 2 则有F'(x)= x .
当x∈(1,+∞)时,F'(x)<0, 所以F(x)在(1,+∞)上单调递减, 故当x>1时,F(x)<F(1)=0,即当x>1时,f(x)<x-1. (3) 由(2)知,当k=1时,不存在x0>1满足题意. 当k>1时,对于x>1,有f(x)<x-1<k(x-1),则f(x)<k(x-1),从而不存在x0>1满足题意.

- x 2 ? (1-k )x ? 1 1 x 当k<1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞),则有G'(x)= x -x+1-k= .
由G'(x)=0,得-x +(1-k)x+1=0,
2

1-k - (1-k )2 ? 4 1-k ? (1-k )2 ? 4 2 2 解得x1= <0,x2= >1,x∈(0,+∞).
当x∈(1,x2)时,G'(x)>0,故G(x)在[1,x2)内单调递增. 从而当x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,即f(x)>k(x-1), 综上,实数k的取值范围是(-∞,1).

23



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