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2011中考数学真题解析106 数形结合思想(含答案)


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(2012 年 1 月最新最细)2011 全国中考真题解析 120 考点汇编

数形结合思想
一、选择题 1. (2011 盐城,8,3 分)小亮从家步行到公交车站台,等公交车去学校.图中的折线表示 小亮的行程 s km) ( 与所花时间 (min) t 之间的函数关系. 下列说法错误的是 ( )

A.他离家 8km 共用了 30min C.他步行的速度是 100m/min 考点:函数的图象. 专题:数形结合.

B.他等公交车时间为 6min D.公交车的速度是 350m/min

分析:根据图象可以确定他离家 8km 用了多长时间,等公交车时间是多少,他步行的时间 和对应的路程,公交车运行的时间和对应的路程,然后确定各自的速度. 解答:解:A、依题意得他离家 8km 共用了 30min,故选项正确;B、依题意在第 10min 开 始等公交车,第 16min 结束,故他等公交车时间为 6min,故选项正确;C、他步行 10min 走了 1000m,故他步行的速度为他步行的速度是 100m/min,故选项正确;D、公交车(30 ﹣16)min 走了(8﹣1)km,故公交车的速度为 7000÷ 14=500m/min,故选项错误.故选 D. 点评:本题考查利用函数的图象解决实际问题,正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,理 解问题的过程,就能够通过图象得到函数问题的相应解决.需注意计算单位的统一. 2. (2011 江苏连云港,16,3 分)一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为 8,则这个等 腰梯形的对角线长为_______. 考点:等腰梯形的性质;勾股定理;梯形中位线定理。 专题:几何图形问题;数形结合。

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1 分析:首先由等腰梯形的性质,求得 MN⊥BC,EF═ (AD+BC) ,然后过点 D 作 DK∥AC 2

交 BC 的延长线于 K,过点 D 作 DH⊥BC 于 H,即可得四边形 ACFD 是平行四边形, 四边形 MNHD 是矩形, 则可得△ BDK 是等腰梯形, 由三线合一的知识, 可得 BH=EF, 在 Rt△ BDH 中由勾股定理即可求得答案.

解答:解:如图: 已知: AD∥BC, AB=CD, N, M 分别是边 AB, E, F, BC, CD, 的中点, EF +MN =8. DA 且 求:这个等腰梯形的对角长. 解:过点 D 作 DK∥AC 交 BC 的延长线于 K,过点 D 作 DH⊥BC 于 H, ∵AD∥BC,AB=CD,E,N,F,M 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点, ∴EF=
1 (AD+BC) ,MN⊥BC,AC=BD, 2
2 2

∴四边形 ACFD 是平行四边形, ∴DK=AC=BD,CK=AD, ∴BH=CH= ∴BH=EF, ∵四边形 MNHD 是矩形, ∴DH=MN, ∴在 Rt△ BDH 中,BD =BH +DH =EF +MN =8, ∴BD=2 2 .∴这个等腰梯形的对角长为 2 2 . 故答案为:2 2 . 点评:此题考查了等腰梯形的性质,平行四边形与矩形的性质与判定以及等腰三角形,直角 三角形的性质等知识.此题综合性很强,而且需要同学们将文字语言翻译成数学语言,难度 较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
2 2 2 2 2

1 1 1 BK= (BC+CK)= (BC+AD) , 2 2 2

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3. (2011?江苏徐州,10,2)平面直角坐标中,已知点 O(0,0) ,A(0,2) ,B(1,0) , 点 P 是反比例函数 y=﹣

1 象上的一个动点,过点 P 作 PQ⊥x 轴,垂足为 Q.若以点 O、P、 x
) C、3 个 D、4 个

Q 为顶点的三角形与△ OAB 相似,则相应的点 P 共有( A、1 个 B、2 个

考点:相似三角形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征。 分析:可以分别从△ PQO∽△AOB 与△ PQO∽△BOA 去分析,首先设点 P(x,y) ,根据相 似三角形的对应边成比例与反比例函数的解析式,联立可得方程组,解方程组即可求得点 P 的坐标,即可求得答案. 解答:解:∵点 P 是反比例函数 y=﹣ ∴设点 P(x,y) , 若△ PQO∽△AOB,

1 图象上, x

PQ OQ , ? AO BO y ?x 即 ? , 2 1
则 ∵xy=﹣1, ∴x=±

2 , 2 2 2 ,﹣ 2 )或(- , 2) ; 2 2

∴点 P 为(

同理,当△ PQO∽△BOA 时, 求得 P(﹣ 2 ,

2 2 )或( 2 ,- ) ; 2 2

故相应的点 P 共有 4 个. 故选 D.

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点评: 此题考查了相似三角形的性质与反比例函数的性质. 注意数形结合思想与方程思想的 应用是解此题的关键. 4. (2011 江苏淮安,8,3 分)如图,反比例函数 y ? 函数值 y 的取值范围是( A.y>1 B.0<y<1 ) C. y>2 D.0< y<2

k 的图象经过点 A(-1,-2).则当 x>1 时, x

考点:反比例函数的图象;反比例函数图象上点的坐标特征。 专题:数形结合。 分析:先根据反比例函数的图象过点 A(﹣1,﹣2) ,利用数形结合求出 x<﹣1 时 y 的取值 范围,再由反比例函数的图象关于原点对称的特点即可求出答案. 解答:解:∵反比例函数的图象过点 A(﹣1,﹣2) , ∴由函数图象可知,x<﹣1 时,﹣2<y<0, ∴当 x>1 时,0<y<2. 故选 D. 点评:本题考查的是反比例函数的性质及其图象,能利用数形结合求出 x<﹣1 时 y 的取值 范围是解答此题的关键.

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5. (2011 江苏无锡,10,3 分)如图,抛物线 y=x +1 与双曲线 y= 1,则关于 x 的不等式

2

k 的交点 A 的横坐标是 x

k 2 +x +1<0 的解集是( x



A.x>1

B.x<﹣1

C.0<x<1

D.﹣1<x<0

考点:二次函数与不等式(组) 。 专题:数形结合。 分析: 根据图形双曲线 y= 等式

k 2 与抛物线 y=x +1 的交点 A 的横坐标是 1, 即可得出关于 x 的不 x

k 2 +x +1<0 的解集. x
2

解答:解:∵抛物线 y=x +1 与双曲线 y= ∴关于 x 的不等式 故选 D.

k 的交点 A 的横坐标是 1, x

k 2 +x +1<0 的解集是﹣1<x<0. x

点评:本题主要考查了二次函数与不等式.解答此题时,利用了图象上的点的坐标特征来解 双曲线与二次函数的解析式. 6.(2011 南昌,12,3 分)时钟在正常运行时,分针每分钟转动 6° ,时针每分钟转动 0.5° .在 运行过程中,时针与分针的夹角会随时间的变化而变化.设时针与分针的夹角为 y (度) ,运行时间为 t(分) ,当时间从 12:00 开始到 12:30 止,y 与 t 之间的函数 图象是( )

A.

B.

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C. 考点:函数的图象;钟面角. 专题:数形结合.

D.

分析:由于从 12:00 开始时针与分针的夹角为 0° ,而分针每分钟转动 6° ,时针每分钟 转动 0.5° ,由此得到时针与分针的夹角越来越大,可以根据已知条件计算夹角的大小. 解答:解:∵从 12:00 开始时针与分针的夹角为 0° ,而分针每分钟转动 6° ,时针每分 钟转动 0.5° ,∴y 越来越大,而分针每分钟转动 6° ,时针每分钟转动 0.5° ,∴从 12:00 开 始到 12:30 止 y=(6﹣0.5)× 30=165.故选 A. 点评:本题考查利用函数的图象解决实际问题,正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,理 解问题的过程,就能够通过图象得到函数问题的相应解决.需注意计算单位的统一. 12, 7. (2011 四川凉山, 4 分) 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象如图所示, 反比列函数 y ? 与正比列函数 y ? bx 在同一坐标系内的大致图象是( )

a x

y O 第 12 题 x

y

y

y

y

O A

x

O B

x

O C

x

O D

x

考点:二次函数的图象;正比例函数的图象;反比例函数的图象. 专题:数形结合. 分析:由已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口方向可以知道 a 的取值范围,对称轴 可以确定 b 的取值范围, 然后就可以确定反比例函数 y ? 一坐标系内的大致图象. 解答:解:∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口方向向下,∴a<0,

a 与正比例函数 y=bx 在同 x

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对称轴在 y 轴的左边,∴x=- ∴反比例函数 y ?

b <0,∴b<0, 2a

a 的图象在第二四象限, x

正比例函数 y=bx 的图象在第二四象限. 故选 B. 点评:此题主要考查了从图象上把握有用的条件,准确选择数量关系解得 a 的值,简单 的图象最少能反映出 2 个条件:开口向下 a<0;对称轴的位置即可确定 b 的值. 8. (2011?台湾 16,4 分)已知数在线 A、B 两点坐标分别为﹣3、﹣6,若在数在线找一点 C,使得 A 与 C 的距离为 4;找一点 D,使得 B 与 D 的距离为 1,则下列何者不可能为 C 与 D 的距离( A、0 ) B、2 C、4 D、6

考点:数轴;绝对值。 专题:数形结合。 分析:将点 A、B、C、D 在数轴上表示出来,然后根据绝对值与数轴的意义计算 CD 的长 度. 解答:解:根据题意,点 C 与点 D 在数轴上的位置如图所示: 在数轴上使 AC 的距离为 4 的 C 点有两个:C1、C2 数轴上使 BD 的距离为 4 的 D 点有两个:D1、D2 ∴①C 与 D 的距离为:C2D2=0; ②C 与 D 的距离为:C2D1=2; ③C 与 D 的距离为:C1D2=8; ④C 与 D 的距离为:C1D1=6; 综合①②③④,知 C 与 D 的距离可能为:0、2、6、8. 故选 C.

点评:此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容,用几何方法借助数轴来求解,非常直观, 且不容易遗漏,体现了数形结合的优点.

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9.(2011?台湾 28,4 分)如图为坐标平面上二次函数 y=ax +bx+c 的图形, 且此图形通 (﹣1, 1)(2,﹣1)两点.下列关于此二次函数的叙述,何者正确( 、 )

2

A、y 的最大值小于 0

B、当 x=0 时,y 的值大于 1 D、当 x=3 时,y 的值小于 0

C、当 x=1 时,y 的值大于 1 考点:二次函数图象上点的坐标特征。 专题:数形结合。

分析:根据图象的对称轴的位置[在点(﹣1,1)的左边]、开口方向、直接回答. 解答:解:A、由图象知,点(﹣1,1)在图象的对称轴的右边,所以 y 的最大值大于 0; 故本选项错误; B、由图象知,当 x=0 时,y 的值就是函数图象与 y 轴的交点,而图象与 y 的交点在(﹣1, 1)点的右边,故 y<1;故本选项错误; C、∵二次函数 y=ax +bx+c 的图象经过(﹣1,1)(2,﹣1)两点,∴该函数图象的对称 、 轴 x=﹣
2

b >0,∴a﹣b+c=1;而当 x=1 时,y=a+b+c≠1;故本选项错误. 2a

D、当 x=3 时,函数图象上的点在点(2,﹣1)的右边,所以 y 的值小于 0;故本选项正确; 故选 D. 点评:本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征.解答此题时,须熟悉二次函数图象的 开口方向、对称轴、与 x 轴的交点等知识点. 10. (2011?台湾 28,4 分)已知小龙、阿虎两人均在同一地点,若小龙向北直走 160 公尺, 再向东直走 80 公尺后,可到神仙百货,则阿虎向西直走多少公尺后,他与神仙百货的距离 为 340 公尺?( A、100 ) B、180 C、220 D、260

考点:勾股定理的应用。 专题:数形结合。 分析:根据题意,画出图形,先设 AE 的长是 x 公尺,如图可得,BC=160 公尺,AB=340

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公尺,利用勾股定理,可解答. 解答:解:设阿虎向西直走了 x 公尺,如图, 由题意可得,AB=340,AC=x+80,BC=80, 利用勾股定理得, (x+80) +160 =340 , 整理得,x +160x﹣83600=0, x1=220,x2=﹣380(舍去) , ∴阿虎向西直走了 220 公尺. 故选 C.
2 2 2 2

点评:本题考查了勾股定理的应用,解答关键是根据题意画出图形,运用数形结合的思想, 可直观解答. 11. (2011 台湾,33,4 分)如图,为一个四边形 ABCD,其中 AC 与 BD 交于 E 点,且两 灰色区域的面积相等.若 AD=11,BC=10,则下列关系何者正确( )

A.∠DAE<∠BCE

B.∠DAE>∠BCE

C.BE>DE

D.BE<DE

考点:相似三角形的判定与性质;平行线之间的距离;三角形的面积。 分析:首先作辅助线:过点 A 与 D 分别作 AM⊥BC 于 M,DN⊥BC 于 N,即可得 AM∥DN, 又由两灰色区域的面积相等,易得 AM=DN,即可证得四边形 AMND 是平行四边形,可证 得:△ ADE∽△CBE,根据相似三角形的性质即可求得答案.

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解答: 解:过点 A 与 D 分别作 AM⊥BC 于 M,DN⊥BC 于 N, ∴AM∥DN, ∵S△ ABE=S△ DEC, ∴S△ ABC=S△ DBC, ∵S△ ABC=

1 1 ?BC?AM,S△ DBC= ?BC?DN, 2 2

∴AM=DN, ∴四边形 AMND 是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴△ADE∽△CBE, ∴

AD DE , ? BC BE

∵AD=11,BC=10, ∴BE<DE. 故选 D. 点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质以及三角形面积问 题.此题综合性很强,解题时要注意数形结合思想的应用. 12. (2011 天津,9,3 分)一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式 A 以毎分 0.1 元的价格按上网所用时间计费;方式 B 除收月基费 20 元外,再以毎分 0.05 元的价格按上网 所用时间计费.若上网所用时间为 x 分,计费为 y 元,如图,是在同一直角坐标系中,分别 描述两种计费方式的函数的图象.有下列结论: ①图象甲描述的是方式 A; ②图象乙描述的是方式 B; ③当上网所用时间为 500 分时,选择方式方法 B 省钱. 其中,正确结论的个数是( )

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A、3

B、2

C、1

D、0

考点:函数的图象。 专题:应用题;数形结合。 分析:根据函数图象的特点依次进行判断即可得出答案. 解答:解:根据一次函数图象特点: ①图象甲描述的是方式 A,正确, ②图象乙描述的是方式 B,正确, ③当上网所用时间为 500 分时,选择方式 B 省钱,正确, 故选 A. 点评:本题主要考查了一次函数图象的特点,需要学生根据实际问题进行分析,难度适中. 13. (2011,台湾省,30,5 分)阿成全班 32 人参加学校的英文听力测验,如图是全校与全 班成绩的盒状图.若阿成的成绩恰为全校的第 65 百分位数,则下列关于阿成在班上排名的 叙述,何者正确?( )

A、在第 2~7 名之间 C、在第 16~21 名之间 考点:象形统计图。 专题:数形结合。

B、在第 8~15 名之间 D、在第 21~25 名之间

分析:利用盒状图上的四分位数来判断成绩的名次即可解答. 解答:解:因为阿成的成绩恰为全校的第 65 百分位数

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所以阿成的成绩在 70 分以上(含) ,未满 80 分, 在全班成绩盒状图中恰落在第 3 四分位数和最大值的前半部 32× =8,阿成的成绩应在第 2~7 名之间, 故选 A. 点评:本题主要考查象形统计图的应用,象形统计图是人们描述数据常用的一种方法,其类 型较多,其中用所统计的物体的象形图形来表示的一类统计图叫做象形统计图. 14. (2011 安徽省芜湖市,9,4 分)如图,从边长为(a+4)cm 的正方形纸片中剪去一个边 长为(a+1)cm 的正方形(a>0) ,剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙) ,则 矩形的面积为( )

A、 (2a +5a)cm C、 (6a+9)cm
2

2

2

B、 (3a+15)cm

2 2

D、 (6a+15)cm

考点:整式的混合运算。 分析:利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可,注意完全平方公式的计算. 解答:解: (a+4) ﹣(a+1) , =(a +8a+16)﹣(a +2a+1) , =a +8a+16﹣a ﹣2a﹣1, =6a+15. 故选 D. 点评:此题主要考查了完全平方公式的计算,熟记公式是解题的关键. 15. (2011 福建莆田,8,4 分)如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 AB 边上,沿 CE 折叠矩形 ABCD,使点 B 落在 AD 边上的点 F 处,若 AB=4,BC=5,则 tan∠AFE 的值为( A. )
2 2 2 2 2 2

4 3

B.

3 5

C.

3 4

D.

4 5

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考点:翻折变换(折叠问题) ;矩形的性质;锐角三角函数的定义. 分析:由四边形 ABCD 是矩形,可得:∠A=∠B=∠D=90° ,CD=AB=4,AD=BC=5,由 折 叠 的 性 质 可 得 : ∠EFC=∠B=90°, CF=BC=5 , 由 同 角 的 余 角 相 等 , 即 可 得 ∠DCF=∠AFE,然后在 Rt△ DCF 中,即可求得答案. 解答:解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠A=∠B=∠D=90° ,CD=AB=4,AD=BC=5, 由题意得:∠EFC=∠B=90° ,CF=BC=5, ∴∠AFE+∠DFC=90° ,∠DFC+∠FCD=90° , ∴∠DCF=∠AFE, ∵在 Rt△ DCF 中,CF=5,CD=4, ∴DF=3, ∴tan∠AFE=tan∠DCF= 故选 C. 点评:此题考查了折叠的性质,矩形的性质以及三角函数的性质.解此题的关键是数形 结合思想与转化思想的应用. 16. (2011 福建龙岩,9,4 分)下列图象中,能反映函数 y 随 x 增大而减小的是( )
DF DC

=

3 4



A.

B.

C.

D.

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考点:二次函数的图象;一次函数的图象;正比例函数的图象;反比例函数的图象. 分析:观察函数图象,根据函数图象的单调性,可以直接做出选择. 解答:解:A,根据图象可知,函数在实数范围内是增函数,即函数 y 随 x 增大而增大; 故本选项错误;B,根据图象可知,函数在对称轴的左边是减函数,函数 y 随 x 增大而减小; 函数在对称轴的右边是增函数,即函数 y 随 x 增大而增大;故本选项错误;C,根据图象可 知,函数在实数范围内是增函数,即函数 y 随 x 增大而增大;故本选项错误;D,根据图象 可知,函数在实数范围内是减函数,即函数 y 随 x 增大而减小;故本选项正确.故选 D. 点评:本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数以及正比例函数的图象.解答 此题时,采用了―数形结合‖的数学思想,使问题变得直观化了,降低了题的难度.

17. (2011 甘肃兰州,14,4 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,E、F、G、H 分别为各 边上的点,且 AE=BF=CG=DH,设小正方形 EFGH 的面积为 S,AE 为 x,则 S 关于 x 的函 数图象大致是( y 1 -1 O x 1 O 1 x ) y 1 O 1x y 1 G O 1 x B F C y A E H D

A.

B.

C.

D.

考点:二次函数的应用;全等三角形的判定与性质;勾股定理. 分析:根据条件可知△ AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,设 AE 为 x,则 AH=1-x,根据 勾股定理 EH2=AE2+AH2=x2+(1-x)2,进而可求出函数解析式,求出答案. 解答:解:∵根据正方形的四边相等,四个角都是直角,且 AE=BF=CG=DH, ∴可证△ AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. 设 AE 为 x,则 AH=1-x,根据勾股定理,得 EH2=AE2+AH2=x2+(1-x)2,即 s= x2+(1-x)2.s=2x2-2x+1,

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∴所求函数是一个开口向上,对称轴是 x= ∴自变量的取值范围是大于 0 小于 1. 故选 B.

1 . 2

点评:本题需根据自变量的取值范围,并且可以考虑求出函数的解析式来解决. 18.(2011 甘肃兰州,15,4 分)如图,矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点,矩形的边 分别平行于坐标轴,点 C 在反比例函数 y ? -2) ,则 k 的值为( A.1 ) C.4 D.1 或-3

k 2 ? 2k ? 1 的图象上.若点 A 的坐标为(-2, x

B.-3

y

B O A

C x D 考点:待定系数法求反比例函数解析式;矩形的性质.

分析:设 C(x,y) .根据矩形的性质、点 A 的坐标分别求出 B(﹣2,y) 、D(x,﹣2) ; 根据―矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点‖及直线 AB 的几何意义求得 xy=4①, 又点 C 在 反比例函数 y ?

k 2 ? 2k ? 1 2 的图象上,所以将点 C 的坐标代入其中求得 xy=k +2k+1②;联 x

立①②解关于 k 的一元二次方程即可. 解答:解:设 C(x,y) . ∵四边形 ABCD 是矩形,点 A 的坐标为(﹣2,﹣2) , ∴B(﹣2,y) 、D(x,﹣2) ; ∵矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点,

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y ?2 ,即 xy=4;① ? ?2 x

又∵点 C 在反比例函数 y ? ∴xy=k +2k+1,② 由①②,得
2

k 2 ? 2k ? 1 的图象上, x

k +2k﹣3=0,即(k﹣1) (k+3)=0, ∴k=1 或 k=﹣3; 故选 D.

2

点评:本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质.解答此题的难点 是根据 C y) (x, 求得 B、 两点的坐标, C 然后根据 B、 两点所在直线的斜率列出方程 C 即 xy=4. 19. (2011 浙江丽水,8,3 分)不等式组 ?
y ?2 , ? ?2 x

?2 x ? 1 > 1 的解在数轴上表示为( ?4 ? 2 x ≤ 0



A、

B、

C、

D、

考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。 专题:计算题;数形结合。 分析:先解每一个不等式,再根据结果判断数轴表示的正确方法. 解答:解:由不等式①,得 2x>2,解得 x>1, 由不等式②,得﹣2x≤﹣4,解得 x≥2, ∴数轴表示的正确方法为 C, 故选 C.

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点评: 本题考查了一元一次不等式组的解法及其数轴表示法. 把每个不等式的解集在数轴上 表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画) ,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一 段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样, 那么这段就是不等式组的解集. 有几个就 要几个.在表示解集时―≥‖,―≤‖要用实心圆点表示;―<‖,―>‖要用空心圆点表示. 20.(2011 浙江绍兴,8,4 分) 如图, 在△ ABC 中, 分别以点 A 和点 B 为圆心,大于的

1 AB 2

的长为半径画孤,两弧相交于点 M,N,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD.若△ ADC 的周长为 10,AB=7,则△ ABC 的周长为( )

A.7

B.14

C.17

D.20

考点:线段垂直平分线的性质。 专题:几何图形问题;数形结合。 分析:首先根据题意可得 MN 是 AB 的垂直平分线,即可得 AD=BD,又由△ ADC 的周长为 10,求得 AC+BC 的长,则可求得△ ABC 的周长. 解答:解:∵在△ ABC 中,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于的 弧相交于点 M,N,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD. ∴MN 是 AB 的垂直平分线, ∴AD=BD, ∵△ADC 的周长为 10, ∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10, ∵AB=7, ∴△ABC 的周长为:AC+BC+AB=10+7=17. 故选 C.

1 AB 的长为半径画孤,两 2

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点评:此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.题目难度不大,解题时要注意数形结合思 想的应用. 21. (2011 杭州,5,3 分)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(-3,4)为圆心,4 为半径的 圆( ) B.与 x 轴相离,与 y 轴相交 D.与 x 轴相切,与 y 轴相离

A.与 x 轴相交,与 y 轴相切 C.与 x 轴相切,与 y 轴相交

考点:直线与圆的位置关系;坐标与图形性质. 专题:推理填空题;数形结合. 分析: 首先画出图形, 根据点的坐标得到圆心 O 到 x 轴的距离是 4, y 轴的距离是 3, 到 根据直线与圆的位置关系即可求出答案. 解答:解:

圆心 O 到 x 轴的距离是 4,到 y 轴的距离是 3, 4=4,3<4, ∴圆 O 与 x 轴相切,与 y 轴相交, 故选 C. 点评:本题主要考查对直线与圆的位置关系,坐标与图形性质等知识点的理解和掌握, 能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行说理是解此题的关键.

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22. (2011 杭州,7,3 分)如图是一个正六棱柱的主视图和左视图,则图中的 a=(



A. 23

B. 3

C.2

D.1

考点:由三视图判断几何体. 专题:数形结合. 分析:由正六棱柱的主视图和左视图,可得到正六棱柱的边长为 2,求 a 的值可结合俯 视图来解答,如下图; 解答:由正六棱柱的主视图和左视图,可得到正六棱柱的边长为 2,求 a 的值可结合俯 视图来解答,如下图; 做 AD⊥BC,在△ ABC 中,AB=AC=2,∠BAC=120° , ∴在直角△ ABD 中,∠ABD=30° ,AD=1, ∴BD= 故选 B.

AB 2 ? AD 2 ? 22 ? 12 ? 3 .

点评:本题考查了正六棱柱的三视图,注意题目中的隐含条件及左视图的特点,可将其转化 到直角三角形中解答.培养了学生的空间想象能力. 23.(2011 浙江衢州,9,3 分)小亮同学骑车上学,路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如 图) ,若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为 v1,v2,v3,v1<v2<v3,则小亮同学骑车上学 时,离家的路程 s 与所用时间 t 的函数关系图象可能是( )

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A、

B、

C、 考点:函数的图象。 专题:数形结合;函数思想。

D、

分析:根据题意可对每个选项逐一分析判断图象得正误. 解答:解:A,从图象上看小亮的路程走平路不变是不正确的,故不是. B,从图象上看小亮走的路程随时间有一段更少了,不正确,故不是. C,小亮走的路程应随时间的增大而增大,两次平路在一条直线上,此图象符合,故正确. D,因为平路和上坡路及下坡路的速度不一样,所以不应是直线,不正确,故不是. 故选:C. 点评:此题考查的知识点是函数的图象,关键是根据题意看图象是否符合已知要求. 24. (2011 浙江义乌,9,3 分)某校安排三辆车,组织九年级学生团员去敬老院参加学雷 锋活动,其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘,则小王与小菲同车的概率为 ( ) A.

1 3

B.

1 9

C.

1 2

D.

2 3

考点:列表法与树状图法。 专题:计算题;数形结合。 分析:列举出所有情况,看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可. 解答:解:设 3 辆车分别为 A,B,C,

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共有 9 种情况,在同一辆车的情况数有 3 种, 所以坐同一辆车的概率为 故选 A. 点评:考查概率的求法;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.得到在同一 辆车的情况数是解决本题的关键. 25. (2011 浙江舟山,3,3 分)如图,点 A、B、C、D、O 都在方格纸的格点上,若△ COD 是由△ AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得,则旋转的角度为( )

1 , 3

A.30°

B.45°

C.90°

D.135°

考点:旋转的性质。 专题:网格型;数形结合。 分析:△ COD 是由△ AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得,由图可知,∠AOC 为旋转角,可 利用△ AOC 的三边关系解答; 解答:解:如图,设小方格的边长为 1,得, OC= 2 ? 2 =2 2 ,AO= 2 ? 2 =2 2 ,AC=4,
2 2 2 2

∵OC +AO =(2 2 )2+(2 2 )2=16, AC =4 =16, ∴△AOC 是直角三角形, ∴∠AOC=90° .
2 2

2

2

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故选 C. 点评:本题考查了旋转的性质,旋转前后对应角相等,本题也可通过两角互余的性质解答. 26.(2011?株洲 8,3 分)某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为 x 轴,出 水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线 y=﹣x +4x(单位:米) 的一部分,则水喷出的最大高度是( )
2

A、4 米

B、3 米

C、2 米

D、1 米

考点:二次函数的应用。 专题:应用题;数形结合。 分析: 根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线 y=﹣x +4x 的顶点坐标 的纵坐标,利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案. 解答:解:∵水在空中划出的曲线是抛物线 y=﹣x +4x, ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线 y=﹣x +4x 的顶点坐标的纵坐标, ∴y=﹣x +4x =﹣(x﹣2) +4, ∴顶点坐标为: (2,4) ∴喷水的最大高度为 4 米, 故选 A. 点评:本题考查了二次函数的应用,解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型, 利用函数的知识解决实际问题. 27.(2011?株洲 7,3 分)根据生物学研究结果,青春期男女生身高增长速度呈现如下图规律,
2 2 2 2 2

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由图可以判断,下列说法错误的是(

) B、女生在 10 岁以后身高增长速度放慢 D、女生身高增长的速度总比男生慢

A、男生在 13 岁时身高增长速度最快 C、11 岁时男女生身高增长速度基本相同 考点:函数的图象。 专题:数形结合。

分析: 根据图象即可确定男生在 13 岁时身高增长速度是否最快; 女生在 10 岁以后身高增长 速度是否放慢;11 岁时男女生身高增长速度是否基本相同;女生身高增长的速度是否总比 男生慢. 解答:解:A、依题意男生在 13 岁时身高增长速度最快,故选项正确; B、依题意女生在 10 岁以后身高增长速度放慢,故选项正确; C、依题意 11 岁时男女生身高增长速度基本相同,故选项正确; D、依题意女生身高增长的速度不是否总比男生慢,有时快,故选项错误. 故选 D. 点评:本题考查利用函数的图象解决实际问题,正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,理 解问题的过程,就能够通过图象得到函数问题的相应解决.需注意计算单位的统一. 28.(2011 年湖南省湘潭市,8,3 分) 在同一坐标系中,一次函数 y=ax+1 与二次函数 y=x2+a 的图象可能是( A、 ) B、 C、 D、

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考点:二次函数的图象;一次函数的图象. 专题:应用题;数形结合. 分析: 本题可先由一次函数 y=ax+1 图象得到字母系数的正负, 再与二次函数 y=x2+a 的图象
相比较看是否一致.

解答:解:A、由抛物线可知,a>0,,由直线可知,a>0,正确,
B、由抛物线可知,a<0,由直线可知,a>0,错误, C、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,错误, D、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,错误, 故选 A.

点评:本题考查抛物线和直线的性质,用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法,
难度适中. 29.(2011 清远,9,3 分)一次函数 y=x+2 的图象大致是( )

考点:一次函数的图象. 专题:数形结合.

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分析:根据一次函数 y=x+2 与 x 轴和 y 轴的交点,结合一次函数图象的性质便可得出 答案. 解答:解:一次函数 y=x+2,当 x=0 时,y=2;当 y=0 时,x=-2,故一次函数 y= x+2 图象经过(0,2) (-2,0) ;故根据排除法可知 A 选项正确.故选 A. 点评:本题主要考查了一次函数的性质,可用数形结合的思想进行解答,这也是速解习 题常用的方法. 30.(2011 广西崇左,18,3 分)已知:二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列 结论中:①abc>0;②2a+b<0;③a+b<m(am+b) (m≠1 的实数) ;④(a+c) <b ; ⑤a>1.其中正确的项是( )
2 2 2

A.①⑤

B.①②⑤

C.②⑤

D.①③④

考点:二次函数图象与系数的关系. 专题:数形结合. 分析:由抛物线的开口方向判断 a 的符号,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号,然后 根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解答:解:①∵抛物线的开口向上,∴a>0, ∵与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上,∴c<0, ∵对称轴为 x ? ?

b ? 0, 2a

∴a 、b 异号,即 b<0, 又∵c<0,∴abc>0, 故本选项正确;

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②∵对称轴为 x ? ? ∴﹣b>2a, ∴2a+b>0; 故本选项错误;

b ? 0 ,a>0, 2a

③当 x=1 时,y1=a+b+c; 当 x=m 时,y2=m(am+b)+c,当 m>1,y2>y1;当 m<1,y2<y1,所以不能确定; 故本选项错误; ④当 x=1 时,a+b+c=0; 当 x=﹣1 时,a﹣b+c>0; ∴(a+b+c) (a﹣b+c)=0,即(a+c) ﹣b ; ∴(a+c) =b
2 2 2 2

故本选项错误; ⑤当 x=﹣1 时,a﹣b+c=2; 当 x=1 时,a+b+c=0, ∴a+c=1, ∴a=1+(﹣c)>1,即 a>1; 故本选项正确; 综上所述,正确的是①⑤. 故选 A. 点评:本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系,以及二次函数与方程之间的转换;二次函数 y=ax +bx+c 系数符号的确定: (1)a 由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则 a>0;否则 a<0; (2)b 由对称轴和 a 的符号确定:由对称轴公式 x ? ?
2

b 判断符号; 2a
2 2

(3)c 由抛物线与 y 轴的交点确定:交点在 y 轴正半轴,则 c>0;否则 c<0; (4)b ﹣4ac 由抛物线与 x 轴交点的个数确定:2 个交点,b ﹣4ac>0;1 个交点,b ﹣4ac=0,没有交点,b ﹣4ac<0. 31.(2011 湖北黄石,9,3 分)设一元二次方程(x﹣1) (x﹣2)=m(m>0)的两实根分别
2 2

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为 α,β,且 α<β,则 α,β 满足( A.1<α<β<2

) C.α<1<β<2 D.α<1 且 β>2

B.1<α<2<β

考点:抛物线与 x 轴的交点;根与系数的关系。 专题:数形结合。 分析:先令 m=0 求出函数 y=(x﹣1) (x﹣2)的图象与 x 轴的交点,画出函数图象,利用 数形结合即可求出 α,β 的取值范围. 解答:解:令 m=0, 则函数 y=(x﹣1) (x﹣2)的图象与 x 轴的交点分别为(1,0)(2,0) , , 故此函数的图象为:

∵m>0, ∴α<1,β>2. 故选 D. 点评:本题考查的是抛物线与 x 轴的交点,能根据 x 轴上点的坐标特点求出函数 y=(x﹣1) (x﹣2)与 x 轴的交点,画出函数图象,利用数形结合解答是解答此题的关键.

32.(2011?随州)已知函数

,若使 y=k 成立的 x 值恰好有三

个,则 k 的值为( A、0



B、1

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C、2

D、3

考点:二次函数的图象。 专题:数形结合。

分析:首先在坐标系中画出已知函数

的图象,利用数形结合

的方法即可找到使 y=k 成立的 x 值恰好有三个的 k 值.

解答:解:函数

的图象如图:

, 根据图象知道当 y=3 时,对应成立的 x 有恰好有三个, ∴k=3. 故选 D. 点评: 此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题, 解题的关键是把解方程的问题转 换为根据函数图象找交点的问题. 33.(2011?恩施州 5,3 分)一次函数 y1=k1x+b 和反比例函数 y2=

k2 (k1?k2≠0)的图象如图所 x

示,若 y1>y2,则 x 的取值范围是( A、﹣2<x<0 或 x>1



B、﹣2<x<1

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C、x<﹣2 或 x>1

D、x<﹣2 或 0<x<1

考点:反比例函数与一次函数的交点问题。 专题:数形结合。 分析:根据图象可以知道一次函数 y1=k1x+b 和反比例函数 y2= 的横坐标,若 y1>y2,则根据图象可以确定 x 的取值范围. 解答:解:如图,依题意得一次函数 y1=k1x+b 和反比例函数 y2= 点的横坐标分别为 x=﹣2 或 x=1, 若 y1>y2,则 y1 的图象在 y2 的上面, x 的取值范围是﹣2<x<0 或 x>1. 故选 A. 点评: 此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点问题, 解题的关键是利用数形结 合的方法解决问题. 34. (2011 浙江宁波,3,3)不等式 x>1 在数轴上表示为( )

k2 (k1?k2≠0)的图象的交点 x

k2 (k1?k2≠0)的图象的交 x

考点:在数轴上表示不等式的解集。 专题:数形结合。 分析:根据数轴上的点与实数一一对应,即可得到不等式 x>1 的解集在数轴上表示为在表 示数 1 的点的右边的点表示的数. 解答:解:∵x>1, ∴不等式 x>1 的解集在数轴上表示为在表示数 1 的点的右边, 故选 C. 点评:本题考查了利用数轴表示不等式解集得方法:对于 x>a,在数轴表示为数 a 表示的 点的右边部分. 35. (2011 浙江嘉兴,3,3 分)如图,点 A、B、C、D、O 都在方格纸的格点上,若△ COD

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是由△ AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得,则旋转的角度为(



A.30° 考点:旋转的性质.

B.45°

C.90°

D.135°

专题:网格型;数形结合. 分析:△ COD 是由△ AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得,由图可知,∠AOC 为旋转角,可 利用△ AOC 的三边关系解答; 解答:解:如图,设小方格的边长为 1,得,OC= 2 ? 2 = 2 2 ,AO= 2 ? 2 = 2 2 ,
2 2 2 2

AC=4, ∵OC2+AO2= 2 2

?

? + ? 2 2 ? =16,AC =4 =16,
2 2
2 2

∴△AOC 是直角三角形,∴∠AOC=90° .故选 C. 点评:本题考查了旋转的性质,旋转前后对应角相等,本题也可通过两角互余的性质解答. 36. (2011 梧州,8,3 分)不等式组的解集在数轴上表示为如图,则原不等式组的解集为



) A、x<2 B、x<3 C、x≤3 D、x≤2

考点:在数轴上表示不等式的解集。 专题:探究型。 分析:根据数轴上不等式解集的表示方法进行解答即可. 解答: ∵由数轴上不等式解集的表示方法可知, 解: 不等式组中两不等式的解集分别为: x≤3, x<2, ∴原不等式组的解集为:x<2. 故选 A. 点评: 本题考查的是在数轴上表示不等式的解集, 熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此

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题的关键. 37.(2011 山东省潍坊, 8,3 分)在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子 800 米耐 力测试中,某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程 S(米)与所用时间 t(秒)之间的函 数图象分别为线段 OA 和折线 OBCD, 下列说法正确的是( ).

A.小莹的建速度随时间的增大而增大 B.小梅的平均速度比小莹的平均逮度大 C.在起跑后 180 秒时.两人相遇 D.在起跑后 50 秒时.小梅在小莹的前面

【考点】函数的图象. 【专题】数形结合. 【分析】A、由于线段 OA 表示所跑的路程 S(米)与所用时间 t(秒)之间的函数图象, 由此可以确定小莹的速度是没有变化的, B、小莹比小梅先到,由此可以确定小梅的平均速度比小莹的平均速度是否小; C、根据图象可以知道起跑后 180 秒时,两人的路程确定是否相遇; D、根据图象知道起跑后 50 秒时 OB 在 OA 的上面,由此可以确定小梅是否在小莹的前 面. 【解答】解:A、∵线段 OA 表示所跑的路程 S(米)与所用时间 t(秒)之间的函数图 象,∴小莹的速度是没有变化的,故选项错误; B、∵小莹比小梅先到,∴小梅的平均速度比小莹的平均速度小,故选项错误;

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C、∵起跑后 180 秒时,两人的路程不相等,∴他们没有相遇,故选项错误; D、∵起跑后 50 秒时 OB 在 OA 的上面,∴小梅是在小莹的前面,故选项正确. 故选 D. 【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题,正确理解函数图象横纵坐标表示的意 义,理解问题的过程,就能够通过图象得到函数问题的相应解决.需注意计算单位的统 一. 38.(2011 山东省潍坊, 12,3 分)巳知一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实
2

效根 x1、x2 满足 x1 +x2 =4 和 x1 ? x2 =3 , 那么二次函救 y ? ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的图象
2

有可能是(

)

【考点】抛物线与 x 轴的交点;二次函数的图象. 【专题】数形结合. 【分析】根据二次函数二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴的交点横坐标就是一 元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,利用两个实数根 x1,x2 满足 x1+x2=4 和 x1?x2=3,求得两个实数根,作出判断即可. 【解答】解:∵已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根 x1,x2 满足 x1+x2=4 和 x1?x2=3, ∴x1,x2 是一元二次方程 x2-4x+3=0 的两个根, 解得:x1=1,x2=3 ∴二次函数 ax2+bx+c(a>0)与 x 轴的交点坐标为(1,0)和(3,0) 故选 C.

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【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点坐标及二次函数的图象,解题的关键是根据题 目提供的条件求出抛物线与横轴的交点坐标. 39. 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象如图所示,反比列函数 y ? 同一坐标系内的大致图象是( )

a 与正比列函数 y ? bx 在 x

y O 第 12 题 x

y

y

y

y

O A

x

O B

x

O C

x

O D

x

考点:二次函数的图象;正比例函数的图象;反比例函数的图象. 专题:数形结合. 分析:由已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口方向可以知道 a 的取值范围,对称轴可以 确定 b 的取值范围, 然后就可以确定反比例函数 y ? 标系内的大致图象. 解答:解:∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口方向向下,∴a<0, 对称轴在 y 轴的左边,∴x=- ∴反比例函数 y ?

a 与正比例函数 y=bx 在同一坐 x

b <0,∴b<0, 2a

a 的图象在第二四象限, x

正比例函数 y=bx 的图象在第二四象限. 故选 B. 点评:此题主要考查了从图象上把握有用的条件,准确选择数量关系解得 a 的值,简单的图 象最少能反映出 2 个条件:开口向下 a<0;对称轴的位置即可确定 b 的值. 40. (2011 四川达州,11,3 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,对角线 AC、BD 交于 点 O,则 s△ AOD = s△ BOC. (填―>‖、―=‖或―<‖)

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考点:梯形;三角形的面积。 专题:数形结合。 分析:根据题意可判断出△ ABD 和△ ABC 的同底等高,由此可判断出两者的面积相等,进 而可判断出 s△ AOD 和 s△ BOC 的关系. 解答:解:由题意得:△ ABD 和△ ABC 的同底等高, ∴s△ ABD 和 s△ ABC 相等, ∴s△ AOD=s△ ABD﹣s△ AOB=s△ ABC﹣s△ AOB=s△ BOC. 故答案为:=. 点评:本题考查了梯形及三角形的面积,难度一般,解答本题的关键是根据梯形的性质判断 出△ ABD 和△ ABC 的同底等高. 41. (2011,四川乐山,2,3 分)如图,在 4× 的正方形网格中,tanα=( 4 )

A.1

B.2

C.

1 2

D.

5 2

考点:锐角三角函数的定义。 专题:网格型;数形结合。 分析:求一个角的正切值,可将其转化到直角三角形中,利用直角三角函数关系解答; 解答:解:如图,在直角△ ACB 中,令 AB=2,则 BC=1; ∴tanα=

AB 2 ? =2; BC 1

故选 B. 点评:本题考查锐角三角函数的定义及运用,可将其转化到直角三角形中解答,锐角的 正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边. 42. (2011,四川乐山,8,3 分)已知一次函数 y=ax+b 的图象过第一、二、四象限,且与 x 轴交于点(2,0) ,则关于 x 的不等式 a(x﹣1)﹣b>0 的解集为( A.x<﹣1B.x>﹣1 C.x>1 D.x<1 )

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考点:一次函数与一元一次不等式;解一元一次不等式;一次函数的性质;一次函数图 象上点的坐标特征。 专题:计算题;数形结合。 分析:根据一次函数 y=ax+b 的图象过第一、二、四象限,得到 b>0,a<0,把(2,0) 代入解析式 y=ax+b 求出

b b =﹣2,解 a(x﹣1)﹣b>0,得 x﹣1< ,代入即可求出答案. a a

解答:解:∵一次函数 y=ax+b 的图象过第一、二、四象限, ∴b>0,a<0, 把(2,0)代入解析式 y=ax+b 得:0=2a+b, 解得:

b =﹣2, a

∵a(x﹣1)﹣b>0, ∴a(x﹣1)>b, ∴x﹣1<

b , a

∴x<﹣1, 故选 A. 点评:本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系,一次函数的性质,一次函数 图象上点的坐标特征, 解一元一次不等式等之色的理解和掌握, 能根据一次函数的性质得出 a、b 的正负,并正确地解不等式是解此题的关键. 43.(2011,四川乐山,,10,3 分)如图,直线 y=6﹣x 交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,P 是反比 例函数 y ?

4 ( x? 0) 图象上位于直线下方的一点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为点 M,交 x


AB 于点 E,过点 P 作 y 轴的垂线,垂足为点 N,交 AB 于点 F.则 AF?BE=(

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A.8

B.6

C.4

D. 6 2

考点:反比例函数综合题。 专题:代数综合题;数形结合。 分析:首先作辅助线:过点 E 作 EC⊥OB 于 C,过点 F 作 FD⊥OA 于 D,然后由直线 y=6﹣x 交 x 轴、 轴于 A、 两点, y B 求得点 A 与 B 的坐标, 则可得 OA=OB, 即可得△ AOB, △ BCE,△ ADF 是等腰直角三角形,则可得 AF?BE= 2 CE? 2 DF=2CE?DF,又由四边形 CEPN 与 MDFP 是矩形,可得 CE=PN,DF=PM,根据反比例函数的性质即可求得答案. 解答:解:过点 E 作 EC⊥OB 于 C,过点 F 作 FD⊥OA 于 D, ∵直线 y=6﹣x 交 x 轴、y 轴于 A、B 两点, ∴A(6,0) ,B(0,6) , ∴OA=OB, ∴∠ABO=∠BAO=45° , ∴BC=CE,AD=DF, ∵PM⊥OA,PN⊥OB, ∴四边形 CEPN 与 MDFP 是矩形, ∴CE=PN,DF=PM, ∵P 是反比例函数 y ? ∴PN?PM=4,

4 ( x? 0) 图象上的一点, x

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∴CE?DF=4,

CE ? 2CE , sin 45? DF 在 Rt△ ADE 中,AF= ? 2 DF , sin 45?
在 Rt△ BCE 中,BE= ∴AF?BE= 2 CE? 2 DF=2CE?DF=8. 故选 A.

点评:此题考查了反比例函数的性质,以及矩形、等腰直角三角形的性质.解题的关键是注 意数形结合与转化思想的应用. 44. (2011?南充,7,3 分, )小明乘车从南充到成都,行车的平均速度 v(km/h)和行车时 间 t(h)之间的函数图象是( )

A、

B、

C、

D、

考点:反比例函数的应用;反比例函数的图象。 专题:数形结合。

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分析:根据时间 t、速度 v 和路程 s 之间的关系,在路程不变的条件下,得 v= 的反比例函数,且 t>0. 解答:解:∵v=错误!未找到引用源。 (t>0) , ∴v 是 t 的反比例函数, 故选 B.

s ,则 v 是 t t

点评:本题是一道反比例函数的实际应用题,注:在路程不变的条件下,v 是 t 的反比例函 数.

二、填空题 1. (2011 江苏镇江常州,15,3 分)如图,DE 是⊙O 的直径,弦 AB⊥CD,垂足为 C,若 AB=6,CE=1,则 OC= 4 ,CD= 9 .

考点:垂径定理;勾股定理. 专题:数形结合;方程思想. 分析:连接 OA 构成直角三角形,先根据垂径定理,由 DE 垂直 AB 得到点 C 为 AB 的中点, 由 AB=6 可求出 AC 的长,再设出圆的半径 OA 为 x,表示出 OC,根据勾股定理建立关于 x 的方程,求出方程的解即可得到 x 的值,即为圆的半径,通过观察图形可知,OC 等于半径 减 1,CD 等于半径加 OC,把求出的半径代入即可得到答案. 解答: 解:连接 OA, ∵直径 DE⊥AB,且 AB=6 ∴AC=BC=3, 设圆 O 的半径 OA 的长为 x,则 OE=OD=x ∵CE=1,

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∴OC=x﹣1, 在直角三角形 AOC 中,根据勾股定理得: x ﹣(x﹣1) =3 ,化简得:x ﹣x +2x﹣1=9, 即 2x=10, 解得:x=5 所以 OE=5,则 OC=OE﹣CE=5﹣1=4,CD=OD+OC=9. 故答案为:4;9
2 2 2 2 2

点评:此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握,注意利用圆的半径,弦的一半及弦心距所 构成的直角三角形来解决实际问题,做此类题时要多观察,多分析,才能发现线段之间的联 系. 2. (2011 内蒙古呼和浩特,16,3)如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,CE 是∠BCD 的平分线,且 CE⊥AB,E 为垂足,BE=2AE,若四边形 AECD 的面积为 1,则梯形 ABCD 的面积为_______ 考点:相似三角形的判定与性质;三角形的面积;等腰三角形的判定与性质;梯形. 分析: 首先延长 BA 与 CD, 交于 F, 即可得△ FAD∽△FBC 与△ BCE≌△FCE, 然后 S△ FAD=x, 即可求得 S△ FBC=16x,S△ BCE=S△ FEC=8x,S 四边形 AECD=7x,又由四边形 AECD 的面积为 1,即 可求得梯形 ABCD 的面积.

解答:解:延长 BA 与 CD,交于 F,∵AD∥BC,∴△FAD∽△FBC,∵CE 是∠BCD 的平

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分线, ∴∠BCE=∠FCE, ∵CE⊥AB, ∴∠BEC=∠FEC=90° ∵EC=EC, , ∴△BCE≌△FCE (ASA) , ∴BE=EF,∵BE=2AE,∴BF=4AF,设 S△ FAD=x, ∴S△ FBC=16x,∴S△ BCE=S△ FEC=8x,∴S 四边形 AECD=7x,∵四边形 AECD 的面积为 1, ∴7x=1,∴x= 故答案为:
1 15 ,∴梯形 ABCD 的面积为:S△ BCE+S 四边形 AECD=15x= . 7 7

15 . 7

点评:此题考查了梯形的性质,相似三角形的性质与判定,全等三角形的判定与性质等知 识.此题综合性很强,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用. 3. (2011 山东日照,14,4 分)如图,在以 AB 为直径的半圆中,有一个边长为 1 的内接 正方形 CDEF,则以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程是 如:x ﹣ 5 x+1=0 .
2

考点: 根与系数的关系;勾股定理;正方形的性质;圆周角定理; 相似三角形的判定与性质。 专题:开放型;数形结合。 分析: 连接 AD, OD, AB 为直径与四边形 DCFE 是正方形, BD, 由 即可证得△ ACD∽△DCB, 则可求得 AC?BC=DC =1,又由勾股定理求得 AB 的值,即可得 AC+BC=AB,根据根与系 数的关系即可求得答案.注意此题答案不唯一. 解答:解:连接 AD,BD,OD,
2

∵AB 为直径, ∴∠ADB=90° , ∵四边形 DCFE 是正方形, ∴DC⊥AB, ∴∠ACD=∠DCB=90° ,

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∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90° , ∴∠A=∠CDB, ∴△ACD∽△DCB, ∴

AC DC , ? DC BC
2

又∵正方形 CDEF 的边长为 1, ∵AC?BC=DC =1, ∵AC+BC=AB, 在 Rt△ OCD 中,OC +CD =OD , ∴OD=
2 2 2

5 , 2

∴AC+BC=AB= 5 , 以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程是 x ﹣ 5 x+1=0. 故答案为:此题答案不唯一,如:x ﹣ 5 x+1=0. 点评:此题考查了正方形的性质,相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系.此题属于 开放题,注意数形结合与方程思想的应用. 4. (2011 陕西,15,3 分)若一次函数 y ? (2m ? 1) x ? 3 ? 2m 的图像经过 一、二、四象 限,则 m 的取值范围是 考点:一次函数的性质。 专题:计算题;数形结合。 分析:根据一次函数的性质进行分析:由图形经过一、二、四象限可知(2m﹣1)<0,3﹣ 2m>0,即可求出 m 的取值范围 解答:解:∵y=(2m﹣1)x+3﹣2m 的图象经过 一、二、四象限 ∴(2m﹣1)<0,3﹣2m>0 ∴解不等式得:m<
1 3 ,m< 2 2 1 . 2
2 2



∴m 的取值范围是 m<

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故答案为:m<

1 2

点评:本题主要考查一次函数的性质、求不等式,关键是确定好一次函数的一次项系数和常 数项. 5. (2011 四川广安,20,3 分)如图 4 所示,直线 OP 经过点 P(4, 4 3 ),过 x 轴上的点 l、 3、5、7、9、11……分别作 x 轴的垂线,与直线 OP 相交得到一组梯形,其阴影部分梯 形的面积从左至右依次记为 S1、2、3……Sn, Sn 关于 n 的函数关系式是____________. S S 则

考点:梯形,面积问题,函数解析式 专题:规律探究问题 分析:设直线 OP 的函数解析式为 y ? kx ,根据题意可知 4k ? 4 3 ,所以 k ? 3 .所 以y?

3 x .当 x ? 1 时, y ? 3 ;当 x ? 3 时, y ? 3 3 ;当 x ? 5 时, y ? 5 3 ;当 x ? 7

时 , y ? 7 3 ; 当 x ? 9 时 , y ? 9 3 ; 当 x ? 11 时 , y ? 1 1 3; … ; 所 以

S1 ?

? ?9

3 ?3 3 ?2 2

?

? 4 3 ?1



S2 ?

?5

3 ?7 3 ?2 2

?

? 12 3 ? 4 3 ? 3



S3 ?

3 ? 11 3 ? 2 2

?

? 20 3 ? 4 3 ? 5 ,…,所以 S n

? 4 3 ? 2n ? 1? .

解答: S n ? 4 3 ? 2n ? 1? 点评:运用待定系数法可以确定一次函数的解析式,根据函数解析式,已知自变量 x 的值可 求得函数 y 的值,从而可以确定每个梯形的上底与下底的长,根据梯形的面积公式可计算 出每个梯形的面积,由此发现规律,根据规律可得 Sn 关于 n 的函数关系式. 6.(2011?安顺)已知:如图,O 为坐标原点,四边形 OABC 为矩形,A(10,0) ,C(0,4) ,

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点 D 是 OA 的中点,点 P 在 BC 上运动,当△ ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时,则 P 点的 坐标为 (2,4)或(3,4)或(8,4) .

考点:矩形的性质;坐标与图形性质;等腰三角形的性质。 专题:数形结合。 分析:分 PD=OD(P 在右边) ,PD=OD(P 在左边) ,OP=OD 三种情况,根据题意画出图形, 作 PQ 垂直于 x 轴,找出直角三角形,根据勾股定理求出 OQ,然后根据图形写出 P 的坐标 即可. 解答:解:当 OD=PD(P 在右边)时,根据题意画出图形,如图所示:

过 P 作 PQ⊥x 轴交 x 轴于 Q,在直角三角形 DPQ 中,PQ=4,PD=OD= OA=5, 根据勾股定理得:DQ=3,故 OQ=OD+DQ=5+3=8,则 P1(8,4) ; 当 PD=OD(P 在左边)时,根据题意画出图形,如图所示:

过 P 作 PQ⊥x 轴交 x 轴于 Q,在直角三角形 DPQ 中,PQ=4,PD=OD=5, 根据勾股定理得:QD=3,故 OQ=OD﹣QD=5﹣3=2,则 P2(2,4) ;

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当 PO=OD 时,根据题意画出图形,如图所示:

过 P 作 PQ⊥x 轴交 x 轴于 Q,在直角三角形 OPQ 中,OP=OD=5,PQ=4, 根据勾股定理得:OQ=3,则 P3(3,4) , 综上,满足题意的 P 坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4) . 故答案为: (2,4)或(3,4)或(8,4) 点评: 这是一道代数与几何知识综合的开放型题, 综合考查了等腰三角形和勾股定理的应用, 属于策略和结果的开放,这类问题的解决方法是:数形结合,依理构图解决问题 7. (2011 成都,21,4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(2,a)在正比例函数 y ? 的图象上,则点 Q(a,3a-5)位于第 象限.

1 x 2

考点:一次函数图象上点的坐标特征;点的坐标。 专题:数形结合。 分析:把点 P 坐标代入正比例函数解析式可得 a 的值,进而根据点的 Q 的横纵坐标的符号 可得所在象限. 解答:解:∵点 P(2,a)在正比例函数 y ? ∴a=1, ∴a=1,3a-5=-2, ∴点 Q(a,3a-5)位于第四象限. 故答案为:四. 点评:考查一次函数图象上点的坐标特征;得到 a 的值是解决本题的突破点. 8. (2011,四川乐山,11,3 分)当 x= 考点:解分式方程。 专题:方程思想。 时,

1 x 的图象上, 2

1 ? 1. x?2

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分析:首先去掉分母,然后解一元一次方程,最后检验即可求解. 解答:解: 去分母得 x﹣2=1, ∴x=3, 检验:当 x=3 时,x﹣2≠0, ∴原方程的根为 x=3. 故答案为:3. 点评:此题主要考查了解分式方程,其中: (1)解分式方程的基本思想是―转化思想‖,把分 式方程转化为整式方程求解; (2)解分式方程一定注意要验根. 9. (2011,四川乐山,,13,3 分)数轴上点 A、B 的位置如图所示,若点 B 关于点 A 的对称 点为 C,则点 C 表示的数为

1 ? 1, x?2

考点:数轴。 专题:数形结合。 分析:点 A 表示的数是﹣1,点 B 表示的数是 3,所以,|AB|=4;点 B 关于点 A 的对称 点为 C,所以,点 C 到点 A 的距离|AC|=4,即,设点 C 表示的数为 x,则,﹣1﹣x=4,解 出即可解答; 解答:解:如图,点 A 表示的数是﹣1,点 B 表示的数是 3,所以,|AB|=4; 又点 B 关于点 A 的对称点为 C,所以,点 C 到点 A 的距离|AC|=4, 设点 C 表示的数为 x, 则,﹣1﹣x=4, x=﹣5; 故答案为﹣5. 点评:此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容,用几何方法借助数轴来求解,非常直观, 且不容易遗漏,体现了数形结合的优点.

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10. (2011,四川乐山,14,3 分)如图是小强同学根据乐山城区某天上午和下午四个整时 点的气温绘制成的折线图.请你回答:该天上午和下午的气温哪个更稳定? 答: ;理由是 .

考点:方差;折线统计图。 专题:计算题;数形结合。 分析:方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数,根据方差公式计算即可,所以计 算方差前要先算出平均数,然后再利用方差公式计算. 解答:解: x 上 =(18+19+21+22)÷ 4=20,

x下 =(22.5+20+19+18.5)÷ 4=20,
S 上 =[(18﹣20) +(19﹣20) +(21﹣20) +(22﹣20) ]÷ 4=2.5, S 下 =[(22.5﹣20) +(20﹣20) +(19﹣20) +(18.5﹣20) ]÷ 4=2.375, ∵S 上 >S 下 , ∴下午的气温更稳定. 故答案为:下午;因为上午的方差大于下午的方差; 点评:此题主要考查了方差的计算方法,方差是各变量值与其均值离差平方的平均数, 它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

11. (2011 四川攀枝花, 4 分) 13, 在同一平面内下列 4 个函数; ①y=2 (x+1)﹣1; ②y=2x +3;

2

2

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③y=﹣2x ﹣1;④y= 函数是

2

1 2 2 x -1 的图象不可能由函数 y=2x +1 的图象通过平移变换得到的 2

. (把你认为正确的序号都填写在横线上)

考点:二次函数图象与几何变换。 专题:数形结合。 分析:找到二次项的系数不是 2 的函数即可. 解答:解:二次项的系数不是 2 的函数有③④.故答案为③,④. 点评:本题考查二次函数的变换问题.用到的知识点为:二次函数的平移,不改变二次函数 比例系数. 1. 16. (2011 山东烟台,16,4 分)如图,△ ABC 的外心坐标是__________. y
A B O

x

C

(第 16 题图)

考点:三角形的外接圆与外心;坐标与图形性质. 分析:首先由△ ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,所以在平面直角坐标 系中作 AB 与 BC 的垂线,两垂线的交点即为△ ABC 的外心. 解答:解:

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∵△ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点, ∴作图得: ∴EF 与 MN 的交点 O 即为所求的△ ABC 的外心, ∴△ABC 的外心坐标是(﹣2,﹣1) .故答案为: (﹣2,﹣1) . 点评: 此题考查了三角形外心的知识. 注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的 交点.解此题的关键是数形结合思想的应用. 12. (2011 浙江宁波,13,3)实数 27 的立方根是 3 .如果点 P(4,-5)和点 Q(a, b)关于原点对称,则 a 的值为 -4 . 考点:关于原点对称的点的坐标;立方根。 专题:计算题;数形结合。 分析:找到立方等于 27 的数即为 27 的立方根,根据两点关于原点对称,横纵坐标均为相反 数即可得出结果. 解答:解:∵3 =27,∴27 的立方根是 3, ∵点 P(4,-5)和点 Q(a,b)关于原点对称,∴a=-4,b=5, 故答案为:3,-4. 点评:本题考查了求一个数的立方根,用到的知识点为:开方与乘方互为逆运算,以及在平 面直角坐标系中,两点关于原点对称,横纵坐标均为相反数,难度适中. 13. (2011 浙江金华,14,4 分)从-2,-1,2 这三个数中任取两个不同的数作为点的坐 标,该点在第四象限的概率是 .
3

考点:列表法与树状图法;点的坐标。 专题:数形结合。

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分析:列举出所有情况,看在第四象限的情况数占总情况数的多少即可. 解答:解:这些点的坐标共有 6 中可能结果,它们出现的可能性相等。其中该点在第四象限 有 2 中可能结果: (2,-2)(2,-1) , ,所以 P(这些点在第四象限)=

2 1 ? 6 3

-2 -2 -1 2 (-1,-2) (2,-2)

-1 (-2,-1)

2 (-2,2) (-1,2)

(2,-1)

点评:考查概率的求法;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.得到在第四 象限的情况数是解决本题的关键. 14. (2011 浙江丽水,14,4 分)从﹣2,﹣1,2 这三个数中任取两个不同的数作为点的坐 标,该点在第四象限的概率是

1 . 3

考点:列表法与树状图法;点的坐标。 专题:数形结合。 分析:列举出所有情况,看在第四象限的情况数占总情况数的多少即可.

解答:解:共有 6 种情况,在第四象限的情况数有 2 种,

1 . 3 1 故答案为: . 3
所以概率为 点评:考查概率的求法;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.得到在第四

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象限的情况数是解决本题的关键. 15. (2011 浙江绍兴,16,5 分)如图,相距 2cm 的两个点 A、B 在直线 l 上.它们分别以 2cm/s 和 1cm/s 的速度在 l 上同时向右平移,当点 A,B 分别平移到点 A1,B1 的位置时,半 径为 1cm 的⊙A1, 与半径为 BB1 的⊙B 相切. 则点 A 平移到点 A1, 所用的时间为

1 或 3 s. 3

考点:圆与圆的位置关系。 专题:数形结合;分类讨论。 分析:首先设点 A 平移到点 A1,所用的时间为 ts,根据题意求得 AB=2cm,AA1=2tcm, A1B=1cm,BB1=tcm,再分别从内切与外切四种情况分析求解,即可求得答案. 解答:解:设点 A 平移到点 A1,所用的时间为 ts, 根据题意得:AB=2cm,AA1=2tcm,A1B=1cm,BB1=tcm, 如图,此时外切:2t+1+t=2, ∴t=

1 ; 3

如图,此时内切:2t+t﹣1=2, ∴t=1,此时两圆重合,舍去; 如图,

此时内切:2t﹣t+1=2, ∴t=1,此时两圆重合,舍去;

如图:

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此时外切: 2t﹣t﹣1=2,∴t=3. ∴点 A 平移到点 A1,所用的时间为 故答案为:

1 或 3s. 3

1 或 3. 3

点评:此题考查了圆与圆的位置关系.解题的关键是注意数形结合与方程思想,分类讨论思 想的应用,注意别漏解. 16. (2011 浙江台州,14,5 分)点 D.E 分别在等边△ ABC 的边 AB.BC 上,将△ BDE 沿 直线 DE 翻折, 使点 B 落在 B1 处, 1. 1 分别交边 AC 于点 F. 若∠ADF=80° 则∠CGE= DB EB G. , 80° .

考点:相似三角形的判定与性质;翻折变换(折叠问题) . 专题:操作型;数形结合. 分析:由对顶角相等可得∠CGE=∠FGB1,由两角对应相等可得△ ADF∽△B1GF,那么所 求角等于∠ADF 的度数. 解答:解:由翻折可得∠B1=∠B=60° , ∴∠A=∠B1=60° , ∵∠AFD=∠GFB1, ∴△ADF∽△B1GF, ∴∠ADF=∠B1GF,

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∵∠CGE=∠FGB1, ∴∠CGE=∠ADF=80° . 故答案为:80° 点评:本题考查了翻折变换问题;得到所求角与所给角的度数的关系是解决本题的关键. 17. (2011 广东深圳,15,3 分)如图,这是由边长为 1 的等边三角形摆出的一系列图形,按这种方式摆
下去,则第 n 个图形的周长是______.

考点:规律型:图形的变化类. 专题:规律型. 分析:观察摆放的一系列图形,可得到依次的周长分别是 3,4,5,6,7,…,从中得到规律,根据规律
写出第 n 个图形的周长.

解答:解:由已知一系列图形观察图形依次的周长分别是:
(1)2+1=3, (2)2+2=4, (3)2+3=5, (4)2+4=6, (5)2+5=7,…, 所以第 n 个图形的周长为:2+n. 故答案为:2+n.

点评:此题考查的是图形数字的变化类问题,关键是通过观察分析得出规律,根据规律求解.
18. (2011 福建厦门, 4 分) 14, 在△ ABC 中, 若∠C=90° AC=1, , AB=5, sinB= 则 考点:锐角三角函数的定义。 专题:数形结合。 分析:利用锐角三角函数的定义知:锐角的正弦值= 解答:解:∵∠C=90° ,AC=1,AB=5(如图) , .

对边 . 斜边

AC 1 = . AB 5 1 故答案是: . 5
sinB=

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点评:本题考查了锐角三角函数的定义.①正弦(sin)等于对边比斜边; ②余弦(cos)等 于邻边比斜边; ③正切(tan)等于对边比邻边; ④余切(cot)等于邻边比对边; ⑤正割 (sec)等于斜边比邻边; ⑥余割 (csc)等于斜边比对边. 19. (2011 福建厦门,16,4 分)如图,在正方形网格中,点 A、B、C、D 都是格点,点 E 是线段 AC 上任意一点.如果 AD=1,那么当 AE= 三角形与△ ABC 相似. 时,以点 A、D、E 为顶点的

考点:相似三角形的性质。 专题:网格型。 分析: 首先根据图, 可得 AD=1, AB=3, AC= 6 ? 6 =6 2 , 然后分别从若△ ADE∽△ABC
2 2

与若△ ADE∽△ACB 去分析,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得 AE 的值,小心 别漏解. 解答:解:根据题意得:AD=1,AB=3,AC= 6 ? 6 =6 2 ,
2 2

∵∠A=∠A, ∴若△ ADE∽△ABC 时,

AD AE , ? AB AC

即:

1 AE ? , 3 6 2

解得:AE=2 2 ,

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若△ ADE∽△ACB 时,

AD AE , ? AC AB

即:

1 6 2

?

AE , 3
2 , 4
2 时,以点 A、D、E 为顶点的三角形与△ ABC 相似. 4

解得:AE=

∴当 AE=2 2 或

故答案为:2 2 或

2 . 4

点评:此题考查了相似三角形的性质.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想与分 类讨论思想的应用.

三、解答题 1. (2011 江苏苏州,27,8 分)已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,以 AB 为直径在 正方形内作半圆,P 是半圆上的动点(不与点 A、B 重合) ,连接 PA、PB、PC、PD.

(1)如图①,当 PA 的长度等于______时,∠PAD=60° ;当 PA 的长度等于_________时, △ PAD 是等腰三角形; (2)如图②,以 AB 边所在直线为 x 轴、AD 边所在直线为 y 轴,建立如图所示的直角坐 标系(点 A 即为原点 O) ,把△ PAD、△ PAB、△ PBC 的面积分别记为 S1、S2、S3.设 P 点坐标为(a,b) ,试求 2S1S3-S22 的最大值,并求出此时 a、b 的值.

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考点:相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;正方形的性质;圆周角定理;解直角三
角形.

专题:几何综合题;数形结合;方程思想. 分析: 由 AB 是直径, (1) 可得∠APB=90° 然后利用三角函数即可求得 PA 的长; PA=PB , 当
时,△ PAB 是等腰三角形,然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案. (2) 过点 P 分别作 PE⊥AB, PF⊥AD, 垂足分别为 E, 延长 FP 交 BC 于点 G, PG⊥BC, F 则 P 点坐标为(a,b) ,PE=b,PF=a,PG=4-a,利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求 得答案.

解答:解: (1)若∠PAD=60° ,需∠PAB=30° ,

∵AB 是直径, ∴∠APB=90° , ∴PB=2, 则 PA=2 3 , ∴当 PA 的长度等于 2 3 时,∠PAD=60° ;

若△ PAD 是等腰三角形,则只能是 PA=PD,

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过点 P 作 PE⊥AD 于 E,作 PM⊥AB 于 M, 则四边形 EAMP 是矩形,
1 ∴PM=PE= 2 AB=2,

∵PM2=AM?BM=4, ∵AM+BM=4, ∴AM=2, ∴PA=2 2 , 同理可得 P 在 P′时,PA=PB,
8 5 此时:PA= 5 ; 8 5 ∴当 PA 的长度等于 2 2 或 5 时,△ PAD 是等腰三角形;

(2)过点 P 分别作 PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为 E,F 延长 FP 交 BC 于点 G, 则 PG⊥BC, ∵P 点坐标为(a,b) , ∴PE=b,PF=a,PG=4-a, 在△ PAD,△ PAB 及△ PBC 中, S1=2a,S2=2b,S3=8-2a, ∵AB 为直径, ∴∠APB=90° , ∴PE2=AE?BE, 即 b2=a(4-a) , ∴2S1S3-S22=4a(8-2a)-4b2=-4b2+16a=-4(a-2)2+16, ∴当 a=2 时,b=2,2S1S3-S22 有最大值 16.

点评:此题考查了正方形的性质,圆周角的性质以及三角函数的性质等知识.此题综合性很
强,解题时要注意数形结合与方程思想的应用 2. (2011 江苏苏州,29,10 分)巳知二次函数 y=a(x2-6x+8) (a>0)的图象与 x 轴分别

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交于点 A、B,与 y 轴交于点 C.点 D 是抛物线的顶点. (1)如图①.连接 AC,将△ OAC 沿直线 AC 翻折,若点 O 的对应点 0'恰好落在该抛物线 的 对称轴上,求实数 a 的值; (2)如图②,在正方形 EFGH 中,点 E、F 的坐标分别是(4,4)(4,3) 、 ,边 HG 位于边 EF 的 右侧. 小林同学经过探索后发现了一个正确的命题:―若点 P 是边 EH 或边 HG 上的任 意一点,则四条线段 PA、PB、PC、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 (即 这四条线段不能构成平行四边形) .―若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点,刚才的结论是 否也成立?请你积极探索,并写出探索过程; (3)如图②,当点 P 在抛物线对称轴上时,设点 P 的纵坐标 l 是大于 3 的常数,试问:是 否存在一个正数阿 a,使得四条线段 PA、PB、PC、PD 与一个平行四边形的四条边对应相 等 (即这四条线段能构成平行四边形)?请说明理由.

考点:二次函数综合题. 分析: (1)本题需先求出抛物线与 x 轴交点坐标和对称轴,再根据∠OAC=60° 得出 AO,从
而求出 a. (2)本题需先分两种情况进行讨论,当 P 是 EF 上任意一点时,可得 PC>PB,从而得出 PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,即可求出线段 PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形. (3)本题需先得出 PA=PB,再由 PC=PD,列出关于 t 与 a 的方程,从而得出 a 的值,即可 求出答案.
2 x ? 2, x2 ? 4 解答:解: (1)令 y=0,由 a( x ? 6 x ? 8) ? 0 解得 1 ;

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令 x=0,解得 y=8a. ∴点 A、B、C 的坐标分别是(2,0)、(4,0)、(0,8a), 该抛物线对称轴为直线 x=3. ∴OA=2. 如图①,时抛物线与 x 轴交点为 M,则 AM=1. 由题意得: O?A ? OA ? 2 . ∴ O?A ? 2 AM ,∴∠O’AM=60° .

∴ OC ? 3 ? AO ? 2 3 ,即 8a ? 2 3 . ∴

a?

3 4 .
y

(2)若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点,结论同样成立. (Ⅰ)如图②,设点 P 是边 EF 上的任意一点 (不与点 E 重合),连接 PM. ∵点 E(4,4)、F(4,3)与点 B(4,0)在一直线上,点 C 在 y 轴上,

C
∴PB<4,PC≥4,∴PC>PB. 又 PD>PM>PB,PA>PM>PB, ∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD. O ∴此时线段 PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形. (Ⅱ)设 P 是边 FG 上的任意一点(不与点 G 重合), ∵点 F 的坐标是(4,3),点 G 的坐标是(5,3). ∴FB=3, GB ? 10 ,∴3≤PB< 10 . ∵PC≥4,∴PC>PB. (3)存在一个正数 a,使得线段 PA、PB、PC 能构成一个平行四边形. 如图③,∵点 A、B 时抛物线与 x 轴交点,点 P 在抛物线对称轴上, ∴PA=PB. ∴当 PC=PD 时,线段 PA、PB、PC 能构成一个平行四边形. ∵点 C 的坐标是(0,8a),点 D 的坐标是(3,-a). 点 P 的坐标是(3,t), O A D y A M D

E

H

F G

B

x

(图②)

C

E P F

H G

B

x

(图③)

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∴PC2=32+(t-8a) 2,PD2= (t+a) 2. 整理得 7a2-2ta+1=0,∴Δ=4t2-28. ∵t 是一个常数且 t>3,∴Δ=4t2-28>0

a?
∴方程 7a2-2ta+1=0 有两个不相等的实数根

2t ? 4t 2 ? 28 t ? t 2 ? 7 ? 14 7 .

a?
显然

t ? t2 ? 7 ?0 7 ,满足题意.

a?
∵当 t 是一个大于 3 的常数,存在一个正数 构成一个平行四边形.

t ? t2 ? 7 7 ,使得线段 PA、PB、PC 能

点评:本题主要考查了二次函数的综合问题,在解题时要注意运用数形结合和分类讨论,把
二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键. 3. (2011?泰州,25,10 分)小明从家骑自行车出发,沿一条直路到相距 2400m 的邮局办 事,小明出发的同时,他的爸爸以 96m/min 速度从邮局同一条道路步行回家,小明在邮局 停留 2min 后沿原路以原速返回,设他们出发后经过 t min 时,小明与家之间的距离为 s1m, 小明爸爸与家之间的距离为 s2m,图中折线 OABD、线段 EF 分别表示 s1、s2 与 t 之间的函 数关系的图象. (1)求 s2 与 t 之间的函数关系式; (2)小明从家出发,经过多长时间在返回途中追上爸爸?这时他们距离家还有多远?

考点:一次函数的应用。 专题:行程问题;数形结合。 分析: (1)首先由小明的爸爸以 96m/min 速度从邮局同一条道路步行回家,求得小明的爸 爸用的时间,即可得点 D 的坐标,然后由 E(0,2400) ,F(25,0) ,利用待定

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系数法即可求得答案; (2)首先求得直线 BC 的解析式,然后求直线 BC 与 EF 的交点,即可求得答案. 解答:解: (1)∵小明的爸爸以 96m/min 速度从邮局同一条道路步行回家, ∴小明的爸爸用的时间为: 即 OF=25, 如图:设 s2 与 t 之间的函数关系式为:s2=kt+b, ∵E(0,2400) ,F(25,0) , ∴?

2400 =25(min) , 96

?b ? 2400 , ?25k + b ? 0 ?b ? 2400 , ?k ? ?96

解得: ?

∴s2 与 t 之间的函数关系式为:s2=﹣96t+2400; (2)如图:小明用了 10 分钟到邮局, ∴D 点的坐标为(22,0) , 设直线 BD 即 s1 与 t 之间的函数关系式为:s1=at+c,

∴?

?12a + c ? 2400 , ?22a + c ? 0 ? a ? ?240 , ?c ? 5280

解得: ?

∴s1 与 t 之间的函数关系式为:s1=﹣240t+5280, 当 s1=s2 时,小明在返回途中追上爸爸, 即﹣96t+2400=﹣240t+5280,

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解得:t=20, ∴s1=s2=480, ∴小明从家出发, 经过 20min 在返回途中追上爸爸, 这时他们距离家还有 480m. 点评:此题考查了一次函数的实际应用.解题的关键是数形结合与方程思想的应用.注意小 明的是折线,小明爸爸的是直线,抓住每部分的含义是关键. 4. (2011?江苏徐州,26,6)如图,将矩形纸片 ABCD 按如下的顺序进行折叠:对折,展 平,得折痕 EF(如图①) ;延 CG 折叠,使点 B 落在 EF 上的点 B′处, (如图②) ;展平,得 折痕 GC(如图③) ;沿 GH 折叠,使点 C 落在 DH 上的点 C′处, (如图④) ;沿 GC′折叠(如 图⑤) ;展平,得折痕 GC′,GH(如图 ⑥) .

(1)求图 ②中∠BCB′的大小; (2)图⑥中的△ GCC′是正三角形吗?请说明理由. 考点:翻折变换(折叠问题) ;解直角三角形。 分析: (1)由折叠的性质知:B′C=BC,然后在 Rt△ B′FC 中,求得 cos∠B′CF 的值,利用特 殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB′的度数; (2)首先根据题意得:GC 平分∠BCB′,即可求得∠GCC′的度数,然后由折叠的性质知: GH 是线段 CC′的对称轴,可得 GC′=GC,即可得△ GCC′是正三角形. 解答:解: (1)由折叠的性质知:B′C=BC, 在 Rt△ B′FC 中, ∵cos∠B′CF=

FC FC 1 ? ? , B 'C BC 2

∴∠B′CF=60°, 即∠BCB′=60°; (2)根据题意得:GC 平分∠BCB′,

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∴∠GCB=∠GCB′=

1 ∠BCB′=30°, 2

∴∠GCC′=∠BCD﹣∠BCG=60° , 由折叠的性质知:GH 是线段 CC′的对称轴, ∴GC′=GC, ∴△GCC′是正三角形. 点评:此题考查了折叠的性质与正三角形的判定,以及三角函数的性质.此题难度不大,解 题的关键是数形结合思想的应用. 5. (2011 江苏无锡,27,10 分)如图,已知 O(0,0) 、A(4,0) 、B(4,3) .动点 P 从 O 点出发,以每秒 3 个单位的速度,沿△ OAB 的边 0A、AB、B0 作匀速运动;动直线 l 从 AB 位置出发,以每秒 1 个单位的速度向 x 轴负方向作匀速平移运动.若它们同时出发,运 动的时间为 t 秒,当点 P 运动到 O 时,它们都停止运动. (1) P 在线段 OA 上运动时, 当 求直线 l 与以 P 为圆心、 为半径的圆相交时 t 的取值范围; 1 (2)当 P 在线段 AB 上运动时,设直线 l 分别与 OA、OB 交于 C、D,试问:四边形 CPBD 是否可能为菱形?若能,求出此时 t 的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直线 l 的 出发时间,使得四边形 CPBD 会是菱形.

考点:直线与圆的位置关系;解一元一次方程;坐标与图形性质;勾股定理;菱形的性质。 专题:计算题;代数几何综合题;动点型。 分析: (1)根据点 P 与直线 l 的距离 d<1 分为点 P 在直线 l 的左边和右边,分别表示距离, 列不等式组求范围; (2)四边形 CPBD 不可能为菱形.依题意可得 AC=t,OC=4﹣t,PA=3t﹣4,PB=7﹣3t,由 CD∥AB,利用相似比表示 CD,由菱形的性质得 CD=PB 可求 t 的值,又当四边形 CPBD 为 菱形时,PC=PB=7﹣3t,把 t 代入 PA +AC ,PC 中,看结果是否相等如果结果不相等,就
2 2 2

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不能构成菱形.设直线 l 比 P 点迟 a 秒出发,则 AC=t﹣a,OC=4﹣t+a,再利用平行线表示 CD,根据 CD=PB,PC∥OB,得相似比,分别表示 t,列方程求 a 即可. 解答:解: (1)当 P 在线段 OA 上运动时,OP=3t,AC=t, ⊙P 与直线 l 相交时, ?

?4 ? (3t ? t ) ? 1 3 5 ,解得 <t< ; 4 4 ?(3t ? t ) ? 4 ? 1

(2)四边形 CPBD 不可能为菱形. 依题意,得 AC=t,OC=4﹣t,PA=3t﹣4,PB=7﹣3t, ∵CD∥AB,

CD OC CD 4 ? t ,即 , ? ? AB OA 3 4 3 解得 CD= (4﹣t) , 4
∴ 由菱形的性质,得 CD=PB,

3 (4﹣t)=7﹣3t, 4 16 解得 t= , 9


16 时, 9 2 2 2 2 400 2 2 25 代入 PA +AC =(3t﹣4) +t = ,PC =(7﹣3t) = , 9 81
又当四边形 CPBD 为菱形时,PC=PB=7﹣3t,当 t= ∴PA +AC ≠PC ,就不能构成菱形. 设直线 l 比 P 点迟 a 秒出发,则 AC=t﹣a,OC=4﹣t+a, 由 CD∥AB,得 CD=
2 2 2

3 3 (4﹣t+a) ,由 CD=PB,得 (4﹣t+a)=7﹣3t, 4 4

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解得 t=

16 ? 3a , 9

PC∥OB,PC=CD,得

PC AP ,即 AB?PC=OB?AP, ? OB AB

3× (4﹣t+a)=5× (3t﹣4) ,

9a ? 116 , 69 16 ? 3a 9a ? 116 则 = , 9 69 5 5 解得 a= ,即直线 l 比 P 点迟 秒出发. 24 24
解得 t= 点评: 本题考查了直线与圆的关系, 勾股定理的运用, 菱形的性质. 关键是根据菱形的性质, 对边平行,邻边相等,得出相似比及边相等的等式,运用代数方法,列方程求解. 6.(2011 江苏扬州,26,10 分)已知,如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90? ,∠BAC 的角平分 线 AD 交 BC 边于 D。 (1)以 AB 边上一点 O 为圆心,过 A,D 两点作⊙O(不写作法,保留作图痕迹) ,再判断 直线 BC 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若(1)中的⊙O 与 AB 边的另一个交点为 E,AB=6,BD=2 3 , 与劣弧 DE 所围成的图形面积。 (结果保留根号和 π) 求线段 BD、BE

3 4

考点:切线的判定与性质;勾股定理;扇形面积的计算;作图—复杂作图;相似三角形的判 定与性质。 分析: (1)根据题意得:O 点应该是 AD 垂直平分线与 AB 的交点;由∠BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D,与圆的性质可证得 AC∥OD,又由∠C=90° ,则问题得证; (2)过 点 D 作 DM⊥AB 于 M,由角平分线的性质可证得 DM=CD,又由△ BDM∽△BAC,根 据相似三角形的对应边成比例,即可证得 CD:AC= 3 :3,可得∠DOB=60° ,则问题 得解.

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解答:解: (1)如图:连接 OD, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ADO, ∵∠BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D, ∴∠CAD=∠OAD, ∴∠CAD=∠ADO, ∴AC∥OD, ∵∠C=90° , ∴∠ODB=90° , ∴OD⊥BC, 即直线 BC 与⊙O 的切线, ∴直线 BC 与⊙O 的位置关系为相切;

(2)过点 D 作 DM⊥AB 于 M, ∴∠DMB=∠C=90° , ∵∠B=∠B, ∴△BDM∽△BAC,

∴ ∵AD 是∠CAB 的平分线, ∴CD=DM,



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∴∠CAD=30° , ∴∠DAB=30° ,∠B=30° , ∴∠DOB=60° , ∴OD=2,
1 1 OD?BD= × 2 3 =2 3 2× 2 2

∴S 扇形 ODE=

= π,S△ ODB=

∴线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积为:S△ ODB﹣S 扇形 ODE=2 3 ﹣ π.

点评: 此题考查了切线的判定与性质, 相似三角形的判定与性质以及扇形面积与三角形面积 的求解方法等知识.此题综合性很强,解题的关键是注意数形结合思想的应用. 7. (2011 江苏扬州,27,12 分)如图 1 是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图,乙槽中 有一圆柱形块放其中 (圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上) 现将甲槽中的水匀速 注入乙槽,甲、乙两个水槽中水的深度 y(厘米)与注水时间 x(分钟)之间的关系如 图 2 所示。根据图象提供的信息,解答下列问题: (1) 2 中折线 ABC 表示 图 槽中的深度与注水时间之间的关系, 线段 DE 表示 槽

中的深度与注水时间之间的关系(以上两空选填―甲‖、或―乙‖) ,点 B 的纵坐标表示的 实际意义是 (2)注水多长时间时,甲、乙两个水槽中的水的深度相同? (3)若乙槽底面积为 36 平方厘米(壁厚不计) ,求乙槽中铁块的体积; (4)若乙槽中铁块的体积为 112 立方厘米(壁厚不计) ,求甲槽底面积(直接写结果) 。

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考点:一次函数的应用。 专题:图表型;数形结合。 分析: (1)根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线 ABC 是乙槽中水的深度与注水时间之 间的关系,点 B 表示的实际意义是水位上升速度变缓; (2)分别求出两个水槽中 y 与 x 的函数关系式,令 y 相等即可得到水位相等的时间; (3)用水槽的体积减去水槽 中水的体积即可得到铁块的体积; 解答:解: (1)乙;水没过铁块; (2)设线段 AB、DE 的解析式分别为:y1=k1x+b,y2=k2x+b, ∵AB 经过点(0,2, )和(4,14) ,DC 经过(0,12)和(6,0) ∴?

?4k ? b ? 14 ? b ? 12 ? k ? 3 ? k ? ?2 ,? ,解得 ? ,? ? b?2 ?6k ? b ? 0 ?b ? 2 ? b ? 12

∴解析式为 y=3x+2 和 y=﹣2x+12, 令 3x+2=﹣2x+12, 解得 x=2, ∴当 2 分钟是两个水槽水面一样高. (3)由图象知:当水面没有没过铁块时 4 分钟水面上升了 12cm,即 1 分钟上升 3cm, 当水面没过铁块时,2 分钟上升了 5cm,即 1 分钟上升 2.5cm, 设铁块的底面积为 xcm,则 3× (36﹣x)=2.5× 36,解得 x=6, ∴铁块的体积为:6× 14=84cm . (4) (36× 19﹣112)÷ 12=60cm . 点评:本题考查的是用一次函数解决实际问题,此类题是近年中考中的热点问题.注意利用
2 3

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一次函数求最值时,关键是应用一次函数的性质;即由函数 y 随 x 的变化,结合自变量的取 值范围确定最值. 8. (2011 江苏镇江常州,24,7 分)如图,在△ ABO 中,已知点 A( 3 ,3).B(﹣1,﹣1) .C (0,0) ,正比例函数 y=﹣x 图象是直线 l,直线 AC∥x 轴交直线 l 与点 C. (1)C 点的坐标为 (﹣3,3) ; (2)以点 O 为旋转中心,将△ ABO 顺时针旋转角 α(90° <α<180° ,使得点 B 落在直线 l ) 上的对应点为 B′,点 A 的对应点为 A′,得到△ A′OB′. ①∠α= 90° ;②画出△ A′OB′.

(3)写出所有满足△ DOC∽△AOB 的点 D 的坐标.

考点:作图-旋转变换;一次函数的性质;相似三角形的判定与性质. 专题:作图题. 分析: (1)直线 AC∥x 轴交直线 l 于点 C,可知 A.C 两点纵坐标相等,直线 l 解析式为 y= ﹣x,可知 C 点横.纵坐标互为相反数,可求 C 点坐标; (2)已知 B(﹣1,﹣1)可知 OB 为第三象限角平分线,又直线 l 为二.四象限角平分线, 故旋转角为 90° ,依题意画出△ A′OB′即可; (3)根据 A 点坐标可知 OA 与 x 轴正半轴夹角为 60° ,可知∠AOB=165° ,根据对应关系, 则∠DOC=165° ,故 OD 在第四象限,与 x 轴正半轴夹角为 30° 或与 y 轴负半轴夹角为 30° , 根据 A.B.C 三点坐标求 OA.OB.OC,利用

OD OC = 求 OD,再确定 D 点坐标. OA OB

解答:解: (1)∵直线 AC∥x 轴交直线 l 于点 C,

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∴C 两点纵坐标为 3,代入直线 y=﹣x 中,得 C 点横坐标为﹣3, ∴C(﹣3,3) ;

(2)由 B(﹣1,﹣1)可知,OB 为第三象限角平分线, 又直线 l 为二.四象限角平分线, ∴旋转角为∠α=∠BOB′=90°,△ A′OB′如图所示;

(3)D 点坐标为(9,﹣3 3 )(3 3 ,﹣9) , .

点评:本题考查了旋转变换的作图,一次函数图象的性质,相似三角形的判定与性质.关键 是根据点的坐标,直线解析式的特点求相关线段的长,角的度数,利用形数结合求解. 9.(2011?宁夏,26,10 分)在等腰△ ABC 中,AB=AC=5,BC=6.动点 M、N 分别在两腰 AB、AC 上(M 不与 A、B 重合,N 不与 A、C 重合) ,且 MN∥BC.将△ AMN 沿 MN 所 在的直线折叠,使点 A 的对应点为 P. (1)当 MN 为何值时,点 P 恰好落在 BC 上? (2) MN=x, MNP 与等腰△ ABC 重叠部分的面积为 y, 当 △ 试写出 y 与 x 的函数关系式. 当 x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少?

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考点:翻折变换(折叠问题) ;二次函数的最值;等腰三角形的性质;相似三角形的判定与 性质。 分析: (1)首先连接 AP,交 MN 于 O,由 MN∥BC.将△ AMN 沿 MN 所在的直线折叠, 使点 A 的对应点为 P,即可得△ AMN∽△ABC, 时,点 P 恰好落在 BC 上; (2)此题需要分为当 AO≤

MN AO 1 ? ? ,则可求得当 MN 为何值 BC AP 2

1 1 AD 时与当 AO> AD 时去分析,首先由△ AMN∽△ABC, 2 2

求得各线段的长, 然后求△ MNP 与等腰△ ABC 重叠部分的面积, 即可得关于 x 的二次函数, 根据二次函数求最值的方法,即可求得答案. 解答:解: (1)连接 AP,交 MN 于 O, ∵将△ AMN 沿 MN 所在的直线折叠,使点 A 的对应点为 P, ∴OA=OP,AP⊥MN,AN=PN,AM=PM, ∵MN∥BC, ∴△AMN∽△ABC,AO⊥MN, ∴

MN AO 1 ? ? , BC AP 2

∵BC=6, ∴MN=3, ∴当 MN=3 时,点 P 恰好落在 BC 上;

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(3)过点 A 作 AD⊥BC 于 D,交 MN 于 O, ∵MN∥BC, ∴AO⊥MN, ∴△AMN∽△ABC, ∴

MN AO , ? BC AD
1 BC=3, 2

∵AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC, ∴∠ADB=90° ,BD= ∴AD=4,

x AO , ? 6 4 2 ∴AO= x, 3 1 1 2 1 2 ∴S△ AMN= MN?AO= ?x? x= x , 2 2 3 3 1 当 AO≤ AD 时, 2
∴ 根据题意得:S△ PMN=S△ AMN, ∴△MNP 与等腰△ ABC 重叠部分的面积为 S△ AMN,

1 2 x, 3 1 1 ∴当 AO= AD 时,即 MN= BC=3 时,y 最小,最小值为 3; 2 2 1 当 AO> AD 时, 2
∴y=

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连接 AP 交 MN 于 O, 则 AO⊥MN, ∵MN∥BC, ∴AP⊥BC,△ AMN∽△ABC,△ PEF∽△PMN∽△AMN,

MN AO EF PD , , ? ? BC AD MN PO x AO EF PD 即: ? , , ? 6 4 x AO 2 ∴AO= x, 3 EF 2 AO ? AD ∴ , ? x AO


2 x, 3 1 1 2 2 ∴y=S 梯形 MNFE= (EF+MN)?OD= × (2x﹣6+x)× (4﹣ x)=﹣(x﹣4) +4, 2 2 3
∴EF=2x﹣6,OD=AD﹣AO=4﹣ ∴当 x=4 时,y 有最大值,最大值为 4, 综上所述:当 x=4 时,y 的值最大,最大值是 4.

点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,二次函数的最值问题等知识.解题的关键是方 程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用. 10. (2011 陕西,25,12 分)如图①,在矩形 ABCD 中,将矩形折叠,使点 B 落在边 AD (含端点)上,落点记为 E,这时折痕与边 BC 或者边 CD(含端点)交于点 F,然后展

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开铺平,则以 B、E、F 为顶点的△ BEF 称为矩形 ABCD 的―折痕三角形‖ . (1)由―折痕三角形‖的定义可知,矩形 ABCD 的任意一个―折痕△ BEF‖一定是一个 _________三角形; (2)如图②,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4.当它的―折痕△ BEF‖的顶点 E 位于边 AD 的中点时,画出这个―折痕△ BEF‖,并求出点 F 的坐标; (3)如图③,在矩形 ABCD 中, AB=2,BC=4.该矩形是否存在面积最大的―折痕 △ BEF‖?若存在,说明理由,并求出此时点 E 的坐标;若不存在,为什么?

考点:翻折变换(折叠问题) ;勾股定理;矩形的性质;正方形的性质。 专题:数形结合;分类讨论。 分析: (1)由图形结合线段垂直平分线的性质即可解答; (2)由折叠性质可知,折痕垂直平分 BE,求出 AB、AE 的长,判断出四边形 ABFE 为正方形,求得 F 点坐标; (3)矩形 ABCD 存在面积最大的折痕三角形 BEF,其面积为 4,①当 F 在边 CD 上 时,S△ BEF≤
1 S 矩形 ABCD,即当 F 与 C 重合时,面积最大为 4;②当 F 在边 CD 上时, 2

过 F 作 FH∥BC 交 AB 于点 H,交 BE 于 K,再根据三角形的面积公式即可求解;再 根据此两种情况利用勾股定理即可求出 AE 的长,进而求出 E 点坐标. 解答:解: (1)等腰. (2)如图①,连接 BE,画 BE 的中垂线交 BC 与点 F,连接 EF,△ BEF 是矩形 ABCD 的一个折痕三角形. ∵折痕垂直平分 BE,AB=AE=2, ∴点 A 在 BE 的中垂线上,即折痕经过点 A. ∴四边形 ABFE 为正方形. ∴BF=AB=2,

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∴F(2,0) . (3)矩形 ABCD 存在面积最大的折痕三角形 BEF,其面积为 4, 理由如下:①当 F 在边 BC 上时,如图②所示. S△ BEF≤
1 S 矩形 ABCD,即当 F 与 C 重合时,面积最大为 4. 2

②当 F 在边 CD 上时,如图③所示, 过 F 作 FH∥BC 交 AB 于点 H,交 BE 于 K. ∵S△ EKF=
BCFH,

1 1 1 KF?AH≤ HF?AH= S 2 2 2

矩形

AHFD ,

S△ BKF=

1 1 1 KF?BH≤ HF?BH= S 2 2 2

矩形

∴S△ BEF≤

1 S 矩形 ABCD=4. 2

即当 F 为 CD 中点时,△ BEF 面积最大为 4. 下面求面积最大时,点 E 的坐标. ①当 F 与点 C 重合时,如图④所示. 由折叠可知 CE=CB=4, 在 Rt△ CDE 中,ED= CD 2 ? CE 2 = 4 2 ? 2 2 =2 3 . ∴AE=4﹣2 3 . ∴E(4﹣2 3 ,2) . ②当 F 在边 DC 的中点时,点 E 与点 A 重合,如图⑤所示. 此时 E(0,2) . 综上所述,折痕△ BEF 的最大面积为 4 时, E 的坐标为 E(0,2) E 点 或 (4﹣2 3 ,2) .

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点评:本题考查的是图形的翻折变换,涉及到矩形及正方形的性质,难度较大,在解答此题 时要利用数形结合的思想进行分类讨论. 11. (2011 湖北荆州,22,10 分)如图,等腰梯形 ABCD 的底边 AD 在 x 轴上,顶点 C 在 y 轴正半轴上,B(4,2),一次函数 y=kx-1 的图象平分它的面积,关于 x 的函数 y=mx2(3m+k)x+2m+k 的图象与坐标轴只有两个交点,求 m 的值.

考点:抛物线与 x 轴的交点;一次函数的性质;等腰梯形的性质. 专题:计算题. 分析:过 B 作 BE⊥AD 于 E,连接 OB、CE 交于点 P,根据矩形 OCBE 的性质求出 B、P 坐标,然后再根据相似三角形的性质求出 k 的值,将解析式 y=mx2-(3m+k)x+2m+k 中的 k 化为具体数字,再分 m=0 和 m≠0 两种情况讨论,得出 m 的值.

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解答:过 B 作 BE⊥AD 于 E,连接 OB、CE 交于点 P, ∵P 为矩形 OCBE 的对称中心,则过点 P 的直线平分矩形 OCBE 的面积. ∵P 为 OB 的中点,而 B(4,2), P 点坐标为(2,1), 在 Rt△ ODC 与 Rt△ EAB 中,OC=BE,AB=CD, Rt△ ODC≌Rt△ EAB(HL),△ ODC≌Rt△ EBA, 过点(0,-1)与 P(2,1)的直线平分等腰梯形面积,这条直线为 y=kx-1. 2k-1=1,则 k=1. ∵关于 x 的函数 y=mx2-(3m+1)x+2m+1 的图象与坐标轴只有两个交点, ∴①当 m=0 时,y=-x+1,其图象与坐标轴有两个交点(0,1),(1,0); ②当 m≠0 时,函数 y=mx2-(3m+1)x+2m+1 的图象为抛物线,且与 y 轴总有一个交点(0, 2m+1), 若抛物线过原点时,2m+1=0, 即 m=- 12,此时,△ =(3m+1)2-4m(2m+1)=(m+1)2>0, 故抛物线与 x 轴有两个交点且过原点,符合题意. 若抛物线不过原点,且与 x 轴只有一个交点,也符合题意,此时△ =(m+1)2=0,m=-1. 综上所述,m 的值为 m=0 或-1 或- 12. 点评:此题考查了抛物线与坐标轴的交点,同时结合了梯形的性质和一次函数的性质,要注 意数形结合,同时要进行分类讨论,得到不同的 m 值. 12. (2011 湖北荆州,24,12 分)如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形 OABC 与 CDEF 的边 OC、 所在直线为 x 轴、 轴建立平面直角坐标系 OA y (O、 F 三点在 x 轴正半轴上) 若 C、 . ⊙P 过 A、B、E 三点(圆心在 x 轴上),抛物线 y= 14x2+bx+c 经过 A、C 两点,与 x 轴的 另一交点为 G,M 是 FG 的中点,正方形 CDEF 的面积为 1. (1)求 B 点坐标; (2)求证:ME 是⊙P 的切线; (3)设直线 AC 与抛物线对称轴交于 N,Q 点是此轴称轴上不与 N 点重合的一动点, ①求△ ACQ 周长的最小值;

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②若 FQ=t,S△ ACQ=S,直接写出 S 与 t 之间的函数关系式.

考点:二次函数综合题. 分析: (1)如图甲,连接 PE、PB,设 PC=n,由正方形 CDEF 的面积为 1,可得 CD=CF=1, 根据圆和正方形的对称性知:OP=PC=n,由 PB=PE,根据勾股定理即可求得 n 的值,继而 求得 B 的坐标; (2)由(1)知 A(0,2),C(2,0),即可求得抛物线的解析式,然后求得 FM 的长, 则可得△ PEF∽△EMF,则可证得∠PEM=90° ,即 ME 是⊙P 的切线; (3) ①如图乙, 延长 AB 交抛物线于 A′, CA′交对称轴 x=3 于 Q, AQ, 连 连 则有 AQ=A′Q, △ ACQ 周长的最小值为 AC+A′C 的长,利用勾股定理即可求得△ ACQ 周长的最小值; ②分别当 Q 点在 F 点上方时,当 Q 点在线段 FN 上时,当 Q 点在 N 点下方时去分析即可求 得答案. 解答:解:(1)如图甲,连接 PE、PB,设 PC=n, ∵正方形 CDEF 的面积为 1, ∴CD=CF=1, 根据圆和正方形的对称性知:OP=PC=n, ∴BC=2PC=2n, ∵而 PB=PE, ∴PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2,PE2=PF2+EF2=(n+1)2+1, ∴5n2=(n+1)2+1, 解得:n=1 或 n=- 12(舍去), ∴BC=OC=2, ∴B 点坐标为(2,2);

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(2)如图甲,由(1)知 A(0,2),C(2,0),

∵A,C 在抛物线上, ∴ {c=214× 4+2b+c=0, 解得: {c=2b=-32, ∴抛物线的解析式为:y= 14x2- 32x+2= 14(x-3)2- 14, ∴抛物线的对称轴为 x=3,即 EF 所在直线, ∵C 与 G 关于直线 x=3 对称, ∴CF=FG=1, ∴MF= 12FG= 12, 在 Rt△ PEF 与 Rt△ EMF 中, ∠EFM=∠EFP, ∵ FMEF=121=12, EFPF=12, ∴ FMEF=EFPF, ∴△PEF∽△EMF, ∴∴∠EPF=∠FEM, ∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90° ,

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∴ME 是⊙P 的切线;

(3)①如图乙,延长 AB 交抛物线于 A′,连 CA′交对称轴 x=3 于 Q,连 AQ, 则有 AQ=A′Q, ∴△ACQ 周长的最小值为 AC+A′C 的长,? ∵A 与 A′关于直线 x=3 对称, ∴A(0,2),A′(6,2), ∴A′C=(6-2)2+22=2 5,而 AC=22+22=2 2, ∴△ACQ 周长的最小值为 2 2+2 5; ②当 Q 点在 F 点上方时,S=t+1, 当 Q 点在线段 FN 上时,S=1-t, 当 Q 点在 N 点下方时,S=t-1. 点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,圆的性质,相似三角形的判定与性质以 及勾股定理等知识.此题综合性很强,题目难度较大,解题的关键是方程思想、分类讨论与 数形结合思想的应用. 13.(2011 泰安,27,10 分)已知:在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,BC=2AD, E 是 BC 的中点,连接 AE.AC. (1)点 F 是 DC 上一点,连接 EF,交 AC 于点 O(如图 1) ,求证:△ AOE∽△COF; (2)若点 F 是 DC 的中点,连接 BD,交 AE 与点 G(如图 2) ,求证:四边形 EFDG 是菱 形.

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考点:相似三角形的判定;菱形的判定。 专题:证明题;数形结合。 分析: (1)由点 E 是 BC 的中点,BC=2AD,可证得四边形 AECD 为平行四边形,即可得 △ AOE∽△COF; (2)连接 DE,易得四边形 ABED 是平行四边形,又由∠ABE=90° ,可证得四边形 ABED 是矩形,根据矩形的性质,易证得 EF=GD=GE=DF,则可得四边形 EFDG 是菱形. 解答: (1)证明:∵点 E 是 BC 的中点,BC=2AD, ∴EC=BE=

1 BC=AD, 2

又∵AD∥DC, ∴四边形 AECD 为平行四边形, ∴AE∥DC, ∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO, ∴△AOE∽△COF;

(2)证明:连接 DE, ∵DE 平行且等于 BE, ∴四边形 ABED 是平行四边形, 又∠ABE=90° , ∴□ABED 是矩形, ∴GE=GA=GB=GD=

1 1 BD= AE, 2 2

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∴E.F 分别是 BC.CD 的中点, ∴EF.GE 是△ CBD 的两条中线, ∴EF=

1 1 BD=GD,GE= CD=DF, 2 2

又 GE=GD, ∴EF=GD=GE=DF, ∴四边形 EFDG 是菱形. 点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,矩形与菱形的判定 与性质等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是要注意数形结合思想的应用.

14. (2011 山东烟台,26,14 分) 如图,在直角坐标系中,梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上,底边 CD 的端点 D 在 y 轴上. 直线 CB 的表达式为 y=-
4 16 x+ ,点 A、D 的坐标分别为(-4,0)(0,4).动点 P 自 A , 3 3

点出发,在 AB 上匀速运行.动点 Q 自点 B 出发,在折线 BCD 上匀速运行,速度均为每秒 1 个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点 P 运动 t(秒)时,△ OPQ 的 面积为 s(不能构成△ OPQ 的动点除外). (1)求出点 B、C 的坐标; (2)求 s 随 t 变化的函数关系式; (3)当 t 为何值时 s 有最大值?并求出最大值. y
D C

Q
A P O B

x

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y
D C D

y
C

A

O

B

x

A

O

B

x

(备用图 2)
90

(备用图 1)
90

考点:二次函数综合题. 分析: (1)把 y=4 代入 y=- -
4 16 x+ 求得 x 的值,则可得点 C 的坐标,把 y=0 代入 y= 3 3

4 16 x+ 求得 x 的值,即可得点 B 的坐标; 3 3

(2)作 CM⊥AB 于 M,则可求得 CM 与 BM 的值,求得∠ABC 的正弦值,然后分别从 0< t<4 时,当 4<t≤5 时与当 5<t≤6 时去分析求解即可求得答案; (3)在(2)的情况下 s 的最大值,然后比较即可求得答案. 解答:解: (1)把 y=4 代入 y=- 当 y=0 时,-
4 16 x+ ,得 x=1.∴C 点的坐标为(1,4) . 3 3

4 16 x+ =0,∴x=4.∴点 B 坐标为(4,0) . 3 3

(2)作 CM⊥AB 于 M,则 CM=4,BM=3.∴BC= CM 2 ? BM 2 = 32 ? 42 =5. ∴sin∠ABC=
CM 4 = . BC 5

①当 0<t<4 时,作 QN⊥OB 于 N, 则 QN=BQ· sin∠ABC= ∴S=
4 t. 5

1 1 4 OP· QN= (4-t)× t 2 2 5

=-

2 2 8 t + t(0<t<4). 5 5

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②当 4<t≤5 时, (图 1) , 连接 QO,QP,作 QN⊥OB 于 N. 同理可得 QN= ∴S= =
4 t. 5

1 1 4 OP· QN= × (t-4)× t. 2 2 5 2 2 8 t - t(4<t≤5). 5 5

③当 5<t≤6 时, (图 2) , 连接 QO,QP. S=
1 1 × OP× OD= (t-4)× 4. 2 2

=2t-8(5<t≤6). (3)①在 0<t<4 时,
8 5 2 2 ? (? ) 5

当 t=

=2 时,

8 ?( ) 2 8 5 S 最大= = . 2 5 4 ? (? ) 5 8 ? 2 2 8 ②在 4<t≤5 时,对于抛物线 S= t - t,当 t=- 5 =2 时, 2 5 5 2? 5

S 最小=

2 2 8 8 × - × 2 2=- . 5 5 5

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∴抛物线 S=

2 2 8 8 t - t 的顶点为(2,- ). 5 5 5

∴在 4<t≤5 时,S 随 t 的增大而增大. ∴当 t=5 时,S 最大= ③在 5<t≤6 时, 在 S=2t-8 中,∵2>0,∴S 随 t 的增大而增大. ∴当 t=6 时,S 最大=2× 6-8=4. ∴综合三种情况,当 t=6 时,S 取得最大值,最大值是 4.
2 2 8 × - × 5 5=2. 5 5

点评: 此题考查了点与函数的关系, 三角形面积的求解方法以及利用二次函数的知识求 函数的最大值的问题.此题综合性很强,难度较大,解题时要注意分类讨论思想,方程思想 与数形结合思想的应用. 15.(2011?山西)如图,在平面直角坐标系中.四边形 OABC 是平行四边形.直线 l 经过 O、 C 两点.点 A 的坐标为(8,o) ,点 B 的坐标为(11.4) ,动点 P 在线段 OA 上从点 O 出发以 每秒 1 个单位的速度向点 A 运动, 同时动点 Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿 A→B→C 的方向向点 C 运动,过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,与折线 O 一 C﹣B 相交于点 M.当 P、Q 两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点 P、Q 运动的时间为 t 秒(t> 0) △ MPQ 的面积为 S. . (1)点 C 的坐标为 ,直线 l 的解析式为 .

(2)试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式,并写出相应的 t 的取值范围. (3)试求题(2)中当 t 为何值时,S 的值最大,并求出 S 的最大值. (4)随着 P、Q 两点的运动,当点 M 在线段 CB 上运动时,设 PM 的延长线与直线 l 相交 于点 N.试探究:当 t 为何值时,△ QMN 为等腰三角形?请直接写出 t 的值.

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考点:二次函数综合题。 专题:代数几何综合题;数形结合;分类讨论。 分析: (1)由平行四边形的性质和点 A、B 的坐标便可求出 C 点坐标,将 C 点坐标代入正 比例函数即可求得直线 l 的解析式; (2)根据题意,得 OP=t,AQ=2t,根据 t 的取值范围不同分三种情况分别进行讨论,得到 三种 S 关于 t 的函数,解题时注意 t 的取值范围; (3)分别根据三种函数解析式求出当 t 为何值时,S 最大,然后比较三个最大值,可知当当 t=

8 128 时,S 有最大值,最大值为 ; 3 9

(4)根据题意并细心观察图象可知;当 t=

60 时,△ QMN 为等腰三角形. 13

解答:解: (1)由题意知:点 A 的坐标为(8,0) ,点 B 的坐标为(11.4) , 且 OA=BC,故 C 点坐标为 C(3,4) , 设直线 l 的解析式为 y=kx, 将 C 点坐标代入 y=kx, 解得 k=

4 , 3

4 x; 3 4 故答案为(3,4) ,y= x; 3
∴直线 l 的解析式为 y= (2)解:根据题意,得 OP=t,AQ=2t.分三种情况讨论: ①当 0<t≤

5 4 时,如图 l,M 点的坐标是(t, t) . 2 3

过点 C 作 CD⊥x 轴于 D,过点 Q 作 QE⊥x 轴于 E,可得△ AEO∽△ODC ∴

AQ AE QE 2t AE QE 6t 8t ,∴ ,∴AE= ,EQ= ? ? ? ? 5 5 OC OD CD 5 3 4

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∴Q 点的坐标是(8+

6t 8t 6t 1 ) ,∴PE=8+ ? t ? 8 ? t 5,5 5 5

1 1 4 1 2 16 ? t ? (8 ? t ) ? t 2 ? t t 2 2 3 5 15 3 5 ②当 <t≤3 时,如图 2,过点 q 作 QF⊥x 轴于 F, 2
∴S= ?MP?PE ? ∵BQ=2t﹣5,∴OF=11﹣(2t﹣5)=16﹣2t ∴Q 点的坐标是(16﹣2t? 4) ? ,∴PF=16﹣2t﹣t=16﹣3t

1 4 32 ? t ? (16 ? 3t ) ? ?2t 2 ? t 2 3 3 16 ③当点 Q 与点 M 相遇时,16﹣2t=t,解得 t= . 3 16 当 3<t< 时,如图 3,MQ=16﹣2t﹣t=16﹣3t,MP=4. 3 1 1 S= ? MP?MF = ?4?(16﹣3t)=﹣6t+32 2 2
∴S= ?MP?PF ? ①②③中三个自变量 t 的取值范围. 分) (8 评分说明:①、②中每求对 l 个解析式得(2 分) ,③中求对解析式得 l 分.①②③中三个自 变量 t 的取值范围全对 才可得(1 分) . (3)解:①当 0<t≤ ∵a=

1 2

5 2 2 16 2 160 时,S= t ? t ? (t ? 20)2 ? 2 15 3 15 3

2 >0,抛物线开口向上,对称轴为直线 t=﹣20, 15 5 ∴当 0<t≤ 时,S 随 t 的增大而增大. 2 5 85 ∴当 t= 时,S 有最大值,最大值为 . 2 6 5 8 128 2 32 ②当 <t≤3 时,S=﹣2t + . t ? ?2(t ? )2 ? 2 3 3 9
∵a=﹣2<0,抛物线开口向下.

8 128 时,S 有最大值,最大值为 . 3 9 16 ③当 3<t< 时,S=﹣6t+32, 3
∴当 t= ∵k=﹣6<0.∴S 随 t 的增大而减小.

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16 时,S=0.∴0<S<14. 3 8 128 综上所述,当 t= 时,S 有最大值,最大值为 . 3 9
又∵当 t=3 时,S=14.当 t= 评分说明:①②③各(1 分) ,结论(1 分) ;若②中 S 与 t 的值仅有一个计算错误,导致最 终结论中相应的 S 或 t 有误,则②与结论不连续扣分,只扣(1 分) ;③中考生只要答出 S 随 t 的增大而减小即可得分. (4)当 t=

60 时,△ QMN 为等腰三角形. 13

点评: 本题是二次函数的综合题, 其中涉及的到的知识点有抛物线最大值的求法和动点问题 等知识点,是各地中考的热点和难点,解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用, 同学们要加强训练,属于中档题. 16.(2011?德州,23,12 分)在直角坐标系 xoy 中,已知点 P 是反比例函数 y ? 0)图象上一个动点,以 P 为圆心的圆始终与 y 轴相切,设切点为 A. (1)如图 1,⊙P 运动到与 x 轴相切,设切点为 K,试判断四边形 OKPA 的形状,并说明 理由. (2)如图 2,⊙P 运动到与 x 轴相交,设交点为 B,C.当四边形 ABCP 是菱形时: ①求出点 A,B,C 的坐标. ②在过 A, C 三点的抛物线上是否存在点 M, B, 使△ MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的 . 若 存在,试求出所有满足条件的 M 点的坐标,若不存在,试说明理由.

2 3 (x> x

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考点:二次函数综合题。 分析: (1)四边形 OKPA 是正方形.当⊙P 分别与两坐标轴相切时,PA⊥y 轴,PK⊥x 轴, x 轴⊥y 轴,且 PA=PK,可判断结论; (2)①连接 PB,设点 P(x,

2 3 ) ,过点 P 作 PG⊥BC 于 G,则半径 PB=PC,由 x

菱形的性质得 PC=BC, 可知△ PBC 为等边三角形, Rt△ PBG 中, 在 ∠PBG=60° ,

PB=PA=x,PG=

2 3 PG ,利用 sin∠PBG= ,列方程求 x 即可; x PB

②求直线 PB 的解析式, 利用过 A 点或 C 点且平行于 PB 的直线解析式与抛物线 解析式联立,列方程组求满足条件的 M 点坐标即可. 解答: (1)四边形 OKPA 是正方形. 证明:∵⊙P 分别与两坐标轴相切, ∴PA⊥OA,PK⊥OK. ∴∠PAO=∠OKP=90° . 又∵∠AOK=90° , ∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90° . ∴四边形 OKPA 是矩形. 又∵OA=OK, ∴四边形 OKPA 是正方形.

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(2)①连接 PB,设点 P 的横坐标为 x,则其纵坐标为 过点 P 作 PG⊥BC 于 G. ∵四边形 ABCP 为菱形, ∴BC=PA=PB=PC. ∴△PBC 为等边三角形. 在 Rt△ PBG 中,∠PBG=60° ,PB=PA=x,

2 3 . x

PG=

2 3 . x

2 3 3 PG sin∠PBG= ,即 ? x . 2 x PB
解之得:x=± 2(负值舍去) . ∴PG= 3 ,PA=BC=2. 易知四边形 OGPA 是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1, ∴OB=OG﹣BG=1,OC=OG+GC=3. ∴A(0, 3 ) ,B(1,0)C(3,0) . 设二次函数解析式为:y=ax +bx+c.
2

?a + b + c ? 0 ? 据题意得: ?9a + 3b + c ? 0 ? ?c ? 3
解之得:a=

3 4 3 ,b= ? ,c= 3 . 3 3 3 2 4 3 x ? x+ 3. 3 3
?u + v ? 0 ? ?2u + v ? 3 ?

∴二次函数关系式为: y ?

②解法一:设直线 BP 的解析式为:y=ux+v,据题意得: ?

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解之得:u= 3 ,v=-3 错误!未找到引用源。 . ∴直线 BP 的解析式为: y ?

3 x -3 错误!未找到引用源。 . 3 x +错误!未找到引

过点 A 作直线 AM∥PB,则可得直线 AM 的解析式为: y ? 用源。 .

? y ? 3x + 3 ? 解方程组: ? 3 2 4 3 x ? x+ 3 ?y ? 3 3 ?
得: ?

? x1 ? 0 ? x2 ? 7 ? ? ;? . ? x2 ? 3 ? y2 ? 8 3 ? ?

过点 C 作直线 CM∥PB,则可设直线 CM 的解析式为: y ? 源。 . ∴0=3 错误!未找到引用源。+t. ∴t=-3 错误!未找到引用源。 . ∴直线 CM 的解析式为: y ?

3 x +错误!未找到引用

3 x -3 错误!未找到引用源。 .

? y ? 3x + 3 ? 解方程组: ? 3 2 4 3 x ? x+ 3 ?y ? 3 3 ?
得: ?

? x1 ? 3 ? x2 ? 4 ? ;? . ? x2 ? 0 ? y2 ? 3 ?

综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个, 分别为: (0, 3 )(3,0)(4, 3 )(7,8 3 ) , , , .

解法二:∵ S?PAB ? S?PBC ?

1 S? ?PBC 2

∴A(0, 3 ) ,C(3,0)显然满足条件. 延长 AP 交抛物线于点 M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.

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又∵AM∥BC, ∴ S?PAB ? S?PBC ?

1 S? ?PBC . 2

∴点 M 的纵坐标为 3 . 又点 M 的横坐标为 AM=PA+PM=2+2=4. ∴点 M(4, 3 )符合要求. 点(7,8 3 )的求法同解法一. 综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个, 分别为: (0, 3 )(3,0)(4, 3 )(7,8 3 ) , , , . 解法三:延长 AP 交抛物线于点 M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA. 又∵AM∥BC, ∴ S?PAB ? S?PBC ?

1 S? ?PBC . 2

∴点 M 的纵坐标为 3 . 即 3?

3 2 4 3 x ? x+ 3. 3 3

解得:x1=0(舍) 2=4. ,x ∴点 M 的坐标为(4, 3 ) . 点(7,8 3 )的求法同解法一. 综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个, 分别为: (0, 3 )(3,0)(4, 3 )(7,8 3 ) , , , . 点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是由菱形、圆的性质,形数结合解题. 17. (2011 年山东省东营市,23,10 分)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板 放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点 A(0,2),点 C(1,0),如图所示,抛物线 y=ax2-ax-2 经过点 B. (1)求点 B 的坐标;

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(2)求抛物线的解析式; (3) 在抛物线上是否还存在点 P (点 B 除外) 使△ ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直 角 , 三角形?若存在,求所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题. 专题:代数几何综合题;分类讨论;方程思想. 分析: (1) 首先过点 B 作 BD⊥x 轴, 垂足为 D, 易证得△ BDC≌△CAO, 即可得 BD=OC=1, CD=OA=2,则可求得点 B 的坐标; (2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式; (3)分别从①以 AC 为直角边,点 C 为直角顶点,则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC,得到 等腰直角三角形 ACP1,过点 P1 作 P1M⊥x 轴,②若以 AC 为直角边,点 A 为直角顶点,则 过点 A 作 AP2⊥CA,且使得 AP2=AC,得到等腰直角三角形 ACP2,过点 P2 作 P2N⊥y 轴, ③若以 AC 为直角边,点 A 为直角顶点,则过点 A 作 AP3⊥CA,且使得 AP3=AC,得到等 腰直角三角形 ACP3,过点 P3 作 P3H⊥y 轴,去分析则可求得答案.

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解答:解:(1)过点 B 作 BD⊥x 轴,垂足为 D, ∵∠BCD+∠ACO=90° ,∠AC0+∠OAC=90° , ∴∠BCD=∠CAO, 又∵∠BDC=∠COA=9° ,CB=AC, ∴△BDC≌△CAO, ∴BD=OC=1,CD=OA=2, ∴点 B 的坐标为(3,1); (2)∵抛物线 y=ax2-ax-2 过点 B(3,1),

∴1=9a-3a-2, 解得:a=

1 , 2 1 2 1 xx-2; 2 2

∴抛物线的解析式为 y=

(3)假设存在点 P,使得△ ACP 是直角三角形, ①若以 AC 为直角边,点 C 为直角顶点, 则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC,得到等腰直角三角形 ACP1,过点 P1 作 P1M⊥x 轴,如图 (1), ∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90° , ∴△MP1C≌△DBC,

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∴CM=CD=2,P1M=BD=1,

∴P1(-1,-1),经检验点 P1 在抛物线 y=

1 2 1 xx-2 上; 2 2

②若以 AC 为直角边,点 A 为直角顶点,则过点 A 作 AP2⊥CA,且使得 AP2=AC, 得到等腰直角三角形 ACP2,过点 P2 作 P2N⊥y 轴,如图(2), 同理可证△ AP2N≌△CAO, ∴NP2=OA=2,AN=OC=1, ∴P2(-2,1),经检验 P2(-2,1)也在抛物线 y=

1 2 1 xx-2 上; 2 2

③若以 AC 为直角边,点 A 为直角顶点,则过点 A 作 AP3⊥CA,且使得 AP3=AC, 得到等腰直角三角形 ACP3,过点 P3 作 P3H⊥y 轴,如图(3), 同理可证△ AP3H≌△CAO, ∴HP3=OA=2,AH=OC=1, ∴P3(2,3),经检验 P3(2,3)不在抛物线 y=

1 2 1 xx-2 上; 2 2

故符合条件的点有 P1(-1,-1),P2(-2,1)两点. 点评:此题考查了全等三角形的判定与性质,待定系数法求二次函数的解析式,等腰直角三 角形的性质等知识.此题综合性和强,难度较大,解题的关键是要注意数形结合思想、方程 思想与分类讨论思想的应用的应用. 18.(2011 山东济南,27,9 分)如图,矩形 OABC 中,点 O 为原点,点 A 的坐标为(0,8) , 点 C 的坐标为(6,0) .抛物线 y ? ? (1)求抛物线的函数表达式;

4 2 x ? bx ? c 经过 A、C 两点,与 AB 边交于点 D. 9

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(2)点 P 为线段 BC 上一个动点(不与点 C 重合) ,点 Q 为线段 AC 上一个动点,AQ=CP, 连接 PQ,设 CP=m,△ CPQ 的面积为 S. ①求 S 关于 m 的函数表达式,并求出 m 为何值时,S 取得最大值; ②当 S 最大时,在抛物线 y ? ?

4 2 x ? bx ? c 的对称轴 l 上若存在点 F,使△ FDQ 为直角三 9

角形,请直接写出所有符合条件的 F 的坐标;若不存在,请说明理由.
y A Q P O C x D B

y A

l
D B

O

C

x

第 27 题 图 考点:二次函数综合题。

第 27 题备用 图

专题:代数几何综合题;数形结合。 分析: (1)将 A、C 两点坐标代入抛物线 y ? ?

4 2 x ? bx ? c ,即可求得抛物线的解析式; 9

(2) ①先用 m 表示出 QE 的长度, 进而求出三角形的面积 S 关于 m 的函数, 化简为顶点式, 便可求出 S 的最大值; ②直接写出满足条件的 F 点的坐标即可,注意不要漏写. 解答:解: (1)将 A、C 两点坐标代入抛物线 y ? ?

4 2 x ? bx ? c , 9

?c ? 8 ? , ? 4 ?? 9 ? 36 ? 6b ? c ? 0 ?

4 ? ?b ? 3 ? 解得 ?c ? 8 , ?
∴抛物线的解析式为 y ? ?

4 2 4 x ? x ?8; 9 3

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(2)①∵OA=8,OC=6 ∴ AC ? OA ? OC ? 10 ,
2 2

过点 Q 作 QE⊥BC 与 E 点,则 sin ?ACB ?

QE AB 3 ? ? , QC AC 5

y A Q D B

E
P

O

C

x

图1

QE 3 ? , 10 ? 5m 5 3 ∴ QE ? (10 ? m) , 5 1 1 3 3 3 15 ∴ S ? CP? QE ? m ? (10 ? m) ? m2 ? 3m ? (m ? 5) 2 ? 2 2 5 10 10 2
∴ ∴当 m=5 时,S 取最大值; ②在抛物线对称轴 l 上存在点 F,使△ FDQ 为直角三角形, 满足条件的点 F 共有四个,坐标分别为

3 3 3 3 F1 ( ,8) , F2 ( , 4) , F3 ( ,6 ? 2 7) , F4 ( ,6 ? 2 7) , 2 2 2 2
点评: 本题是二次函数的综合题, 其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法抛物线的最 值等知识点,是各地中考的热点和难点, ,解题时注意数形结合数学思想的运用,同学们要 加强训练,属于中档题. 19. (2011 黑龙江牡丹江,26,9 分)在△ ABC 中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90° , AD 为∠ABC 的角平分线时,在 AB 上截取 AE=AC,连接 DE,易证 AB=AC+CD.

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(1)如图②,当∠C≠90°,AD 为∠BAC 的角平分线时,线段 AB、AC、CD 又有怎样的 数量关系?不需要证明,请直接写出你的猜想: (2) 如图③, AD 为△ ABC 的外角平分线时, 当 线段 AB、 、 又有怎样的数量关系? AC CD 请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.

考点:全等三角形的判定与性质;角平分线的性质。 分析: (1)首先在 AB 上截取 AE=AC,连接 DE,易证△ ADE≌△ADC(SAS) ,则可得 ∠AED=∠C,ED=CD,又由∠ACB=2∠B,易证 DE=CD,则可求得 AB=AC+CD; (2)首先在 BA 的延长线上截取 AE=AC,连接 ED,易证△ EAD≌△CAD,可得 ED=CD, ∠AED=∠ACD,又由∠ACB=2∠B,易证 DE=EB,则可求得 AC+AB=CD. 解答:解: (1)猜想:AB=AC+CD. 证明:如图②,在 AB 上截取 AE=AC,连接 DE, ∵AD 为△ ABC 的角平分线时, ∴∠BAD=∠CAD, ∵AD=AD, ∴△ADE≌△ADC(SAS) , ∴∠AED=∠C,ED=CD, ∵∠ACB=2∠B, ∴∠AED=2∠B, ∴∠B=∠EDB, ∴EB=ED, ∴EB=CD, ∴AB=AE+DE=AC+CD.

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(2)猜想:AB+AC=CD. 证明:在 BA 的延长线上截取 AE=AC,连接 ED. ∵AD 平分∠FAC, ∴∠EAD=∠CAD. 在△ EAD 与△ CAD 中,AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD, ∴△EAD≌△CAD. ∴ED=CD,∠AED=∠ACD. ∴∠FED=∠ACB. 又∠ACB=2∠B,∠FED=∠B+∠EDB,∠EDB=∠B. ∴EB=ED. ∴EA+AB=EB=ED=CD. ∴AC+AB=CD.

点评: 此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理. 此题难度适中, 解题的关键是注意数形结合思想的应用. 20. (2011 丽江市中考,21, 分)为贯彻落实云南省教育厅提出的―三生教育‖,在母亲节

来临之际,某校团委组织了以―珍爱生命,学会生存,感恩父母‖为主题的教育活动,在 学校随机调查了 50 名同学平均每周在家做家务的时间,统计并制作了如下的频数分布 和扇形统计图: 组别 A B C 做家务的时间 1≤t<2 2≤t<4 4≤t<6 频数 3 20 A 频率 0.06 0.40 0.30

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D E

6≤t<8 t≥8

8 4

B 0.08

根据上述信息回答下列问题: (1)a= 15 ,b= 0.16 ; (2)在扇形统计图中,B 组所占圆心角的度数为 144° ; (3) 全校共有 2000 名学生, 估计该校平均每周做家务时间不少于 4 小时的学生约有多 少人?

考点:频数(率)分布表;用样本估计总体;扇形统计图。 专题:图表型;数形结合。 分析: (1)读图可知:总人数减去其余 4 级的人数即为 a 的值,D 级的人数除以总人数 即可求得 b 的值; (2)求出 B 级人数占总人数的百分比,再乘以 360 度即可解答. (3) 先求出样本中平均每周做家务时间不少于 4 小时的学生所占的频率, 在用样 本估计总体的方法计算即可解答. 解答:解: (1)a=50﹣3﹣4﹣8﹣20=15,b=8÷ 50=0.16; (2)B 组所占圆心角的度数为 20÷ 360° 50× =144° ; (3)2000× (0.3+0.08+0.16)=1080(人) ,即该校平均每周做家务时间不少 于 4 小时的学生约有 1080 少人. 故答案为 15,0.16,144° . 点评:本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力. 利用统计图获 取信息时, 必须认真观察、 分析、 研究统计图, 才能作出正确的判断和解决问题. 同 时考查了用样本估计总体的知识. 21. (2011 浙江宁波,20,?)在一个不透明的袋子中装有 3 个除颜色外完全相同的小球,

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其中白球 1 个,黄球 1 个,红球 1 个,摸出一个球记下颜色后放回,再摸出一个球,请用列 表法或画树状图法求两次都摸到红球的概率. 考点:列表法与树状图法。 专题:数形结合。 分析:列举出所有情况,看两次都摸到红球的情况数占总情况数的多少即可. 解答:解:

一共有 9 种情况,两次都摸到红球的有 1 种情况. 故概率为:
1 . 9

点评:考查概率的求法;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.得到两次都 摸到红球的情况数是解决本题的关键. 22. (2011 浙江金华,19,6 分) (本题 6 分) 生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当 50°≤α≤70°(α 为梯子与地面所成的角) ,能够使人安全 攀爬,现在有一长为 6 米的梯子 AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的 最大高度 AC.(结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34, cos50°≈0.64)

考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题。 专题:数形结合。 分析:易得 α 越大,梯子顶端达到最大高度,利用 70° 正弦值可得最大高度 AC. 解答:解:由题意知,当 α 越大,梯子的顶端达到的最大高度越大.因为当 50°≤α≤70°时,能

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够使人安全攀爬,所以当 α=70°时 AC 最大. 在 Rt△ ABC 中,AB=6 米,α=70°, sin70° =,即 0.94≈,解得 AC ≈5.6. 答:梯子的顶端能达到的最大高度 AC≈5.6 米. 答:人安全攀爬梯子时,梯子的顶端达到的最大高度约 5.6 米. 分) (1 点评: 本题考查了解直角三角形的应用; 判断出梯子达到最大高度时 α 的值是解决本题的突 破点. 23. (2011 杭州,23,10 分)设函数 y=kx2+(2k+1)x+1(k 为实数) (1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并在同一直角坐标系中, 用描点法画出这两个特殊函数的图象; (2)根据所画图象,猜想出:对任意实数 k,函数的图象都具有的特征,并给予证明; (3)对任意负实数 k,当 x<m 时,y 随着 x 的增大而增大,试求出 m 的一个值. 考点:二次函数综合题. 专题:综合题;数形结合. 分析:(1)令 k=0 或 1,分别得到两个特殊函数,画出图象即可; (2)猜想:不论 k 取何值,函数 y=kx2+(2k+1)x+1 的图象必过定点(0,1), (-2,-1).由 解析式变形,得 y=k(x2+2x)+(x+1),可知当 x2+2x=0,即 x=0 或-2 时,函数值与 k 的取 值无关,此时 y=1 或-1,可得定点坐标;

2k ? 1 ,在对称轴左侧, 2k 2k ? 1 2k ? 1 1 y 随 x 的增大而增大,根据题意,得 m≤ ? ,而当 k<0 时, ? =-1 >-1,可 2k 2k 2k
(3)只求 m 的一个值即可.当 k<0 时,抛物线对称轴为直线 x= ? 确定 m 的范围,在范围内取 m 的一个值即可. 解答:解:(1)如两个函数为 y=x+1,y=x2+3x+1, 函数图形如图所示;

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(2)不论 k 取何值,函数 y=kx2+(2k+1)x+1 的图象必过定点(0,1),(-2,-1), 且与 x 轴至少有 1 个交点.证明如下: 由 y=kx2+(2k+1)x+1,得 k(x2+2x)+(x-y+1)=0 当 x2+2x=0,且 x-y+1=0,即 x=0,y=1,或 x=-2,y=-1 时,上式对任意实数 k 都成立, 所以函数的图象必过定点(0,1),(-2,-1). 又因为当 k=0 时,函数 y=x+1 的图象与 x 轴有一个交点; 当 k≠0 时,∵△=(2k+1)2-4k=4k2+1>0,所以函数图象与 x 轴有两个交点. 所以函数 y=kx2+(2k+1)x+1 的图象与 x 轴至少有 1 个交点. (3)只要写出 m≤-1 的数都可以. ∵k<0,∴函数 y=kx2+(2k+1)x+1 的图象在对称轴直线 x= ? 而增大. 根据题意,得 m≤ 所以 m≤-1. 点评:本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、二次函数的增减 性等知识点.主要考查学生数形结合的数学思想方法. 24. (2011 浙江衢州,18,6 分)解不等式 x ? 1 ≤

2k ? 1 的左侧,y 随 x 的增大 2k

2k ? 1 2k ? 1 1 ,而当 k<0 时, ? =-1 >-1, 2k 2k 2k

1? x ,并把解在数轴上表示出来. 3

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考点:解一元一次不等式;不等式的性质;在数轴上表示不等式的解集。 专题:计算题;数形结合。 分析:根据不等式的性质得到得 3(x﹣1)≤1+x,推出 2x≤4,即可求出不等式的解集. 解答:解:去分母,得 3(x﹣1)≤1+x, 整理,得 2x≤4, ∴x≤2.

在数轴上表示为:



点评:本题主要考查对解一元一次不等式,在数轴上表示不等式的解集,不等式的性质等知 识点的理解和掌握,能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键. 25..如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点 A 的坐标是(-2,4),过点 A 作 AB⊥y 轴,垂足为 B,连接 OA.

(1)求△ OAB 的面积; (2)若抛物线 y=-x2-2x+c 经过点 A. ①求 c 的值; ②将抛物线向下平移 m 个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△ OAB 的内部(不包括 △ OAB 的边界),求 m 的取值范围(直接写出答案即可). 【考点】二次函数综合题. 【专题】代数几何综合题;数形结合.

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【分析】(1)根据点 A 的坐标是(-2,4),得出 AB,BO 的长度,即可得出△ OAB 的面 积; (2)①把点 A 的坐标(-2,4)代入 y=-x2-2x+c 中,直接得出即可; ②利用配方法求出二次函数解析式即可得出顶点坐标,根据 AB 的中点 E 的坐标以及 F 点 的坐标即可得出 m 的取值范围.

【解答】 ∴AB=2,OB=4, ∴△OAB 的面积为:

解:(1)∵点 A 的坐标是(-2,4),AB⊥y 轴,

1 1 ? AB ? OB ? ? 2 ? 4 ? 4 , 2 2

(2)①把点 A 的坐标(-2,4)代入 y=-x2-2x+c 中,得-(-2)2-2× (-2)+c=4, ∴c=4, ②∵y=-x2-2x+4=-(x+1)2+5,∴抛物线顶点 D 的坐标是(-1,5), AB 的中点 E 的坐标是(-1,4),OA 的中点 F 的坐标是(-1,2), ∴m 的取值范围是:1<m<3, 【点评】 此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数顶点坐标求法, 二次函数的综合 应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应 重点掌握. 26.(2011 清远,26,9 分)如图,抛物线 y=(x+1) +k 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交 于点 C(0,-3) (1)求抛物线的对称轴及 k 的值; (2)抛物线的对称轴上存在一点 P,使得 PA+PC 的值最小,求此时点 P 的坐标; (3)点 M 是抛物线上的一动点,且在第三象限. ①当 M 点运动到何处时,△ AMB 的面积最大?求出△ AMB 的最大面积及此时点 M 的坐 标;
2

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②当 M 点运动到何处时, 四边形 AMCB 的面积最大?求出四边形 AMCB 的最大面积及此 时点的坐标.

考点:二次函数综合题. 分析: (1)由抛物线 y=(x+1) +k 与 y 轴交于点 C(0,-3) ,即可将点 C 的坐标代 入函数解析式,解方程即可求得 k 的值,由抛物线 y=(x+1) +k 即可求得抛物线的对称轴 为:x=-1; (2)连接 AC 交抛物线的对称轴于点 P,则 PA+PC 的值最小,求得 A 与 C 的坐标,设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,利用待定系数法即可求得直线 AC 的解析式,则可求得此时点 P 的坐标; (3)①设点 M 的坐标为: (x+1)2-4) (x, ,即可得 S△ AMB=
2 2

1 × |(x+1)2-4|,由二次 4× 2

函数的最值问题,即可求得△ AMB 的最大面积及此时点 M 的坐标; ②如图 3,设点 M 的坐标为: (x+1)2-4) (x, ,然后过点 M 作 MD⊥AB 于 D,由 S 四边形 ABCM =S△ OBC+S△ ADM+S
梯形

OCMD,根据二次函数的最值问题的求解方法,即可求得四边形

AMCB

的最大面积及此时点 M 的坐标. 解答:解: (1)∵抛物线 y=(x+1) +k 与 y 轴交于点 C(0,-3) ,∴-3=1+k,∴k =-4. ∴抛物线的解析式为:y=(x+1)2-4,∴抛物线的对称轴为:x=-1; (2)存在.如图 1,连接 AC 交抛物线的对称轴于点 P,则 PA+PC 的值最小,当 y=0 时, (x+1)2-4=0,解,得 x=-3 或 x=1,∵A 在 B 的左侧,∴A(-3,0) ,B(1,0) ,设 直线 AC 的解析式为:y=kx+b,
2

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∴?

?? 3k ? b ? 0, ?k ? ?1, 解得 ? ∴直线 AC 的解析式为: y=-x-3, x=-1 时, 当 y=- (- ? b ? ?3 . ?b ? ?3.

1)-3=-2, ∴点 P 的坐标为: (-1,-2) ;

图1

图2
2

图3

(3)①如图 2,设点 M 的坐标为: (x+1) -4) (x, ,∵AB=4,∴S△ AMB=
2 2 2

1 × |(x+1) 4× 2

﹣4|=2|(x+1) -4|,∵点 M 在第三象限,∴S△ AMB=8-2(x+1) ,∴当 x=-1 时,即

点 M 的坐标为(-1,-4)时,△ AMB 的面积最大,最大值为 8; ②设点 M 的坐标为: (x+1)2-4) (x, ,如图 3,过点 M 作 MD⊥AB 于 D,S S△ OBC+S△ ADM+S 梯形 OCMD
四边形

ABCM=

1 1 1 3 2 2 × 1+ × 3× (3+x)× [4-(x+1) ]+ × (-x)× [3+4-(x+1) ] = ? (x2+3x-4) 2 2 2 2 3 3 75 = ? (x+ )2+ , 2 2 8 3 15 3 3 15 当 x ? ? 时, y ? (? ? 1)2 ? 4 ? ? .即当点 M 的坐标为( ? , ? )时,四边形 2 4 2 2 4 75 AMCB 的面积最大,最大值为 . 8
= 点评:此题考查了待定系数法求函数的解析式,二次函数的最值问题,三角形与四边形 的面积问题以及线段和最短问题等知识.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是方程思 想与数形结合思想的应用. 2. (2011 广东湛江,23,10 分)一个口袋中有 4 个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,

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3,4. (1)随机摸取一个小球,求恰好摸到标号为 2 的小球的概率; (2)随机摸取一个小球然后放回,再随机摸取一个小球,求两次摸取的小球的标号的和为 5 的概率.

考点:列表法与树状图法. 专题:数形结合. 分析: (1)让标号为 2 的小球个数除以球的总数即可;
(2) 列举出所有情况, 看两次摸取的小球的标号的和为 5 的情况数占总情况数的多少即可.

解答:解: (1)共有 4 个球,标号为 2 的球有 1 个,所以概率为 ;
(2)

1 4

共有 16 种情况,两次摸取的小球的标号的和为 5 的
1 情况有 4 种,所以所求的概率为 . 4

点评:考查概率的求法;得到两次摸取的小球的标号的和为 5 的情况数是解决本题的关键;
用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 27. (2011 广东湛江,28,12 分)如图,抛物线 y=x2+bx+c 的顶点为 D(-1,-4) ,与 y 轴交于 点 C(0,-3) ,与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧) . (1)求抛物线的解析式; (2)连接 AC,CD,AD,试证明△ ACD 为直角三角形; (3)若点 E 在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点 F,使以 A,B,E,F 为顶点的的 四边形为平行四边形?若存在,求出所有满足条件的点 F 的坐标;若不存在,请说明理由.

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考点:二次函数综合题. 分析: (1)由定点列式计算,从而得到 b,c 的值而得解析式;
(2)由解析式求解得到点 A,得到 AC,CD,AD 的长度,而求证; (3)由(2)得到的结论,进行代入,要使以 A,B,E,F 为顶点的四边形是平行四边形, 必须满足的条件是 AB∥=EF,那么只需将 M 点的坐标向左或向右平移 BF 长个单位即可得 出 P 点的坐标,然后将得出的 P 点坐标代入抛物线的解析式中,即可判断出是否存在符合 条件的 P 点.
? b ? ? ? ?1 解答:解: (1)由题意得 ? 2 2 , 4c ? b ? ? ?4 ? 4

解得:b=2,c=-3, 则解析式为:y=x2+2x-3; (2)由题意结合图形 则解析式为:y=x2+2x-3, 解得 x=1 或 x=-3, 由题意点 A(-3,0) , ∴AC=
9 ? 9 ? 3 2 ,CD= 1 ? 1 ? 2 ,AD= 4 ? 16 ? 2 5 ,

由 AC2+CD2=AD2, 所以△ ACD 为直角三角形;

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(3)由(2)知 ME 取最大值时 ME=
3 3 ∴MF= ,BF=OB-OF= . 2 2

9 3 15 3 3 ,E( ,- ) ,M( ,- ) , 4 4 2 2 2

设在抛物线 x 轴下方存在点 P,使以 P、M、F、B 为顶点的四边形是平行四边形, 则 BP∥MF,BF∥PM.
3 3 ∴P1(0,- )或 P2(3,- ) , 2 2 3 3 当 P1(0,- )时,由(1)知 y=x2-2x-3=-3≠- , 2 2

∴P1 不在抛物线上.
3 3 当 P2(3,- )时,由(1)知 y=x2-2x-3=0≠- , 2 2

∴P2 不在抛物线上. 综上所述:抛物线 x 轴下方不存在点 P,使以 A、B、E、F 为顶点的四边形是平行四边形.

点评:本题考查了二次函数的综合运用,本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象
交点的求法等知识点.主要考查学生数形结合的数学思想方法. 28.(2011 年广西桂林,25,10 分)如图,在锐角△ ABC 中,AC 是最短边;以 AC 中点 O 为圆心,

1 AC 长为半径作⊙O,交 BC 于 E,过 O 作 OD∥BC 交⊙O 于 D,连结 AE、 2

AD、DC.

AE (1)求证:D 是 ? 的中点;
(2)求证:∠DAO =∠B +∠BAD; (3)若

S ?CEF 1 ? ,且 AC=4,求 CF 的长. S ?OCD 2

考点:圆周角定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质. 分析: (1)由 AC 是⊙O 的直径,即可求得 OD∥BC,又由 AE⊥OD,即可证得 D 是 的中点; (2)首先延长 OD 交 AB 于 G,则 OG∥BC,可得 OA=OD,根据等腰三角形的性质,即可

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求得∠DAO=∠B+∠BAD; (3)由 AO=OC,S△ OCD= S△ ACD,即可得

S ?CEF 1 ? ,又由△ ACD∽△FCE,根据相似 S ?ACD 4

三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得 CF 的长. 答案:25. (本题满分 10 分) 证明: (1)∵AC 是⊙O 的直径 ∴AE⊥BC ∵OD∥BC ∴AE⊥OD

AE ∴D 是 ? 的中点
(2)方法一: 如图,延长 OD 交 AB 于 G,则 OG∥BC ∴∠AGD=∠B ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD 又∵OA=OD ∴∠DAO=∠ADO ∴∠DAO=∠B +∠BAD 方法二: 如图,延长 AD 交 BC 于 H 则∠ADO=∠AHC ∵∠AHC=∠B +∠BAD ∴∠ADO =∠B +∠BAD 又∵OA=OD ∴∠DAO=∠B +∠BAD (3) ∵AO=OC ∴ S?OCD ? ∴ …4 分

1 S?ACD 2



S ?CEF 1 ? S ?OCD 2

S ?CEF 1 ? S ?ACD 4

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∵∠ACD=∠FCE ∴△ACD∽△FCE ∴

∠ADC=∠FEC=90°

S?CEF CF 2 ?( ) S?ACD AC

即:

1 CF 2 ?( ) 4 4

∴CF=2

点评:此题考查了垂径定理,平行线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识.此题综合 性较强,难度适中,解题的关键是数形结合思想的应用. 29.(2011 广东湛江,25,12 分)某中学为了了解学生的体育锻炼情况,随机抽查了部分学生 一周参加体育锻炼的时间,得到如图的条形统计图,根据图形解答下列问题:

(1)这次抽查了_______名学生; (2)所抽查的学生一周平均参加体育锻炼多少小时? (3) 已知该校有 1200 名学生, 估计该校有多少名学生一周参加体育锻炼的时间超过 6 小时?

考点:条形统计图;用样本估计总体;加权平均数. 专题:计算题;数形结合. 分析: (1)把各段的-人数相加即可求解;
(2)根据平均数的计算公式即可求解; (3)1200 乘以样本中超过 6 小时的人数所占的比例即可求解.

解答:解: (1)15+10+15+20=60.故答案是:60;
(2)
15 ? 4 ? 10 ? 5 ? 15 ? 7 ? 20 ? 8 ? 6.25 小时. 60

答:所抽查的学生一周平均参加体育锻炼 6.25 小时. (3)1200×
15 ? 20 =700 人. 60

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答:估计该校有 700 名学生一周参加体育锻炼的时间超过 6 小时.

点评:本题主要考查了条形统计图的计算,理解条形统计图中坐标的意义,理解加权平均数
的计算公式是解题的关键. 30.(2011 广西来宾,20,10 分)小明对所在班级的―小书库‖进行了分类统计,并制作了如 下的统计图表: 类别 数量(册) 频率 根据上述信息,完成下列问题: (1)图书总册数是 册,a= 册. 语文 22 数学 20 英语 18 物理 a 化学 12 其他 14 0,14

(2)请将条形图补充完整. (3)数据 22,20,18,a,12,14 中的众数是 ,极差是 .

(4)小明从这些书中任意拿一册来阅读,求他恰好拿到数学或英语书的概率。
数量(册)

24 22 20 18 16 14 12 10 8
语文 数学 英语 物理 化学 其他

类别

考点:条形统计图;众数;极差;概率公式。 专题:数形结合。 分析: (1)用其他类的册数除以频率即可求出总本数,再减去已知的本书即可求出 a 的值. (2)根据上题求出的结果将统计图补充完整即可. (3)根据众数与极差的概念直接解答即可. (4)根据概率的求法,用数学与英语书的总本数除以总本数即可解答.

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解答:解: (1)总本数=14÷ 0.14=100 本,a=100﹣22﹣20﹣18=12﹣14=14 本.

(2)如图



(3)数据 22,20,18,a,12,14 中 a=14,所以众数是 14,极差是 22﹣12=10; (4) (20+18)÷ 100=0.38,即恰好拿到数学或英语书的概率为 0.38. 故答案为 100,14,14,10. 点评:本题考查的是条形统计图和统计表的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到 必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据. 31. (2011 安徽省芜湖市,20,8 分)如图,用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边 形和一个正六边形, 其中正五边形的边长为 (x +17) cm, 正六边形的边长为 (x +2x) (其 cm 中 x>0) .求这两段铁丝的总长.
2 2

考点:一元二次方程的应用。 专题:应用题;方程思想。 分析:直接根据围成的一个正五边形和一个正六边形的周长相等列出方程求解. 解答:解:∵用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形,

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∴5(x +17)=6(x +2x) 整理得 x +12x﹣85=0, (x+6) =121, 解得 x1=5,x2=﹣17(不合题意,舍去) . 5× (5 +17)× 2=420cm. 答:这两段铁丝的总长为 420cm. 点评:本题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条 件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.注意用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一 个正五边形和一个正六边形,实质上是正五边形和正六边形的周长相等. 32. (2011 安徽省芜湖市,24,14 分)平面直角坐标系中,? ABOC 如图放置,点 A、C 的坐 标分别为(0,3)(﹣1,0) 、 ,将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90° ,得到? A'B'OC'. (1)若抛物线过点 C,A,A',求此抛物线的解析式; (2)? ABOC 和? A'B'OC'重叠部分△ OC'D 的周长; (3)点 M 是第一象限内抛物线上的一动点,问:点 M 在何处时△ AMA'的面积最大?最大 面积是多少?并求出此时 M 的坐标.
2 2 2

2

2

考点:二次函数综合题。 专题:压轴题;函数思想。 分析: (1)根据旋转的性质求出点 A′的坐标,再用待定系数法求出抛物线的解析式; (2)先证明△ C1OD∽△BOA,由相似三角形的性质即可得出重叠部分△ OC'D 的周长; (3)根据重垂线× 水平宽度的一半=△ AMA'的面积,配方即可得到△ AMA'的最大面积和 M

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的坐标. 解答:解: (1)∵? ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90° ,得到? A'B'OC',点 A 的坐标为(0,3) , ∴点 A′的坐标为(3,0) . ∴抛物线过点 A、C、A′. 设抛物线的函数表达式为 y=ax +bx(a≠0) ,可得
2

?a ? b ? c ? 0 ? , ?c ? 3 ?9a ? 3b ? c ? 0 ? ? a ? ?1 ? 解得 ?b ? 2 . ?c ? 3 ?
故此抛物线的解析式为 y=﹣x +2x+3. (2)∵∠OAB=90° ,AB=OC=1,AO=3. ∴OB= 10 . 可证△ C1OD∽△BOA △ C1OD 的周长与△ BOA 的周长比=OC1:OB=1: 10 △ BOA 的周长=4+ 10
2

△ C1OD 的周长=

2 10 ? 5 . 5

(3)连接 A′A

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设 AA′的函数表达式为 y=kx+b,可得

?0 ? b ? 3 ? ?3k ? b ? 0
解得 ?

? k ? ?1 , ?b ? 3

AA′的函数解析式是 y=﹣x+3. 设 M(x,﹣x +2x+3) S△ AMA'= × [﹣x +2x+3﹣(﹣x+3)]=﹣ 3× ∵x=
2 2

3 2 9 3 3 2 27 x + x=﹣ (x﹣ ) + , 2 2 2 2 8

3 27 时△ AMA'的面积最大 S△ AMA'= , 2 8 3 15 ∴M( , ) . 2 4
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识点, 二次函数的最值问题,综合性强,有一定的难度. 33. (2011 北京,21,5 分)以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据, 绘制统计图的一部分.

请根据以上信息解答下列问题: (1)2008 年北京市私人轿车拥有是多少万辆(结果保留三个有效数字)? (2)补全条形统计图; (3)汽车数量增多除造成交通拥堵外,还增加了碳排放量,为了了解汽车碳排放量的情况, 小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关.如:一辆排量为 1.6L 的轿车,

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如果一年行驶 1 万千米, 这一年, 它碳排放量约为 2.7 吨. 于是他调查了他所居住小区的 150 辆私人轿车,不同排量的轿车数量如下表所示. 排量(L) 数量(辆) 小 1.6 29 1.6 75 1.8 31 大于 1.8 15

如果按照小明的统计数据,请你通过计算估计,2010 年北京市仅排量为 1.6L 的这类私人轿 车(假设每辆车平均一行行驶 1 万千米)的碳排放总量约为多少万吨? 考点:折线统计图;条形统计图。 专题:数形结合。 分析: (1) 2007 年北京市私人轿车拥有辆乘以增长率再加上 2007 年的拥有量即可解 用 答. (1)根据上题解答补全统计图即可. (3)先求出本小区内排量为 1.6L 的这类私人轿车所占的百分比,再用样本估计总体的 方法求出排放总量即可解答. 解答:解: (1)146× (1+19%)=173.74≈174(万辆) , 所以 2008 年北京市私人轿车拥有量约是 174 万辆; (2)如图. (3)276×

75 × 2.7=372.6(万吨) , 150

所以估计 2010 年北京市仅排量为 1.6L 的这类私人轿车的碳排放总量约为 372.6 万吨.

点评:本题考查了折线统计图、条形统计图的知识,难度较大,注意解答此类综合题目 时要抓住每种统计图的特点,不要弄混.

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34. (2011 北京,23,7 分)在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=mx +(m﹣3)x﹣3(m >0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C. (1)求点 A 的坐标; (2)当∠ABC=45° 时,求 m 的值; (3)已知一次函数 y=kx+b,点 P(n,0)是 x 轴上的一个动点,在(2)的条件下, 过点 P 垂直于 x 轴的直线交这个一次函数的图象于点 M,交二次函数 y=mx +(m﹣3) x﹣3(m>0)的图象于 N.若只有当﹣2<n<2 时,点 M 位于点 N 的上方,求这个一 次函数的解析式.
2

2

考点:二次函数综合题。 专题:代数综合题。 分析: (1)令 y=0 则求得两根,又由点 A 在点 B 左侧且 m>0,所以求得点 A 的坐标; (2)二次函数的图象与 y 轴交于点 C,即求得点 C,由∠ABC=45° ,从而求得; (3)由 m 值代入求得二次函数式,并能求得交点坐标,则代入一次函数式即求得. 解答:解: (1)∵点 A、B 是二次函数 y=mx +(m﹣3)x﹣3(m>0)的图象与 x 轴的 交点, ∴令 y=0,即 mx +(m﹣3)x﹣3=0 解得 x1=﹣1,x2=
2 2

3 m

又∵点 A 在点 B 左侧且 m>0, ∴点 A 的坐标为(﹣1,0) (2)由(1)可知点 B 的坐标为(

3 ,0) m

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∵二次函数的图象与 y 轴交于点 C ∴点 C 的坐标为(0,﹣3) ∵∠ABC=45° ∴

3 =3,∴m=1 m
2

(3)由(2)得,二次函数解析式为 y=x ﹣2x﹣3 依题意并结合图象可知, 一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2 和 2, 由此可得交点坐标为 (﹣2, 和 5) (2, ﹣3) 将交点坐标分别代入一次函数解析式 y=kx+b , 中, 得?

?? 2 k ? b ? 5 ? k ? ?2 解得: ? ,∴一次函数解析式为 y=﹣2x+1. ? 2k ? b ? ?3 ? b ?1

点评:本题考查了二次函数的综合运用, (1)令 y=0 则求得两根,又由 AB 位置确定 m >0,即求得; (2)二次函数的图象与 y 轴交于点 C,再由 45 度从而求得. (3)由 m 值代 入求得二次函数式,求得交点坐标,则代入一次函数式即求得.本题比较模糊,按照一般计 算,代入即求得. 35. (2011 福建莆田,20,8 分)―国际无烟日‖来临之际,小敏同学就一批公众在餐厅吸烟所 持的态度(彻底禁烟、建立吸烟室、其他)进行了调查,并把调查结果绘制成如图 1、2 的 统计图,请根据下面图中的信息回答下列问题:

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图1

图2

(1)(2 分)被调查者中,不吸烟者中赞成彻底禁烟的人数有___________; (2)(2 分)本次抽样调查的样本容量为_____________; (3)(2 分)被调查者是,希望建立吸烟室的人数有_____________人; (4)(2 分)某市现有人口约 300 万人,根据图中的信息估计造成在餐厅彻底禁烟的人数约有 ________万人. 考点:条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 专题:数形结合. 分析:(1)读图易得:不吸烟中赞成在餐厅彻底禁烟的人数是 82 人; (2)用彻底禁烟的人数除以所对应的百分比即可求出总人数; (3)用总人数乘以希望在餐厅设立吸烟室的百分比即可解答; (4)用 300 万乘以赞成彻底禁烟的百分比即可解答. 解答:解:(1)不吸烟中赞成在餐厅彻底禁烟的人数是 82; (2)(82+24)÷ 53%=200 人; (3) 200× 28%=56 人; (4)300× 53%=159 万人. ∴贵阳市现有人口中赞成在餐厅彻底禁烟的人数约有 159 万人. 故答案为 82,200,56,159. 点评:本题主要考查条形统计图与扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据. 36.(2011 福建莆田,22,10 分)如图,将一矩形 OABC 放在直角坐标系中,O 为坐标原点, 点 A 在 y 轴正半轴上,点 E 是边 AB 上的一个动点(不与点 A、B 重合) ,过点 E 的反

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比例函数 y ?

k (x>0)的图象与边 BC 交于点 F, x

(1) 分)若△ OAE、△ OCF 的面积分别为 S1、S2 且 S1+S2=2,求 k 的值; (4 (2) 分)若 OA=2,OC=4,问当点 E 运动到什么位置时,四边形 OAEF 的面积最大,其 (6 最大值为多少?

考点:反比例函数综合题. 专题:综合题. 分析: (1)设 E(x1,

k k ) ,F(x2, x1 x2

) 1>0,x2>0,根据三角形的面积公式得到 ,x

S1=S2=0.5k,利用 S1+S2=2 即可求出 k; (2) E 设(

k 1 2 k , ) , 2 F (4, ) , 利用 S 四边形 OAEF=S 矩形 OABC-S△ BEF-S△ OCF= ? ? k ? 4 ? +5, 2 4 16
四边形

根据二次函数的最值问题即可得到当 k=4 时,四边形 OAEF 的面积有最大值,S
OAEF=5,此时

AE=2.

解答:解: (1)∵点 E、F 在函数 y ? ∴设 E( ∴ S1 ?
k ,2 ) 2

k (x>0)的图象上, x

,F(4, ,S2=

k ) 1>0,x2>0, ,x 4

1 k K x1 ? 2 x1 2

1 k K , x2 ? 2 x2 2

∵S1+S2=2, ∴
K K ? =2, 2 2

∴k=2; (2)∵四边形 OABC 为矩形,OA=2,OC=4,

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设 E(

k ,2 ) 2 k 2

,F(4,

k ) 4

∴BE=4-

,BF=2-

k 4



∴S△ BEF= ∵S△ OCF=

1? k ?? k? 1 2 ?4? ??2? ? ? k ?k ? 4 , 2? 2 ?? 4 ? 16

1 k k ,S 矩形 OABC=2× 4=8, ? 4? ? 2 4 2
1 k ?1 2 ? k k ? k ? 4? ? ? ? k2 ? ? 4 , 16 2 ? 16 ? 2

∴S 四边形 OAEF=S 矩形 OABC-S△ BEF-S△ OCF= 8- ? =?
1 2 ? k ? 4 ? +5, 16

∴当 k=4 时,S 四边形 OAEF=5, ∴AE=2. 当点 E 运动到 AB 的中点时,四边形 OAEF 的面积最大,最大值是 5. 点评: 本题考查了反比例函数 的 k 几何含义和点在双曲线上, 点的横纵坐标满足反比例的 解析式.也考查了二次的顶点式及其最值问题. 37. (2011 福建莆田,24,12 分)已知抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=2,且与 x 轴交 于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中 A(1,0) ,C(0,-3) 。 (1) 分)求抛物线的解析式 (3 (2)若点 P 在抛物线上运动(点 P 异于点 A) 。 ①(4 分)如图 1,当△ PBC 面积与△ ABC 面积相等时,求点 P 的坐标; ②(5 分)如图 2,当∠PCB=∠BCA 时,求直线 CP 的解析式。

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考点:二次函数综合题. 专题:综合题. 分析:(1)根据对称轴公式,A、C 两点坐标,列方程组,求抛物线解析式; (2)①只需要 AP∥BC 即可满足题意,先求直线 BC 解析式,根据平行线的解析式一次项 系数相等,设直线 AP 的解析式,将 A 点坐标代入可求直线 AP 的解析式,将抛物线与直线 AP 解析式联立,即可求 P 点坐标,再根据平移法求满足条件的另外两个 P 点坐标; ②延长 CP 交 x 轴于点 Q, 根据抛物线解析式可知△ OBC 为等腰直角三角形, 利用角的关系 证明∠OCA=∠OQC,可证 Rt△ AOC∽Rt△ COQ,利用相似比求解.
? ?a ? b ? c ? 0 ? 解答:解:(1)由题意,得 ?c ? ?3 ?? b ? 2 ? ? 2a
?a ? ?1 ? 解得 ?b ? 4 ?c ? ?3 ?

∴抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? 4 x ? 3

y
P1

(2)①令 ? x2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? 1 、 x2 ? 3 当点 P 在 x 轴上方时,如图 1

∴ B( 3 0 ) ,

O

A

B

x
P2

C

过点 A 作直线 BC 的平行线交抛物线于点 P1 设直线 BC 的解析式为 y ? kx ? m ∵直线 BC 过点 B(3,0) , C (0,?3) ∴

P3

第 24 题 图 1

?

3k ? m ? 0 m ? ?3



?

k ?1 m ? ?3

∴直线 BC 的解析式为 y ? x ? 3 设直线 AP 的解析式为 y ? x ? n 1 ∵直线 AP 过点 A(1,0) ∴ 1 ? n ? 0 ∴ n ? ?1 1 ∴直线 AP 的解析式为 y ? x ? 1 1
? y ? x ?1 ? x ? 1 ? x2 ? 2 解方程组 ? 得? 1 ,? 2 ? y ? ? x ? 4 x ? 3 ? y1 ? 0 ? y2 ? 1

∴点 P1 的坐标为 (2, 1)

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当点 P 在 x 轴下方时,如图 1 设直线 AP 交 y 轴于点 E(0,-1) 1 把直线 BC 向下平移 2 个单位,交抛物线于点 P2 、 P3 得直线 P2 P 的解析式为 y ? x ? 5 3
? 3 ? 17 ? x1 ? ?y ? x ? 5 2 解方程组 ? 得? 2 ? y ? ? x ? 4 x ? 3 ? y ? ?7 ? 17 ? 1 2 ? 3 ? 17 ? x2 ? 2 ,? ?7 ? 17 ? y2 ? ? 2

∴ P2 ( 3 ? 17 ,?7 ? 17 ) , P3 ( 3 ? 17 ,?7 ? 17 ) 2 2 2 2 综上所述,点 P 坐标为: P (2, , P2 ( 3 ? 17 ,?7 ? 17 ) , P3 ( 3 ? 17 ,?7 ? 17 ) 1) 1 2 2 2 2 ②∵ B(3,0) , C(0,-3) ∴ OB ? OC ? 3 ∴ ?OCB ? ?OBC ? 45? 设直线 CP 的解析式为 y ? kx ? 3 如图 2,延长 CP 交 x 轴于点 Q 设 ?OCA ? ? ,则 ?ACB ? 45? ? ? ∵ ?PCB ? ?BCA ∴ ?PCB ? 45? ? ?
O

y
Q

A

B P

x

C
第 24 题 图 2

∴ ?OQC ? ?OBC ? ?PCB
? 45? ? (45? ? ? ) ? ?

∴ ?OCA ? ?OQC 又∵ ?AOC ? ?COQ ? 90? ∴ Rt?AOC ∽ Rt?COQ ∴ OA ? OC ∴ 1 ? 3 ∴ OQ ? 9 ∴ Q(9,0) OC OQ 3 OQ ∵直线 CP 过点 Q(9,0) ∴ 9k ? 3 ? 0 ∴ k ? 1 3 ∴直线 CP 的解析式为 y ? 1 x ? 3 3 38. (2011 福建莆田,25,14 分)已知菱形 ABCD 的边长为 1,∠ADC=60? ,等边△ AEF 两边分别交 DC、CB 于点 E、F。 (1) 分)特殊发现:如图 1,若点 E、F 分别是 DC、CB 的中点,求证菱形 ABCD 对角 (4 母 AC、BD 的交点 O 即为等边△ AEF 的外心;

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(2)若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上移动,记等边△ AEF 的外心为点 P。 ①(4 分)猜想验证:如图 2,猜想△ AEF 的外心 P 落在哪一直线上,并加以证明; ②(5 分)拓展运用:如图 3,猜想△ AEF 面积最小时,过点 P 任作一直线分别交边 DA 于点 M, 交边 DC 的延长线于点 N, 试判断 若不是,请说明理由。

1 1 是否为定值, 若是, 请求出该定值; ? DM DN

考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;菱形的性 质;三角形的外接圆与外心. 分析: (1)首先分别连接 OE、0F,由四边形 ABCD 是菱形,即可得 AC⊥BD,BD 平分 ∠ADC.AO=DC=BC,又由 E、F 分别为 DC、CB 中点,即可证得 0E=OF=OA,则可得点 O 即为△ AEF 的外心; (2)①首先分别连接 PE、PA,过点 P 分别作 PI⊥CD 于 I,PJ⊥AD 于 J,即可求得∠IPJ 的度数, 又由点 P 是等边△ AEF 的外心, 易证得△ PIE≌△PJA, 可得 PI=PJ, 即点 P 在∠ADC 的平分线上,即点 P 落在直线 DB 上. ②当 AE⊥DC 时.△ AEF 面积最小,此时点 E、F 分别为 DC、CB 中点.连接 BD、AC 交 于点 P,由(1)可得点 P 即为△ AEF 的外心.由△ GBP∽△MDP,即可 为定值 2. 解答: (1)证明:如图 1,分别连接 OE、0F,
C E O D 1 A 第 25 题 图 F B

∵四边形 ABCD 是菱形,

∴AC⊥BD,BD 平分∠ADC.AO=DC=BC,

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∴∠COD=∠COB=∠AOD=90° . ∠ADO= ∠ADC= × =30° 60° , 又∵E、F 分别为 DC、CB 中点, ∴OE= CD,OF= BC,AO= AD, ∴0E=OF=OA, ∴点 O 即为△ AEF 的外心.

(2)①猜想:外心 P 一定落在直线 DB 上.
C I E D J A F P B

第 25 题 图 2

证明: 如图 于 J, ∴∠PIE=∠PJD=90° , ∵∠ADC=60° ,

2, 分别连接 PE、 过点 P 分别作 PI⊥CD 于 I, PA, PJ⊥AD

∴∠IPJ=360° -∠PIE-∠PJD-∠JDI=120° ,
∵点 P 是等边△ AEF 的外心, ∴∠EPA=120° ,PE=PA, ∴∠IPJ=∠EPA, ∴∠IPE=∠JPA, ∴△PIE≌△PJA, ∴PI=PJ,

∴点 P 在∠ADC 的平分线上,即点 P 落在直线 DB 上.
② 为定值 2. 当 AE⊥DC 时.△ AEF 面积最小, 此时点 E、F 分别为 DC、CB 中点. 连接 BD、AC 交于点 P,由(1)

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可得点 P 即为△ AEF 的外心. 如图 3.设 MN 交 BC 于点 G, 设 DM=x,DN=y(x≠0.y≠O) ,则 CN=y-1, ∵BC∥DA, ∴△GBP∽△MDP. ∴BG=DM=x.
N C E D P M A 第 25 题 图 3 F B

∴CG=1-x ∵BC∥DA, ∴△GBP∽△NDM, ∴ , ∴ , ∴x+y=2xy, ∴ + =2, 即 =2 点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,三角形的外心的判定与性质,以及菱形的性质 等知识.此题综合性很强,图形也比较复杂,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应 39.2011 福建福州,19,12 分)如图,在平面直角坐标系中,A.B 均在边长为 1 的正方形 网格格点上. (1)求线段 AB 所在直线的函数解析式,并写出当 0≤y≤2 时,自变量 x 的取值范围; (2) 将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90° 得到线段 BC, , 请在答题卡指定位置画出线段 BC. 若 直线 BC 的函数解析式为 y=kx+b,则 y 随 x 的增大而 (填―增大‖或―减小‖) .

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考点:待定系数法求一次函数解析式;一次函数图象与几何变换. 分析: (1)根据一次函数图象知 A(1,0) ,B(0,2) ,然后将其代入一次函数的解析式, 利用待定系数法求该函数的解析式; (2)根据旋转的性质,在答题卡中画出线段 BC,然后根据直线 BC 的单调性填空. 解答: (1)设直线 AB 的函数 解析式为 y=kx+b, 依题意, A 得 (1,0) (0,2) ? ,B ∴

?0=k+b ? 2=0+b

解得 ?

?k=-2 ,∴直线 AB 的函数解析式为 y=﹣2x+2,当 0≤y≤2 时,自变量 x 的取值范围是 ?b=2

0≤x≤1. (2)线段 BC 即为所求.增大

点评:本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式.一次函数图象与几何变换.解答此 题时,采用了―数形结合‖的数学思想,使问题变得形象.直观,降低了题的难度. 40. (2011 福建福州,22,14 分)已知,如图,二次函数 y=ax +2ax﹣3a(a≠0)图象的顶 点为 H,与 x 轴交于 A.B 两点(B 在 A 点右侧) ,点 H.B 关于直线 l: y= (1)求 A.B 两点坐标,并证明点 A 在直线 l 上; (2)求二次函数解析式; (3) 过点 B 作直线 BK∥AH 交直线 l 于 K 点, N 分别为直线 AH 和直线 l 上的两个动点, M. 连接 HN、NM、MK,求 HN+NM+MK 和的最小值.
2

3 x+ 3 对称. 3

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考点:二次函数综合题;解二元一次方程组;待定系数法求二次函数解析式;抛物线与 x 轴的交点;图象法求一元二次方程的近似根;勾股定理. 分析: (1)求出方程 ax +2ax﹣3a=0(a≠0) ,即可得到 A 点坐标和 B 点坐标;把 A 的坐标代 入直线 l 即可判断 A 是否在直线上; (2)根据点 H.B 关于过 A 点的直线 l: y=
2

3 x+ 3 对称,得出 AH=AB=4,过顶点 H 作 3

HC⊥AB 交 AB 于 C 点,求出 AC 和 HC 的长,得出顶点 H 的坐标,代入二次函数解析式, 求出 a,即可得到二次函数解析式;

? 3 x+ 3 ? y= (3)解方程组 ? ,即可求出 K 的坐标,根据点 H.B 关于直线 AK 对称,得 3 ? y= 3 x- 3 ?
出 HN+MN 的最小值是 MB,过点 K 作直线 AH 的对称点 Q,连接 QK,交直线 AH 于 E,得 到 BM+MK 的最小值是 BQ,即 BQ 的长是 HN+NM+MK 的最小值,由勾股定理得 QB=8, 即可得出答案. 解答:解: (1)依题意,得 ax +2ax﹣3a=0(a≠0) , 解得 x1=﹣3,x2=1, ∵B 点在 A 点右侧, ∴A 点坐标为(﹣3,0) 点坐标为(1,0) ,B , 答:A.B 两点坐标分别是(﹣3,0)(1,0) , .
2

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证明:∵直线 l: y= ∴点 A 在直线 l 上.

3 3 x+ 3 ,当 x=﹣3 时, y= ? -3) 3=0 , ( + 3 3

(2)解:∵点 H.B 关于过 A 点的直线 l: y= ∴AH=AB=4, 过顶点 H 作 HC⊥AB 交 AB 于 C 点, 则 AC=

3 x+ 3 对称, 3

1 AB=2,HC= 2 3 , 2

∴顶点 H -1, 2 3 ,代入二次函数解析式,解得 a=-

?

?

3 . 2

∴二次函数解析式为 y=-

3 2 3 3 x - 3x+ , 2 2 3 2 3 3 x - 3x+ . 2 2

答:二次函数解析式为 y=-

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(3)解:直线 AH 的解析式为 y= 3x+3 3 , 直线 BK 的解析式为 y= 3 x- 3 , 由?

? y= 3x+3 3 ? ? y= 3x- 3 ?

,解得 ?

? x=3 ? ,即 K 3, 2 3 ,则 BK=4. ? y= 2 3 ?

?

?

∵点 H.B 关于直线 AK 对称, ∴HN+MN 的最小值是 MB,KD=KE= 2 3 , 过点 K 作直线 AH 的对称点 Q,连接 QK,交直线 AH 于 E, 则 QM=MK,QE=EK= 2 3 ,AE⊥QK, ∴BM+MK 的最小值是 BQ,即 BQ 的长是 HN+NM+MK 的最小值, ∵BK∥AH, ∴∠BKQ=∠HEQ=90° , 由勾股定理得 QB=8, ∴HN+NM+MK 的最小值为 8, 答 HN+NM+MK 和的最小值是 8. 点评:本题主要考查对勾股定理,解二元一次方程组,二次函数与一元二次方程,二次函数 与 X 轴的交点,用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握,综合运用这些 性质进行计算是解此题的关键,此题是一个综合性比较强的题目,有一定的难度. 41. (2011 福建龙岩,23,12 分)周六上午 8:O0 小明从家出发,乘车 1 小时到郊外某基 地参加社会实践活动,在基地活动 2.2 小时后,因家里有急事,他立即按原路以 4 千米/时的

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平均速度步行返回.同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他,在离家 28 千米处与小明相 遇.接到小明后保持车速不变,立即按原路返回.设小明离开家的时间为 x 小时,小明离家 的路程 y(干米)与 x(小时)之间的函致图象如图所示. (1)小明去基地乘车的平均速度是 /小时; (2)求线段 CD 所表示的函敛关系式; (3)问小明能否在 12:0 0 前回到家?若能,请说明理由:若不能,请算出 12:00 时他离 家的路程. 千米/小时,爸爸开车的平均速度应是 千米

考点:一次函数的应用. 分析: (1)仔细观察图象,结合题意即可得出答案; (2)先设一次函数的解析式,然后将两点坐标代入解析式即可得出线段 CD 所表示的函敛 关系式; (3) 根据图象和解析式可知小明从出发到回家一共需要 4.2 小时, 12: 前不能回到家. 故 00 解答:解: (1)仔细观察图象可知:小明去基地乘车 1 小时后离基地的距离为 30 千米, 因此小明去基地乘车的平均速度是 30 千米/小时, 在返回时小明以 4 千米/时的平均速度步行,行驶 2 千米后遇到爸爸, 故他爸爸在 0.5 小时内行驶了 28 千米, 故爸爸开车的平均速度应是 56 千米/小时; 故答案为 30,56; (2)线段 CD 所表示的函敛关系式为 y=kx+b(3.7≤x≤4.2) ; 通过观察可以发现线段 CD 经过点(3.7,28)(4.2,0) , ;

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将两点代入函数解析式即可得线段 CD 的表达式:y=235.2﹣56x(3.7≤x≤4.2) ; (3)不能. 小明从家出发到回家一共需要时间:1+2.2+2÷ 2=4.2(小时) 4× , 从 8:00 经过 4.2 小时已经过了 12:00, ∴不能再 12:00 前回家,此时离家的距离:56× 0.2=11.2(千米) . 点评:本题主要考查了一次函数的实际应用,解答一次函数的应用问题中,要注意自变 量的取值范围还必须使实际问题有意义,属于中档题. 42. (2011 福建龙岩,25,14 分)如图,在直角梯形 ABCD 中,∠D=∠BCD=90° ,∠B=60° , AB=6,AD=9,点 E 是 CD 上的一个动点(E 不与 D 重合) ,过点 E 作 EF∥AC,交 AD 于点 F(当 E 运动到 C 时,EF 与 AC 重合) .把△ DEF 沿 EF 对折,点 D 的对应点是点 G,设 DE=x,△ GEF 与梯形 ABCD 重叠部分的面积为 y. (1)求 CD 的长及∠1 的度数; (2)若点 G 恰好在 BC 上,求此时 x 的值; (3)求 y 与 x 之间的函数关系式.并求 x 为何值时,y 的值最大?最大值是多少?

考点:直角梯形;二次函数的最值;全等三角形的判定与性质;翻折变换(折叠问题). 分析: (1)将 AB 平移,使点 A 与点 D 重合,利用勾股定理,则可得出 CD 的长度,根 据 CD 与 AD 的长度关系可得出∠DAC 的度数,也就得出了∠1 的度数. (2)根据点 G 落在 BC 上时,有 GE=DE=x,EC= 3 3 -x,求出∠GEF=∠GEC=60° ,然后 根据 GE=2CE 列出方程即可得出 x 的值. (3)根据△ EFG≌△EFD 列出 y 的表达式,从而讨论 x 的范围,分别得出可能的值即可. 解答:解: (1)CD= 3 3 ,∠1=30° ; (2)若点 G 恰好在 BC 上,

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则有 GE=DE=x,EC= 3 3 -x, ∵∠1=30° ,∴∠FED=60° ,∴∠GEF=60° ,∴∠GEC=60° ,∴GE=2CE, ∴ x ? 2(3 3 ? x) ,∴ x ? 2 3 ; (3)∵△EFG≌△EFD,
y ? S?EFD ? 1 3 2 ? DE ? DF ? x , 2 2

①当 0≤x≤ 2 3 时, 随着 x 的增大, 面积增大, 此时△ 的面积就是重叠的面积, x ? 2 3 时, 当 达到最大值,为 6 3 . ②当 x ? 2 3 ,△ EFG 就有一部分在梯形外,如图 3,

x ∵GE=DE=x,EC= 3 3 ? x ,易求 ME= 2(3 3 ? x) , ∴GM=GE-ME=x- 2(3 3 ? x) =3x- 6 3 ,
3x ? 6 3 3

∴NG= 此时

= 3x ? 6 , S?MNG ?

3 1 1 ( 3x ? 6)2 , NG ? MG ? ( 3x ? 6)(3x ? 6 3) = 2 2 2

3 2 3 1 1 x ? ( 3x ? 6)2 = ? 3( x 2 ? 6 3x ? 18) = y ? S?EFD ? S?MNG ? ? DE ? DF ? NG ? MG = 2 2 2 2
? 3( x ? 3 3)2 ? 9 3 ,

当 x ? 3 3 时, ymax ? 9 3 .综上所述.当 x ? 3 3 时, ymax ? 9 3 .

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点评: 本题考查直角梯形与三角形的综合, 难度较大, 解答本题的关键是掌握基础知识, 然后将所求的题目具体化,从而利用所学的知识建立模型,然后有序解答. 43. (2010 福建泉州,25,12 分)如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标为(0,8) ,点 B (b,t)在直线 x=b 上运动,点 D、E、F 分别为 OB、OA、AB 的中点,其中 b 是大于零的 常数. (1)判断四边形 DEFB 的形状.并证明你的结论; (2)试求四边形 DEFB 的面积 S 与 b 的关系式; (3)设直线 x=b 与 x 轴交于点 C,问:四边形 DEFB 能不能是矩形?若能.求出 t 的值; 若不能,说明理由.

考点相似三角形的判定与性质; 一次函数综合题; 勾股定理; 平行四边形的判定与性质; 矩形的判定与性质;直线与圆的位置关系。 分析(1)四边形 DEFB 是平行四边形.利用 DE、EF 为△ OAB 的中位线证明平行四边

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形; (2) 根据 DE、 为△ OAB 的中位线可知, △ AEF=S△ ODE= EF S ﹣S△ ODE 求 S 与 b 的关系式; (3)当∠ABO=90° 时,四边形 DEFB 是矩形,由 Rt△ OCB∽Rt△ ABO,根据相似比得 OB =OA?BC,由勾股定理得 OB =BC +OC ,利用 b、t 分别表示线段的长,列方程求解. 解答解: (1)四边形 DEFB 是平行四边形. 证明:∵D、E 分别是 OB、OA 的中点, ∴DE∥AB,同理,EF∥OB, ∴四边形 DEFB 是平行四边形; (2)解法一:∵S△ AOB=
2 2 2 2

1 S△ AOB, 利用 S=S△ AOB﹣S△ AEF 4

1 × b=4b, 8× 2

由(1)得 EF∥OB,∴△AEF∽△AOB, ∴ =(

1 2 1 ) ,即 S△ AEF= S△ AOB=b,同理 S△ ODE=b, 2 4

∴S=S△ AOB﹣S△ AEF﹣S△ ODE=4b﹣b﹣b=2b,即 S=2b(b>0) ; 解法二:如图,连接 BE,S△ AOB=

1 × b=4b, 8× 2

∵E、F 分别为 OA、AB 的中点,

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∴S△ AEF=

1 1 S△ AEB= S△ AOB=b, 2 4

同理 S△ EOD=b, ∴S=S△ AOB﹣S△ AEF﹣S△ ODE=4b﹣b﹣b=2b, 即 S=2b(b>0) ; (3)解法一:以 E 为圆心,OA 长为直径的圆记为⊙E, ①当直线 x=b 与⊙E 相切或相交时,若点 B 是切点或交点,则∠ABO=90° ,由(1)知,四 边形 DEFB 是矩形, 此时 0<b≤4,可得△ AOB∽△OBC, ∴

OB OA 2 = ,即 OB =OA?BC=8t, BC BO
2 2 2 2 2 2 2 2

在 Rt△ OBC 中,OB =BC +OC =t +b , ∴t +b =8t, ∴t ﹣8t+b =0, 解得 t=4± 16 ? t ,
2

2

②当直线 x=b 与⊙E 相离时,∠ABO≠90°, ∴四边形 DEFB 不是矩形, 综上所述:当 0<b≤4 时,四边形 DEFB 是矩形,这时,t=4± 16 ? b ,当 b>4 时,四边
2

形 DEFB 不是矩形; 解法二:由(1)知,当∠ABO=90° 时,四边形 DEFB 是矩形, 此时,Rt△ OCB∽Rt△ ABO, ∴ ,即 OB =OA?BC,
2 2 2 2 2

=
2

又 OB =BC +OC =t +b ,OA=8,BC=t(t>0) , ∴t +b =8t, ∴(t﹣4) =16﹣b , ①当 16﹣b ≥0 时,解得 t=4± 16 ? b ,此时四边形 DEFB 是矩形,
2 2
2

2

2

2

2

②当 16﹣b <0 时,t 无实数解,此时四边形 DEFB 不是矩形,

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综上所述:当 16﹣b ≥0 时,四边形 DEFB 是矩形,此时 t=4± 16 ? b ,当 16﹣b <0 时,
2
2

2

四边形 DEFB 不是矩形; 解法三:如图,过点 A 作 AM⊥BC,垂足为 M,

在 Rt△ AMB 中,AB =AM +BM =b +(8﹣t) , 在 Rt△ OCB 中,OB =OC +BC =b +t , 在 Rt△ OAB 中,当 AB +OB =OA 时,∠ABO=90° ,则四边形 DEFB 为矩形, ∴b +(8﹣t) +b +t =8 , 化简得 t ﹣8t=﹣b ,配方得(t﹣4) =16﹣b ,其余同解法二. 点评本题考查了平行四边形、矩形、相似三角形的判定与性质,一次函数及勾股定理的 运用.本题综合性较强,需要熟练掌握特殊图形的性质,形数结合,运用代数方法解答 几何问题. 44. (2011 甘肃兰州, 7 分) 24, 如图, 一次函数 y ? kx ? 3 的图象与反比例函数 y ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

m (x>0) x

的图象交于点 P,PA⊥x 轴于点 A,PB⊥y 轴于点 B,一次函数的图象分别交 x 轴、y 轴于点 C、点 D,且 S△ DBP=27, (1)求点 D 的坐标; (2)求一次函数与反比例函数的表达式;

OC 1 ? . CA 2

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(3)根据图象写出当 x 取何值时,一次函数的值小于反比例函数的值? y D C A O B P x

考点:反比例函数与一次函数的交点问题. 分析: (1)本题需先根据题意一次函数与 y 轴的交点,从而得出 D 点的坐标. (2)本题需先根据在 Rt△ COD 和 Rt△ CAP 中, 而得出 BP 得长和 P 点的坐标,即可求出结果. (3)根据图形从而得出 x 的取值范围即可. 解答:解: (1)∵一次函数 y=kx+3 与 y 轴相交 ∴根据题意,得:D(0,3) (2)在 Rt△ COD 和 Rt△ CAP 中, ∴AP=6,OB=6∴DB=9Rt△ DBP 中,∴ ,OD=3
DB ? BP ? 27 ,∴BP=6,P(6,﹣6) 2

,OD=3,再根据 S△ DBP=27,从

3 36 一次函数的解析式为: y ? ? x ? 3 反比例函数解析式为: y ? ? . 2 x

(3)根据图象可得:当 x>6 时,一次函数的值小于反比例函数的值. 点评: 本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题, 在解题时要注意知识的综合 运用与图形相结合是解题的关键. 45. 2011 天水,23)某校开展的一次动漫设计大赛,杨帆同学运用了数学知识进行了富有创 意的图案设计,如图(1) ,他在边长为 1 的正方形 ABCD 内作等边△ BCE,并与正方形的对 角线交于点 F、G,制作如图(2)的图标,请我计算一下图案中阴影图形的面积.

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考点:正方形的性质;等边三角形的性质;解直角三角形。 分析: 首先过点 G 作 GN⊥CD 于 N, 过点 F 作 FM⊥AB 于 M, 由在边长为 1 的正方形 ABCD 内作等边△ BCE,即可求得△ BEC 与正方形 ABCD 的面积,由直角三角形的性质,即可求 得 GN 的长,即可求得△ CDG 的面积,同理即可求得△ ABF 的面积,又由 S 阴影=S 正方形 ABCD ﹣S△ ABF﹣S△ BCE﹣S△ CDG,即可求得阴影图形的面积. 解答:解:过点 G 作 GN⊥CD 于 N,过点 F 作 FM⊥AB 于 M, ∵在边长为 1 的正方形 ABCD 内作等边△ BCE, ∴AB=BC=CD=AD=BE=EC=1,∠ECB=60° ,∠ODC=45° , ∴S△ BEC=

3 3 1 2 × 1× = ,S 正方形=AB =1, 2 4 2

设 GN=x, ∵∠NDG=∠NGD=45° ,∠NCG=30° , ∴DN=NG=x,CN= 3 NG= 3 x, ∴x+ 3 x=1,

解得:x=

3 ?1 , 2 3 ?1 3 ?1 1 1 CD?GN= × 1× = , 2 4 2 2 3 ?1 , 4 3 ?1 3 3 ?1 6 ? 3 3 ﹣ ﹣ = . 2 4 4 4

∴S△ CGD=

同理:S△ ABF=

∴S 阴影=S 正方形 ABCD﹣S△ ABF﹣S△ BCE﹣S△ CDG=1﹣

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点评:此题考查了正方形,等边三角形,以及直角三角形的性质等知识.此题综合性较强, 难度适中,解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用. 46.(2011 天水,26)在梯形 OABC 中,CB∥OA,∠AOC=60° ,∠OAB=90° ,OC=2,BC=4, 以点 O 为原点, 所在的直线为 x 轴, OA 建立平面直角坐标系, 另有一边长为 2 的等边△ DEF, DE 在 x 轴上(如图(1),如果让△ DEF 以每秒 1 个单位的速度向左作匀速直线运动,开 ) 始时点 D 与点 A 重合,当点 D 到达坐标原点时运动停止. (1)设△ DEF 运动时间为 t,△ DEF 与梯形 OABC 重叠部分的面积为 S,求 S 关于 t 的函 数关系式. (2)探究:在△ DEF 运动过程中,如果射线 DF 交经过 O、C、B 三点的抛物线于点 G,是 否存在这样的时刻 t,使得△ OAG 的面积与梯形 OABC 的面积相等?若存在,求出 t 的值; 若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题。 分析: (1)根据 F 与 B 重合前后及 E 与 A 重合前后,分三种情况求 S 关于 t 的函数关系式; (2)依题意得 D(4﹣t,0) ,求出直线 OC 解析式,根据 DF∥OC 确定直线 DF 解析式, 再由△ OAG 的面积与梯形 OABC 的面积相等,求出 G 点纵坐标,根据 G 点在抛物线上求 G 点横坐标,代入直线 DF 解析式求 t,判断是否符号 t 的取值范围即可. 解答:解: (1)依题意得 OA=5,

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当 0≤t<1 时,s=

3 2 t, 2 3 3 2 2 (2﹣t) =﹣ t +2 3 t﹣ 3 , 2 2

当 1≤t<2 时,s= 3 ﹣

当 2≤t≤5 时,s= 3 ; (2)不存在. 依题意,得 C(1, 3 ) ,B(5, 3 ) ,抛物线对称轴为 x=3, 抛物线与 x 轴两交点坐标为 O(0,0)(6,0) , , 设抛物线解析式为 y=ax(x﹣6) , 将 C 点坐标代入,得 a= –

3 3 3 2 6 3 ,∴y=﹣ x(x﹣6)=﹣ x+ x, 5 5 5 5

由 C 点坐标可知,直线 OC 解析式为 y= 3 x, ∵DF∥OC, ∴设直线 DF 解析式为 y= 3 x+k, 将 D(4﹣t,0)代入得 k= 3 (t﹣4) , ∴直线 DF:y= 3 x+ 3 (t﹣4) , 设△ OAG 的 OA 边上高为 h,由 S△ OAG=S 梯形 OABC,得

1 1 × h= × 5× (4+5)× 3 , 2 2
解得 h=

9 3 , 5

将 y=

9 3 3 代入 y=﹣ x(x﹣6)中,得 x=3± 2 , 3 5 5 9 3 9 3 )或(3+3 2 , ) , 5 5

∴F(3﹣3 2 ,

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分别代入直线 DF:y= 3 x+ 3 (t﹣4)中,得 t= 但 0≤t≤5, ∴不存在.

14 14 +3 2 或 ﹣3 2 , 5 5

点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据直角梯形的特点求顶点坐标,确定抛物 线解析式,根据面积关系,列方程求解. 47. (2011 天水,26)在梯形 OABC 中,CB∥OA,∠AOC=60° ,∠OAB=90° ,OC=2,BC=4, 以点 O 为原点, 所在的直线为 x 轴, OA 建立平面直角坐标系, 另有一边长为 2 的等边△ DEF, DE 在 x 轴上(如图(1),如果让△ DEF 以每秒 1 个单位的速度向左作匀速直线运动,开 ) 始时点 D 与点 A 重合,当点 D 到达坐标原点时运动停止. (1)设△ DEF 运动时间为 t,△ DEF 与梯形 OABC 重叠部分的面积为 S,求 S 关于 t 的函 数关系式. (2)探究:在△ DEF 运动过程中,如果射线 DF 交经过 O、C、B 三点的抛物线于点 G,是 否存在这样的时刻 t,使得△ OAG 的面积与梯形 OABC 的面积相等?若存在,求出 t 的值; 若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题。 分析: (1)根据 F 与 B 重合前后及 E 与 A 重合前后,分三种情况求 S 关于 t 的函数关系式; (2)依题意得 D(4﹣t,0) ,求出直线 OC 解析式,根据 DF∥OC 确定直线 DF 解析式, 再由△ OAG 的面积与梯形 OABC 的面积相等,求出 G 点纵坐标,根据 G 点在抛物线上求 G 点横坐标,代入直线 DF 解析式求 t,判断是否符号 t 的取值范围即可. 解答:解: (1)依题意得 OA=5,

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当 0≤t<1 时,s=

3 2 t, 2 3 3 2 2 (2﹣t) =﹣ t +2 3 t﹣ 3 , 2 2

当 1≤t<2 时,s= 3 ﹣

当 2≤t≤5 时,s= 3 ; (2)不存在. 依题意,得 C(1, 3 ) ,B(5, 3 ) ,抛物线对称轴为 x=3, 抛物线与 x 轴两交点坐标为 O(0,0)(6,0) , , 设抛物线解析式为 y=ax(x﹣6) , 将 C 点坐标代入,得 a= –

3 3 3 2 6 3 ,∴y=﹣ x(x﹣6)=﹣ x+ x, 5 5 5 5

由 C 点坐标可知,直线 OC 解析式为 y= 3 x, ∵DF∥OC, ∴设直线 DF 解析式为 y= 3 x+k, 将 D(4﹣t,0)代入得 k= 3 (t﹣4) , ∴直线 DF:y= 3 x+ 3 (t﹣4) , 设△ OAG 的 OA 边上高为 h,由 S△ OAG=S 梯形 OABC,得

1 1 × h= × 5× (4+5)× 3 , 2 2
解得 h=

9 3 , 5

将 y=

9 3 3 代入 y=﹣ x(x﹣6)中,得 x=3± 2 , 3 5 5 9 3 9 3 )或(3+3 2 , ) , 5 5

∴F(3﹣3 2 ,

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分别代入直线 DF:y= 3 x+ 3 (t﹣4)中,得 t= 但 0≤t≤5, ∴不存在.

14 14 +3 2 或 ﹣3 2 , 5 5

点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据直角梯形的特点求顶点坐标,确定抛物 线解析式,根据面积关系,列方程求解. 48.(2011?包头,25,12 分)如图,已知∠ABC=90° ,AB=BC.直线 l 与以 BC 为直径的圆 O 相切于点 C.点 F 是圆 O 上异于 B、C 的动点,直线 BF 与 l 相交于点 E,过点 F 作 AF 的垂线交直线 BC 与点 D. (1)如果 BE=15,CE=9,求 EF 的长; (2)证明:①△CDF∽△BAF;②CD=CE; (3)探求动点 F 在什么位置时,相应的点 D 位于线段 BC 的延长线上,且使 BC= 3 CD, 请说明你的理由. A l F E

B

D· O

C

考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;切线的性质;解直角三角形。 分析:1) ( 由直线 l 与以 BC 为直径的圆 O 相切于点 C, 即可得∠BCE=90° ∠BFC=∠CFE=90° , , 则可证得△ CEF∽△BEC,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得 EF 的长; ( 2 ) ① 由 ∠FCD+∠FBC=90° ∠ABF+∠FBC=90° 根 据 同 角 的 余 角 相 等 , 即 可 得 , , ∠ABF=∠FCD,同理可得∠AFB=∠CFD,则可证得△ CDF∽△BAF; ② 由 △ CDF∽△BAF 与 △ CEF∽△BCF , 根 据 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 , 易 证 得

CD CE ,又由 AB=BC,即可证得 CD=CE; ? BA BC

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(3)由 CE=CD,可得 BC= 3 CD= 3 CE,然后在 Rt△ BCE 中,求得 tan∠CBE 的值,即 ⌒ 2 ⌒ 可求得∠CBE 的度数,则可得 F 在⊙O 的下半圆上,且BF= BC.

3

解答:解: (1)∵直线 l 与以 BC 为直径的圆 O 相切于点 C. ∴∠BCE=90° , 又∵BC 为直径, ∴∠BFC=∠CFE=90° , ∵∠FEC=∠CEB, ∴△CEF∽△BEC, ∴

CE EF , ? BE EC

∵BE=15,CE=9,

9 EF , ? 15 9 27 解得:EF= ; 5
即:

(2)证明:①∵∠FCD+∠FBC=90° ,∠ABF+∠FBC=90° , ∴∠ABF=∠FCD, 同理:∠AFB=∠CFD, ∴△CDF∽△BAF; ②∵△CDF∽△BAF, ∴

CF CD , ? BF BA CE , BC CE , BC

又∵△CEF∽△BCF,

CF ? BF CD ∴ ? BA


又∵AB=BC, ∴CE=CD;

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(3)∵CE=CD, ∴BC= 3 CD= 3 CE, 在 Rt△ BCE 中,tan∠CBE= ∴∠CBE=30° , ⌒ 故CF为 60° , ⌒ 2⌒ ∴F 在⊙O 的下半圆上,且BF= BC.

CE 1 , ? BC 3

3

点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,圆的切线的性质,圆周角的性质以及三角函数 的性质等知识.此题综合性很强,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用. 49.(2011?包头,20,3 分)如图,把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中,使 OA,OC 分别落在 x 轴、 轴上, y 连接 AC, 将矩形纸片 OABC 沿 AC 折叠, 使点 B 落在点 D 的位置, 若 B(1,2) ,则点 D 的横坐标是﹣ y C D B

3 . 5

O

A

x

考点:翻折变换(折叠问题) ;坐标与图形性质。 分析:首先过点 D 作 DF⊥OA 于 F,由四边形 OABC 是矩形与折叠的性质,易证得△ AEC 是等腰三角形,然后在 Rt△ AEO 中,利用勾股定理求得 AE,OE 的长,然后由平行线分线 段成比例定理求得 AF 的长,即可得点 D 的横坐标. 解答:解:过点 D 作 DF⊥OA 于 F, ∵四边形 OABC 是矩形, ∴OC∥AB,

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∴∠ECA=∠CAB, 根据题意得:∠CAB=∠CAD,∠CDA=∠B=90° , ∴∠ECA=∠EAC, ∴EC=EA, ∵B(1,2) , ∴AD=AB=2, 设 OE=x,则 AE=EC=OC﹣OE=2﹣x, 在 Rt△ AOE 中,AE =OE +OA , 即(2﹣x) =x +1, 解得:x= ∴OE=
2 2 2 2 2

3 , 4

3 5 ,AE= , 4 4

∵DF⊥OA,OE⊥OA, ∴OE∥DF,

5 OA OE AE 4 5 ∴ = = = , ? AF FD AD 2 8 8 6 ∴AF= ,DF= , 5 5 3 ∴OF=AF﹣OA= , 5 3 ∴点 D 的横坐标为:﹣ . 5 3 故答案为:﹣ . 5

点评:此题考查了折叠的性质,矩形的性质,等腰三角形的判定与性质以及平行线分线段成 比例定理等知识.此题综合性较强,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.

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50.如图,某建筑物 BC 上有一旗杆 AB,小明在与 BC 相距 12m 的 F 处,由 E 点观测到旗杆 顶部 A 的仰角为 52° 、底部 B 的仰角为 45° ,小明的观测点与地面的距离 EF 为 1.6m.

(1)求建筑物 BC 的高度; (2)求旗杆 AB 的高度. (结果精确到 0.1m.参考数据: ≈1.41,sin52°≈0.79,tan52°≈1.28)

考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 专题:几何综合题. 分析:(1)先过点 E 作 ED⊥BC 于 D,由已知底部 B 的仰角为 45° BD=ED=FC=12, 得
DC=EF=1.6,从而求出 BC.(2)由已知由 E 点观测到旗杆顶部 A 的仰角为 52° 可求出 AD,则 AB=AD-BD.

解答:解:(1)过点 E 作 ED⊥BC 于 D,
已知底部 B 的仰角为 45° 即∠BED=45° , ∴∠EBD=45° , ∴BD=ED=FC=12, ∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=13.6, 答:建筑物 BC 的高度为 13.6m. (2)已知由 E 点观测到旗杆顶部 A 的仰角为 52° ,即∠AED=52° , ∴AD=ED?tan52° ≈12×1.28≈15.4, ∴AB=AD-BD=15.4-12=3.4. 答:旗杆 AB 的高度约为 3.4m.

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