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高中数学教案——数列、等差数列复习

课题:数列、等差数列复习 教学目标 ( 一) ( 二) ( 三) 知识与技能目标 知识的网络结构; 重点内容和重要方法的归纳. 过程与能力目标 熟练掌握数列、等差数列及等差数列前 n 项和等知识的网络结构及相互关系. 理解本小节的数学思想和数学方法. 情感与态度目标 培养学生归纳、整理所学知识的能力,从而激发学生的学习兴趣、求知欲望,并培养良好的学 习品质. 1. 2. 1. 2. 教学重点 1. 2. 本章知识的网络结构,及知识间的相互关系; 掌握两种基本题型. 知识间的相互关系及应用. 教学难点 教学过程 一、知识框架图 基本概念 定义 分类 通项公式 递推公式 图象法 数列 一般数列 特殊函数——等差数列 定义 通项公式 等差中项 前项和公式 性质 二、 基本题型 1.题型一:求数列通项公式的问题. 例 1. 已知数列{an}的首项 a1=1,其递推公式为 an ?1 ? 通项公式. 解法一: a1=1, a2 ? 2an (n ? N *且n ? 2) .求其前五项,并归纳出 an ? 2 2 2a1 2 2a2 1 2a3 2 2a4 1 ? , a3 ? ? , a4 ? ? , a5 ? ? , 归纳得 a n ? n ?1 a1 ? 2 3 a2 ? 2 2 a3 ? 2 5 a4 ? 2 3 又 a1 ? 0,? an ? 0 解法二: ? an ?1 ? 2an an ? 2 ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? an ?1 2 an an ?1 an 2 故{ 1 1 1 1 1 n ?1 } 是以 1 为首项, 为等差的等差数列? ? ? (n ? 1) ? 2 an an a1 2 2 ? an ? 2 2 1 2 1 .令 n=1,2,3,4,5 得 a1=1, a2 ? , a3 ? , a4 ? , a5 ? , n ?1 3 2 5 3 例 2.数列{an}中,已知 a1 ? 1, an ? an ?1 ? 2n ? 1(n ? N *且n ? 2).求此数列的通项公式. 解: ?an ? an ?1 ? 2n ? 1(n ? N *且n ? 2), 且a1 ? 1. ? a 2 ? a1 ? 2 ? 2 ? 1, a 3 ? a 2 ? 2 ? 3 ? 1, a 4 ? a 3 ? 2 ? 4 ? 1, ?? a n ? a n ?1 ? 2n ? 1. 把这 n-1 个式子两边分别相加可得 an ? a1 ? 2[2 ? 3 ? 4 ? ? ? n] ? (n ? 1). 故数列{an}的通项公式为 an ? n (n ? N ). 2 * ?an ? n2 (n ? 2, 且n ? N * ).而a1 ? 1也适合an ? n2. 例 3.数列{an}中, a1 ? 1, an n ? (n ? N *且n ? 2), 求此数列的通项公式. an ?1 n ? 1 解: ? an n ? (n ? N *且n ? 2)且a1 ? 1, an ?1 n ? 1 ? a2 2 a2 3 a2 4 a n ? , ? , ? , ?, n ? . a1 3 a1 4 a1 5 an ?1 n ? 1 把这 n-1 个式子两边分别相乘可得 2 an 2 3 4 n 2 , 而n ? 1也适合 . ? ? ? ? ?, ? . 即 an ? n ?1 a1 3 4 5 n ?1 n ?1 故{an}的通项公式为 an ? 2 . n ?1 2.题型二:等差数列的证明与计算. 例 1.已知数列{an}的通项公式为 an=8n-3: (1)证明此数列是等差数列; (2)写出此数列的递推公式; (3)求此数列的前 n 项和. 解: (1)? an ?1 ? an ? 8(n ? 1) ? 3 ? (8n ? 3) ? 8为常数, ?数列 {an} 是等差数列. (2)递推公式为 a1 ? 5, an ?1 ? an ? 8(n ? 1, 且n ? N * ). (3) S n ? n(a1 ? an ) n[5 ? 5 ? (n ? 1) ? 8] ? ? 4n 2 ? n. 2 2 例 2.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S1 =1,且 S n ?1 ? S n ? 2S n ? S n?1 (n ? 2), (1)求证 { 1 } 是等差数列; Sn (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明: ? n ? 2时, Sn ?1 ? Sn ? 2Sn ? Sn ?1, ? 1 1 ? ? 2( x ? 2), Sn Sn ?1 ?{ 1 1 } 是以 ? 1 为首项,以 2 为公差的等差数列. Sn S1 ? Sn ? 1 , 2n ? 1 (2)解:? 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1, Sn ? an ? Sn ? Sn ?1 ? 1 1 2 ? ?? (n ? 2), 2n ? 1 2n ? 3 (2n ? 1)(2n ? 3) (n ? 1), ? 1 ? 2 ? an ? ? . ? (n ? 2) ? ? (2n ? 1)(2n ? 3) 例 3.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S1 =1,且 an ? 2 Sn (n ? 2), 2 Sn ? 1 2 (1)求证 { 1 } 是等差数列; Sn 2 (2)求数列{an}的通项公式. 2Sn 解:(1)由 an ? , 得 Sn ?1 ? Sn ? 2Sn Sn ?1. 2Sn ? 1 ?{ 1 } 是首项为 1, 公差为 2 的等差数列. Sn 故 1 1 1 ? ? 2(n ? 2), 又 ? 1, Sn Sn ?1 S1 (2)由(1)知 1 1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2,? ? ,? a1 ? S1 ? 1,


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