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【优化方案】高考数学总复习 第8章§8.6空间向量的概念及其运算精品课件 理 北师大版_图文

§8.6 空间向量的概念及其运算 § 8.6 空 间 向 量 的 概 念 及 其 运 算 双基研习?面对高考 考点探究?挑战高考 考向瞭望?把脉高考 双基研习?面对高考 基础梳理 1.空间向量的有关概念 名称 空间向量 自由向量 单位向量 零向量 相等向量 相反向量 定义 大小 在 空 间 里 , 具 有 ________ 和方向 _______ 的量叫作空间向量,其大小叫作向量的 长度 或______ 模 ______ . 起点 无关的向量 与向量的________ 1 的向量 a 长度或模为____ (非零向量a的单位向量a0=______) |a | 0 的向量 长度为____ 相同 且模______ 相等 的向量 方向_______ 相反 而______ 方向_______ 模 相等的向量 名称 定义 → 过空间任意一点 O 作向量 a, b 的相等向量OA 向量 a,b 的 夹角 → ∠AOB 叫作向量 a,b 的夹角, 和OB,则_________ a,b〉 ,范围是[0,π].①当〈a,b〉 记作〈 _________ π a⊥b ;②当〈a,b〉=0 或 π = 时,记作_______ 2 a∥b 时,记作_______ 平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线 重合 , 则 这 些 向 量 叫 作 平行 或 _______ ______ 共线向量 __________或平行向量 _________. 名称 直线的方 向向量 定义 → 若 A、B 是空间直线 l 上任意两点,则称_____ AB 为直线 l 的方向向量. 直线l 平行的任意非零向量 a 也是直线 l 的 (与_______ 方向向量) 垂直于 平面 α, 如果直线 l________ 那么把直线 l 的方向 向量 a 叫作平面 α 的法向量. ( 所有与直线 平行 的非零向量都是平面 α 的法向量) l______ 法向量 思考感悟 如何由直线的方向向量求直线的斜率? 提示:直线的方向向量刻画了直线的方向,在 平面上,由直线的方向向量可以确定直线的斜 率.若直线的方向向量 a=(m,n),则当 m=0 时,直线的斜率不存在;当 m≠0 时,直线的 n 斜率 k= . m 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定 理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量 a= ,λb b(b≠0),共线的充要条件 存在实数λ,使a 是___________________. 推论 如图所示,点 P 在 l 上的充要条件 → → 是:OP=OA+ta.① → 其中 a 叫直线 l 的方向向量,t∈R,在 l 上取AB=a, → → → → → OA+tAB 则①可化为 OP = ____________ 或 OP = (1 - t) OA + → tOB. (2)共面向量定理 xa+yb ,其中 x,y∈R,a,b 为不共线向量, p=_________ → → → xMA + yMB 推论的表达式为 MP= ___________或对空间任意一 → → → → → → → 点 O 有,OP=OM+xMA+yMB或OP=xOM+yOA → 1 +zOB,其中 x+y+z=____. (3)空间向量基本定理 不共面 的向量, 如果向量e1,e2,e3是空间三个_________ a是空间任一向量,那么存在惟一一组实数λ1,λ2, λ3,使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3. 空间中不共面的三个向量 e1 , e2 , e3 叫作这个空间 基底 . 的一个________ 3.空间向量的数量积及运算律 (1)两向量的数量积 |a||b|cos〈a,b〉 已知空间两个非零向量 a , b ,即 _______________ a· b , 即 a· 叫 作 向 量 a , b 的 数 量 积 , 记 作 ______ b= |a||b|cos〈a,b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)· b=________ λa· b ; ②交换律:a· b= b· a; a· b+ a· c ③分配律:a· (b+c)=____________. 4.空间向量的标准正交分解与坐标表示 (1)在给定的空间直角坐标系中,i,j,k分别为x轴, y轴,z轴正方向上的单位向量,对于空间任意向量 a ,存在惟一一组三元有序实数 (x , y , z) ,使得 a x i+y j+z k .把 __________________ a=x i+y j+z k 叫作 a = ______________ i, j, k 叫 作 标 准 正 交 的 标 准 正 交 分 解 , 把 __________ (x,y,z) 基. ____________ 叫作空间向量 a 的坐标,记作 a (x,y,z) 叫作向量 a 的坐标表 = (x , y , z) . ____________ 示. (2) 若 b0 为 b 的 单 位 向 量 , 称 a· b0=|a|cos〈a,b〉 为向量 a 在向量 b 上的投 _____________________ 影. 向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影. 5.空间向量坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 若 a = (a1 , a2 , a3) , b = (b1 , b2 , b3) , 则 a· b=a1b1+a2b2+a3b3 __________________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设 a = (a1 , a2 , a3) , b = (b1 , b2 , b3) , 则 a=λb ? a1 = λb1 , a2 = λb2 , a3 = λb3 , a ∥ b ? ________ a· b= 0 a1b1+a2b2+a3b3=0 (a , b a ⊥ b ? ___________ ? _


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