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上海高中数学暑假班 浦东新王牌 晋s 老师 数列前n项和求法

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数列前 n 项和求法
【知识精要】 一、前 n 项和公式 Sn 的定义: Sn ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an 二、数列求和的常用方法(共 7 种) 1、公式法:1) 、等差数列求和公式;2) 、等比数列求和公式;3) 、可转化为等 差、等比的数列;4) 、常用公式:
(1) ? k ? 1 ? 2 ? 3 ?
k ?1
n

n

? n ? n(n ? 1) ;
2

1

(2) ? k 2 ? 12 ? 22 ? 32 ?
k ?1 n

? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ;
6

1

(3) ? k 3 ? 13 ? 23 ? 33 ?
k ?1

? n3 ? [

n(n ? 1) 2

]2 ;

(4) ? (2k ? 1) ? 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n - 1) ? n 2
k ?1

n

2、分组求和法:把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化 成等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列求和公式求解。 3、裂项相消法:把数列的每一项都拆成两项之差,使得相邻的项正负相抵消, 剩下的项是易于求和的形式。 常见的拆项公式有: (1) 、若 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,则
1 1 1 1 ? ( ? ); an an?1 d an an?1

(2) 、

1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 ? [ ? ]; n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 ? ( a ? b) ; a ? b a ?b

(3) 、

(4) 、

(5) 、

1 1 ? ( n ?1 ? n ) ; n?k ? n k

?S , n ? 1 (5) 、 an ? ? 1 。 S ? S , n ? 2 ? n n?1
4、倒序相加法:如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一
常数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法。如:等差数列的前 n 项和即是用此法 推导的。

5、错位相减法:适用于 ?an ? bn ?,其中 ?an ? 、 ?bn ? 分别是等差、等比数列,即把

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每一项都乘以 ?bn ? 的公比 q ,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比数列求和。 如:等比数列的前 n 项和就是用此法推导的。 (亦称“ Sn ? qSn ”法)

6、并项求和法:一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.
形如 an=(-1) f(n)类型,可采用两项合并求。 7、其他方法:累加(乘)法及归纳、猜想、证明;周期数列的求和等
n

【热身练习】
a 1、已知等差数列 ?an ? , a2 ? 9,a5 ? 21, (1) 、求 ?an ? 的通项公式; (2) 、令 bn ? 2 n ,

求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。 答案: (1) 、 an ? 4n ? 1; (2) 、 Sn ?

32(24 n ? 1) 。 15

2、已知递增的等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项。 (1) 、求数列 ?an ? 的通项公式; ( 2) 、若 bn ? log2 an?1 , S n 是数列 ?bn ? 的前 n 项和 , 求使

Sn ? 42 ? 4n 成立的 n 的最小值。
答案: (1) 、 an ? 2 n 。
(2) 、 n 的最小值为 13。

【精解名题】 题型 1 公式法:

2 2 2 例 1、1、等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? p ,求 a12 ? a2 的值。 ? a3 ? ? ? ? ? an

答案: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ?
2 2 2 2

1 n (4 ? 1) 。 3

?1? 2 点拔:等比数列的性质:若 ?an ? 为等比数列,则数列 an 及 ? ? 也为等比数列,首项 ? an ?

? ?

分别为 a1 、 ,公比分别为 q 、 。

2

1 a1

2

1 q

2、数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 1,则
(1) 、 求 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn 的 公 式 ; (2) 、设 P n ? a1 ? a4 ? a7 ? ? ? ? ? a3n?2 ,

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Qn ? a10 ? a12 ? a14 ? ? ? ? ? a2n?8 ,其中 n ? 1,2,? ? ?, 试比较 Pn与Qn 的大小,并证明你的结论。
答案: (1) 、 Sn ?

3 2 1 n ? n; 2 2

(2) 、当 n ? 20 时, Pn ? Qn ;当 n ? 19时, Pn ? Qn ;当 n ? 18时, P n ? Qn 。

题型 2

分组求和法:

例 2、求数列的前 n 项和: 1、 1? 4,2 ? 7,3 ? 30,? ? ?, n(3n ? 1),? ? ?
2、 1, (1 ? 2), (1 ? 2 ? 2 ),? ? ?, (1 ? 2 ? ? ? ? ? 2
2 n?1

Sn ? n(n ? 1)2 Sn ? 2n?1 ? 2 ? n 。

),? ? ?

3、 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n?1 ? 3n ? 2,? ? ? a a a

(3n ? 1)n a ? a1?n (3n ? 1)n ? 答案: 当 a ? 1时, Sn ? ; 当 a ? 1时, Sn ? 2 a ?1 2

点拔:关键是先求出数列的通项公式,再求和。

变式训练:数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且点 (an , an?1 )(n ? N * ) 在函数 f ( x) ? x ? 2 上,
(1)、求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 、在数列 ?an ? 中,依次抽取第 3,4,6,,? ? ? , 2 项,组成新数列 ?bn ? 的通项 bn 及前 n 项和 Sn 。
n ?1

? 2 ,,? ? ?

答案: (1) 、 an ? 2n ? 1

(2) 、 bn ? 2n ? 3 ;

Sn ? 2n?1 ? 3n ? 2 。

题型 3

裂项相消法:

例 3、求下列各式:
1、

1 1? 2

?

1 2? 3

? ??? ?

1 n ? n ?1

n ? 1 ?1
2n n ?1

2、 1 ?

1 1 1 ? ? ??? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ??? ? n

3、

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5 n(n ? 1)(n ? 2)

n2 ? 3n 4(n ? 1)(n ? 2)

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变式训练: 1、 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,a1 ? 1 ,Sn?1 ? 4an ? 1 ,设 bn ? an?1 ? 2an 。 (1) 、证明数列 ?bn ? 是等比数列; (2) 、数列 ?cn ? 满足 cn ? 求 Tn ? c1c2 ? c2c3 ? c3c4 ? ? ? ? ? cncn?1 。 答案: (2) 、 Tn ?

1 (n ? N * ) , log2 bn ? 3

n 。 4(n ? 4)

2、已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? Sn ? n2 ? n ? 0 ,求数列 ? 和 Tn 。 答案: an ? 2n ? 1, Tn ?

? ?

? 1 ? ? 的前 n 项 ? an an?1 ?

n 。 2n ? 1

点拔:裂项相消法适用于 ?

? c ? ? ,其中 ?an ? 是各项不为 0 的等差数列, c 为常数;部分 ? an an?1 ?

无理数列、含阶乘的数列等。

题型 4

倒序相加法:
44 .5 。

例 4、求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值。

1 1 1 n ?1 ); ,求(1) 、 f ( )及 f ( )? f ( 2 2 n n 1 2 3 n ?1 ) ? f (1) ,求 an ,并 (2) 、数列 ?an ? 满足 an ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? ? ? f ( n n n n

例 5、已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f (1 ? x) ?

判断该数列是否是等差数列。 答案: (1) 、

1 1 ; 。 4 2

(2) 、 an ?

n ?1 ;是等差数列。 4

变式训练:已知 lg( xy) ? a ,其中 S ? lg xn ? lg( xn?1 y) ? lg( xn?2 y 2 ) ? ? ? ? ? lg y n ,求 S。
答案: S ?

1 n(n ? 1)a 2

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题型 5

错位相减法:

例 6、求值: 1、 1 ? 3x ? 5x 2 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1
2 4 6 2n 2、 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n 2 2 2 2

?n 2 , x ? 1 ? S n ? ? (2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) ,x ?1 ? (1 ? x) 2 ?
Sn ? 4 ? n?2 2n?1

n 变式训练:设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ? ? ? ? 3n?1 an ? , n ? N * 3
(1) 、求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 、设 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。 an

答案: (1) 、 an ?

1 3n

(2) 、 Sn ?

(2n ? 1)3n?1 3 ? 。 4 4

题型 6

并项求和法 5050

例 7、求 ? 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? ? ? 992 ? 1002 的和。

练习:在各项均为正数的等比数列中,若 a5a6 ? 9 ,求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10
的值。 10

题型 7 其他方法:累加(乘)法及归纳、猜想、证明;周期数列的求和等

?? ?? ?2 例 8、 (1) 、 2 ? 22 ? 222? ? ? ? ? 222 ? ? ? n个2
(2) 、已知数列 ?an ? : an ?

答案: Sn ?

2 10(10n ? 1) ( ? n) 9 9
13 3
5

? 8 ,求 ? (n ? 1)(an ? an?1 ) 的值。 (n ? 1)(n ? 3) n?1

(3) 、已知数列 ?an ? : a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002 。

?6n ? 5, n为奇数 (4) 、已知数列 ?an ? 的通项 an ? ? n ,求其前 n 项和 Sn 。 ?2 , n为偶数
当 n 为偶数时, S n ?

3 2 5 4 4 3 1 4 7 n ? n ? ? 2n ? ;当 n 为奇数时, Sn ? n 2 ? n ? ? 2n?1 ? 2 2 3 3 2 2 3 3

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【备选例题】 设正项等比数列 ?an ? 的首项 a1 ?
(1) 、求 ?an ? 的通项; 答案: an ?

1 ,前 n 项和为 Sn ,且 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0 。 2

(2) 、求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。

1 2n



Tn ?

n(n ? 1) 1 2 ? 2 ? n?1 ? n 2 2 2

【巩固练习】 一、填空题: 1、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 2 , S4 ? 10 ,则 S6 = 24
2 3n?12 (2 ? 1) 7 1 1 1 1 1 n2 ? n ? 1 3、数列 1 ,3 ,5 ,? ? ?, (2n ? 1) ? n ,? ? ? 的前 n 项和 Sn = 2 4 8 2 2 1 1 ( x ? R ) ,若 x1 ? x2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = 4、函数 f ( x ) ? x 2 4 ?2 1 2 n ?1 n n 1 ? )? f ( )= n ? N * ,则 f ( ) ? f ( ) ? ? ? ? ? f ( 2 6 n n n n
2、设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2
4 7 3n?10

。 。 。 ,又若

(n ? N ) ,则 f (n) =

5、 已知数列 ?an ? 的通项公式是 an ?

1 n ? n ?1

, 若 Sn ? 10 , 则 n=

100



?2n?1 (n为正奇数) 6、 数列 ?an ? 中 an ? ? , 设数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn , 则 S9 = 67 ?2n ? 1(n为正偶数)



7、数列 ?an ? 中, an ?

321 2n ? 1 ,若其前 n 项的和 S n ? ,则 n= n 64 2

6



n?1 b 8、 数列 ?an ? 中, 则前 n 项和 Sn = an ? lg n , bn ? 10n?1, cn ? 32 , cn

n2 n ? ? lg 3(2n ? 1) 。 2 2


9、数列 ?an ? 中,若 an ? (?1)

n?1

(2n ?1) ,则 S17 ? S23 ? S50 = -10

二、选择题:

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10、设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,S6 ? 36, Sn ? 324 , 若 Sn?6 ? 144(n ? 6), 则 n 为(D) A、15 B、16 C、17 D、18

11、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? 4n ? 2 ,则 a1 ? a2 ? ? ? ? ? a10 等于( A ) A、68 B、66 C、65 D、61

12 已知等差数列的公差为 d ,且 a ? 0, d ? 0 ,则

1 1 1 可化简为(B ) ? ? ??? ? a1a2 a2a3 an an?1 n a1 (a1 ? nd) n ?1 a1 (a1 ? (n ? 1)d )

A、

nd a1 (a1 ? nd) d a1 (a1 ? nd)

B、

C、

D、

13、数列 (?1) n 的前 2008 项的和 S2008 为( D )
n

?

?

A、-2008

B、-1004

C、2008

D、1004

【自我测试】

1、在数列 an 中,已知 a1 ? 2, an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N * 。
(1)设 bn ? an ? n ,求数列 bn 的通项公式; (2)设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn 。 答案: (1) 、 bn ? 4
n?1

? ?

? ?

? ?

4n ? 1 n(n ? 1) ? (2) 、 Sn ? 3 2

2、设数列 an 的前 n 项和 Sn ? 2n2 , bn 为等比数列,且 a1 ? b1, b2 (a2 ? a1 ) ? b1 ,
(1) 、求数列 an 、 bn 的通项公式; (2) 、设 cn ? 答案: an ? 4n ? 2, bn ? 23?2n ;

? ?

? ?

? ? ? ?

an ,求数列 cn 的前 n 项和 Tn 。 bn
2 n 5 ? 4 ? (2n ? 1) ? 22 n ? 3 3

? ?

Tn ?

1 3、已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图像上一点,等比数列 an 前 n 项和为 3

? ?

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f ( n) ? c , 数列 bn (bn ? 0) 的首项为 c , 且前 n 项和 Sn 满足 Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)
(1) 、求数列 an 、 bn 的通项公式; (2) 、若数列 ?

? ?

? ? ? ?

? 1 ? 1000 的最小正整数 n 是多少? ? 的前 n 项和为 Tn ,问满足 Tn ? 2009 ? bnbn?1 ?
1 3
n

答案: (1) 、 an ? ?2( ) , bn ? 2n ? 1 ; (2) 、n 最小为 112



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