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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第1章 1.1


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1.1

1.1
【学习要求】
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归纳推理

1.了解归纳推理的含义,能利用归纳推理进行简单的推理. 2.了解归纳推理在数学发展中的作用. 【学法指导】 归纳是推理常用的思维方法,其结论不一定正确,但具有猜测 和发现结论, 探索和提供思路的作用, 有利于创新意识的培养.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.1

1.归纳推理定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性,
本 课 推理方式称为归纳推理. 时 栏 目 2.归纳推理的思维过程大致是 实验、观察 → 概括、推广 开 → 猜测一般性结论 . 关

推断 该类事物中每一个事物都有这种属性 ,我们将这种

3.归纳推理具有如下的特点: (1)归纳推理是从 特殊 到 一般 的推理; (2)由归纳推理得到的结论 不一定 正确; (3)归纳推理是一种具有 创造性 的推理.

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1.1

探究点一
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归纳推理的定义

问题 1 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题:看到天空乌 云密布,燕子低飞,蚂蚁搬家等现象时,我们会得出一个判断 ——天要下雨了;张三今天没来上课,我们会推断——张三一 定生病了; 谚语说: “八月十五云遮月, 来年正月十五雪打灯” 等,像上面的思维方式就是推理,请问你认为什么是推理?



根据一个或几个已知的命题得出另一个新的命题的思维

过程就叫作推理.

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问题 2 观察下面两个推理,回答后面的两个问题:

1.1

(1)哥德巴赫猜想: 6=3+3
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8=3+5 10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 ?? 1 000=29+971 1 002=139+863 ??

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猜想:任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和. (2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电,猜想:一切金属都能 导电. 回答 ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点?
本 课 ②其结论一定正确吗? 时 栏 答 ①共同特点:部分推出整体,个别推出一般.(这种推理称 目 开 为归纳推理) 关

②其结论不一定正确.
小结 归纳推理定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,

推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别 事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).

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1.1

探究点二 例 1

归纳推理在数列中的应用

an 已知数列{an}的第 1 项 a1 =1,且 an + 1 = (n= 1+an

1,2,3,?),试归纳出这个数列的通项公式.
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解 当 n=1 时,a1=1; 1 1 当 n=2 时,a2= = ; 1+1 2
1 当 n=3 时,a3= 1=3; 1+ 2 1 3 1 当 n=4 时,a4= 1=4. 1+3 1 2

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通过观察可得:数列的前四项都等于相应序号的倒数,由此归 1 纳出 an=n.
本 小结 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相 课 时 栏 同性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命 目 开 题(猜想). 关

归纳推理在数列中应用广泛,我们可以从数列的前几项找出数 列项的规律, 归纳数列的通项公式或探求数列的前 n 项和公式.

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1.1

跟踪训练 1 1,2,3,?)

已知数列{an}满足 a1 =1,an + 1 =2an +1(n=

(1)求 a2,a3,a4,a5;(2)归纳猜想通项公式 an.
本 解 (1)当 n=1 时,知 a1=1, 课 时 由 an+1=2an+1 得 a2=3, 栏 目 开 a3=7,a4=15,a5=31. 关

(2)由 a1=1=21-1,a2=3=22-1,
a3=7=23-1,a4=15=24-1,a5=31=25-1, 可归纳猜想出 an=2n-1(n∈N*).

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探究点三 例2 归纳推理在图形变化中的应用

1.1

在法国巴黎举行的第 52 届世乒赛期间, 某商场橱窗里用

同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第 1
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堆只有一层,就一个球;第 2,3,4,?堆最底层(第一层)分别 按图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒 放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f(n)表 示第 n 堆的乒乓球总数,则 f(3)=______;f(n)=______(答 案用含 n 的代数式表示).

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1.1

解析 观察图形可知:f(1)=1,f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20,?, 故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数,即 f(2)= n?n+1? f(1)+3;f(3)=f(2)+6;f(4)=f(3)+10;?;f(n)=f(n-1)+ . 2 本 n?n+1? 课 将以上(n-1)个式子相加可得 f(n)=f(1)+3+6+10+?+ 2 时
栏 1 目 = [(12+22+…+n2)+(1+2+3+…+n)] 2 开 关

n?n+1? 11 =2[6n(n+1)(2n+1)+ 2 ] n?n+1??n+2? = . 6 n?n+1??n+2? 答案 10 6

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1.1

小结 解本例的关键在于寻找递推关系式:f(n)=f(n-1)+ n?n+1? ,然后用“叠加法”求通项.图形中的归纳推理问题主 本 2 课

时 栏 要涉及某固定图形的个数,所以可以转化成数列问题来求解, 目 开 关 也可由图形的变化规律入手,求解.

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跟踪训练 2 在平面内观察: 凸四边形有 2 条对角线, 凸五边形有 5 条对角线, 凸六边形有 9 条对角线,
本 ? 课 由此猜想凸 n(n≥4 且 n∈N*)边形有几条对角线? 时 栏 目 解 凸四边形有 2 条对角线, 开 凸五边形有 5 条对角线,比凸四边形多 3 条, 关

1.1

凸六边形有 9 条对角线,比凸五边形多 4 条, ?? 于是猜想凸 n 边形比凸(n-1)边形多(n-2)条对角线.因此凸 n 1 边形的对角线条数为 2+3+4+5+?+(n-2)=2n(n-3)(n≥4 且 n∈N*).

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1.1

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探究点四 归纳推理在算式问题中的应用 例 3 观察下列等式,并从中归纳出一般法则. (1)1=12, 1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42, 1+3+5+7+9=52, ?? (2)1=12, 2+3+4=32, 3+4+5+6+7=52 4+5+6+7+8+9+10=72, 5+6+7+8+9+10+11+12+13=92, ??

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1.1

(1)对于(1),等号左端是整数,且是从 1 开始的 n 项的和,

等号的右端是项数的平方;对于(2),等号的左端是连续自然数 的和,且项数为 2n-1,等号的右端是项数的平方.
本 课 (2)猜想结论:n+(n+1)+?+[n+(3n-2)]=(2n-1)2(n∈N*). 时 栏 目 小结 对于运算式的猜测和推广,这一类问题需要观察的方面 开 关 很多:首先是式子的共同结构特点,其次是式子中出现的字母

∴(1)猜想结论:1+3+5+?+(2n-1)=n2(n∈N*).

之间的关系,还有化简或运算的结果等等.另外要注意对较为 复杂的运算式,不要化简,这样便于观察运算规律和结构上的 共同点.

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本 课 时 栏 目 开 中有怎样的不等式成立? 关

1 1 1 9 跟踪训练 3 在△ABC 中,不等式A+B+C≥ 成立;在四边 π 1 1 1 1 16 形 ABCD 中, 不等式A+B+C+D≥ 成立; 在五边形 ABCDE 2π 1 1 1 1 1 25 中, 不等式A+B+C+D+E≥ 成立. 猜想在 n 边形 A1A2?An 3π

1 1 1 n2 答案 + +?+ ≥ (n≥3 且 n∈N*). A1 A2 An ?n-2?π

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2 2 3 3 4 4 1. 已知 2+ =2 , 3+ =3 , 4+ =4 , ?, 3 3 8 8 15 15 a a 6 若 6+b=6 b(a、b 均为实数).请推测 a=______, 35 b=________.
解析 本题考查归纳推理能力,由前面三个等式,发现被开方数

的整数与分数的关系:整数和这个分数的分子相同,而分母是这 a 个分子的平方减 1,由此推测 6+b中,a=6,b=62-1=35.

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2.将全体正整数排成一个三角形数阵:

1.1

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按照以上排列的规律, n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为 第
n2-n+6 2 ________.

n2-n 解析 前 n-1 行共有正整数 1+2+?+(n-1)个, 即 2 个,
n2-n 因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 2 +3 个, n2-n+6 即为 . 2

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1 1 3.已知正项数列{an}满足 Sn= (an+a ),求出 a1,a2,a3,a4, 2 n 并推测 an.
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1 1 a1=S1= (a1+ ), 2 a1

又因为 a1>0,所以 a1=1. 1 1 1 1 当 n≥2 时,Sn=2(an+a ),Sn-1=2(an-1+ ), an-1 n 1 1 1 1 两式相减得:an=2(an+a )-2(an-1+ ), an-1 n 1 1 即 an-a =-(an-1+ ). an-1 n

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1 所以 a2- =-2,又因为 a2>0,所以 a2= 2-1. a2 1 a3-a =-2 2,又因为 a3>0,所以 a3= 3- 2. 3

本 课 时 a - 1 =-2 3,又因为 a >0,所以 a =2- 3. 4 4 栏 4 a4 目 开 关 将上面 4 个式子写成统一的形式:a1= 1- 0,

a2= 2- 1,a3= 3- 2,a4= 4- 3,
由此可以归纳推测:an= n- n-1.

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1.1

归纳推理的一般步骤
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(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理,发现某些 相同的性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题,提 出带有规律性的结论,即猜想.注意:一般性的命题往往要 用字母表示,这时需注明字母的取值范围.



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