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福建师大附中2011届高三上学期期中考试 数学理


福建师大附中 2010-2011 学年度高三第一学期期中考试

数学试题(理科)
(满分:150 分,时间:120 分钟) 说明:请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.如果角 α 的终边过点 (1, ? 3) ,则 sin α 的值等于 ( )

A.

1 2

B. ?

1 2

C. ?

3 2

D. ?

3 3

2.设全集 U = R ,集合 M = { x | ?2 ≤ x ≤ 2} ,集合 N 为函数 y = ln( x ? 1) 的定义域,则

M ∩ (CU N ) 等于
A. { x |1 < x ≤ 2} C. { x | ?2 ≤ x ≤ 1} B. { x | x ≥ ?2} D. { x | x ≤ 2}





3.若 a 、 、 是常数,则“ a > 0 且 b 2 ? 4 a c < 0 ”是“对任意 x ∈ R ,有 a x 2 + b x + c > 0 ”的 b c ( A.充分不必要条件 C.充要条件 4.已知 f (x ) = ? A.–1 5.把函数 y = 5sin(2 x ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( D.2 ) )

? f ( x ? 5), x ≥ 0; 则 f ( 2011 ) 等于 ?log 2 (? x), x < 0,
B.0 C.1

π
6

,再把 ) 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)

所得函数的图象向右平移 A. y = 5 cos x C. y = 5 cos 4 x

π
3

个单位,得到图象的解析式为 B. y = ?5 cos x D. y = ?5 cos 4 x





6. ?ABC 中, a , b, c 分别是 ∠A, ∠B , ∠C 的对边, 在 若 的形状是 A.锐角三角形

sin A cos B cos C , ?ABC 则 = = a b c
( D.等腰直角三角形 )

B.钝角三角形

C.等边三角形

π 7.若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的一部分图象如图所示,则 ω、φ 的值分别是 2 ( A.1, )

π
3

B.1,–

π
3

C.2,

π
3

D.2,–

π
3

8.若函数 f ( x ) = sin(ωx + 条对称轴的方程是 A. x = C. x =

π
6

) ? 1(ω > 0) 的导数 f ′(x ) 的最大值为 3,则 f (x ) 的图像的一
( B. x = D. x = )

π π
9

π π
2
( )

6

3

9.函数 y = tan x cos x 的部分图象是

A

B

C

D

10.已知 a ∈ R ,函数 f ( x ) = e x + a ? e ? x 的导函数是 f ′( x ) ,且 f ′( x ) 是奇函数,若曲线

y = f ( x ) 的一条切线的斜率是

3 ,则切点的横坐标为 2
B. ? ln 2 D. ln 2





ln 2 2 ln 2 C. 2
A. ? 11.函数 f ( x ) = log 2 x ? 3sin( A.2 B.3

π
2

x) 零点的个数是
C.4 D.5





12.设函数 f ( x ) 的定义域为 R,若存在与 x 无关的正常数 M,使 f ( x) ≤ M x 对一切实数
2 x x 均成立,则称 f ( x ) 为“有界泛函” ,给出以下函数: (1) f ( x) = x ; ( 2 ) f ( x) = 2 ;

( 3) f ( x) =

x ; ( 4 ) f ( x) = x sin x .其中是“有界泛函”的个数为 x + x +1
2





A.0 B.1 C.2 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 sin(π + α ) =

D.3

1 ? π ? , α ∈ ? ? , 0 ? ,则 tan α = 3 ? 2 ?

;

14.在锐角 ?ABC 中,a , b, c 分别是 ∠A, ∠B , ∠C 的对边,若 a = 3, b = 4, ?ABC 的面积为

3 3 ,则 c 的长度为

; ;

15.由曲线 y = cos x 与直线 y = 0 所围成的区域在直线 x = 0 和 x = 2π 间的面积为

16.在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数 y = f ( x ) 的图像恰 . 好经过 k 个格点,则称函数 y = f ( x ) 为 k 阶格点函数.已知函数:① y = 2 sin x ;② .

y = x2 ;
③ y = e x ? 1 ;④ y = cos( x +

π
6

) .其中为一阶格点函数的序号为



三、解答题:本大题共 6 题,共 70 分 17.(本小题 10 分)在 ?ABC 中, a , b, c 分别是 ∠A, ∠B , ∠C 的对边, 已知 a、b 是方程 x ? 2 3 x + 2 = 0 的两个根,且 2 cos( A + B ) = 1 .
2

求 ∠ C 的度数和 c 的长度

18.(本小题 12 分)设函数 f ( x ) = 2 cos 2 x + 2 3 sin x ? cos x , (I)求 f (x ) 的最小正周期以及单调增区间; (II)当 x ∈ [ ?

5π π , ] 时,求 f (x ) 的值域; 12 12

(Ⅲ)若 f ( x ) =

5 π π ,? < x < ,求 sin 2x 的值. 3 6 6

19.(本小题 12 分)已知函数 f ( x ) = x 3 ? ax 2 + 3 x . (I)若 f (x ) 在 x ∈ [1,+∞ ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (II)若 x = 3 是 f (x ) 的极值点,求 f (x ) 在 x ∈ [1,a]上的最小值和最大值.

20.(本小题 12 分)如图,一只船在海上由西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为 北偏东 α 角,前进 4 km 后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 β 角,已知该岛周围

3.5 km 范围内有暗礁,现该船继续东行.
(I)若 α = 2 β = 60 0 ,问该船有无触礁危险?如果没有,请说明理由;如果有,那么 该船自 B 处向东航行多少距离会有触礁危险? (II)当 α 与 β 满足什么条件时,该船没有触礁危险? 北 β M

α A

B

C

21.(本小题 12 分)设函数 f ( x ) = ? cos 2 x ? 4t sin 其中 t ≤ 1 ,将 f ( x ) 的最小值记为 g (t ) . (I)求 g (t ) 的表达式; (II)设 G (t ) = g (t ) ?

x x cos + 4t 3 + t 2 ? 3t + 4 , x ∈ R , 2 2

3 ( a ? 3)t 2 ? 3at , a ∈ R ,讨论 G (t ) 在区间 ( ?11) 内的单调性. , 2

22.(本小题 12 分)已知函数 f ( x ) = ln(e x + a) ( a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数

g ( x ) = λf ( x) + sin x 是区间[-1,1]上的减函数.
(I)求 a 的值; (II) g ( x ) ≤ t 2 + λ t + 1 在 x ∈ [ ?1,1] 及 λ 所在的取值范围上恒成立, t 的取值范围; 若 求 (Ⅲ)讨论关于 x 的方程

ln x = x 2 ? 2ex + m 的根的个数. f ( x)

参考答案
1-6 CCADBD 7-12 14. 13 CACDBC 15.4 16.①③

13. ?

2 4

17.解:依题意得, cos C = ? cos( A + B ) = ? ∵

1 2

0 < C < 180o ,∴ C = 120o .
2

∵ a、b 是方程 x ? 2 3 x + 2 = 0 的两个根 ∴ a +b = 2 3, ab = 2 ,由余弦定理得

c 2 = a 2 +b 2 ? 2ab cos C = a 2 +b 2 + ab = 12 ? 2 = 10
∴ c = 10 . 18.解: (1) f ( x ) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = 2 sin(2 x + ∴ f (x ) 的最小正周期为π. 由?

π
6

) +1

π
2

+ 2 kπ ≤ 2 x +

π
6



π
2

+ 2 kπ 得 ?

π
3

+ kπ ≤ x ≤

π
6

+ kπ , k ∈ Z

f (x ) 的单调增区间为 [ kπ ?
(2)∵ x ∈ [ ? ∴ 2x +

π

5 π π, ] 12 12

, kπ + ], k ∈ Z 3 6

π

π

2 π π 3 ∈ [ ? π , ] ,∴ sin(2 x + ) ∈ [ ?1, ] 6 3 3 6 2

∴ f ( x ) ∈ [ ?1, 3 + 1] ,∴ f (x ) 的值域为 [ ?1, 3 + 1] . (3) 2 sin( 2 x + ∵?

π
6
,?

) +1 =

5 3

∴ sin( 2 x +

π
6

)=

1 3
) > 0, cos(2 x +

π
6

<x<

π
6

π
6

< 2x +

π
6

<

π
2

,∴ cos(2 x +

π
6

π
6

)=

2 2 3 3?2 2 6

sin 2 x = sin(2 x +

π
6

?

π
6
2

) = sin(2 x +

π
6

) cos

π
6

? cos(2 x +

π
6

) sin

π
6

=

19.解: (Ⅰ) f '( x ) = 3 x ? 2ax + 3 ,要 f (x ) 在 x ∈ [1,+∞ ) 上是增函数,则有

3 x 2 ? 2ax + 3 ≥ 0 在 x ∈ [1,+∞ ) 内恒成立,

3x 3 在 x ∈ [1,+∞ ) 内恒成立 + 2 2x 3x 3 ,所以 a ≤ 3 又 + ≥ 3 (当且仅当 x=1 时取等号) 2 2x
即a ≤ (Ⅱ)由题意知 f '( x) = 3 x 2 ? 2ax + 3 = 0 的一个根为 x = 3 ,可得 a = 5 , 所以 f '( x ) = 3 x ? 10 x + 3 = 0 的根为 x = 3 或 x =
2

又 f (1) = ?1 , f (3) = ?9 , f (5) = 15 , ∴

1 (舍去) , 3

f(x)在 x ∈ [1 , 5] 上的最小值是 f (3) = ?9 ,最大值是 f (5) = 15 .

20.解: (Ⅰ)作 MC ⊥ AB ,垂足为 C , 由已知 α = 60 0 , β = 30 0 ,所以 ∠ABM = 120 0 , ∠AMB = 30 0 所以 BM = AB = 4 , ∠MBC = 60 0 , 所以 MC = BM ? sin 60 = 2 3 < 3.5 ,
0

北 α A β B

M

所以该船有触礁的危险. 设该船自 B 向东航行至点 D 有触礁危险, 则 MD = 3.5 , 在△ MBC 中, BM = 4 , BC = 2 ,

DC

MC = 2 3 , CD = 3.5 2 ? (2 3 ) 2 = 0.5 ,
所以, BD = 1.5 ( km ) . 所以,该船自 B 向东航行 1.5 km 会有触礁危险. (Ⅱ)设 CM = x ,在△ MAB 中,由正弦定理得, 即

AB BM , = sin ∠AMB sin ∠MAB

4 sin(α ? β )

=

BM 4 cos α , BM = , ) cos α sin(α ? β ) 4 cos α cos β , sin(α ? β )

而 x = BM ? sin ∠MBC = BM ? cos β =

所以,当 x > 3.5 ,即

4 cos α cos β 7 > , sin(α ? β ) 2



cos α cos β 7 > 时,该船没有触礁危险. sin(α ? β ) 8

21.解: (I) f ( x ) = ? cos 2 x ? 4t sin

x x cos + 4t 3 + t 2 ? 3t + 4 2 2

= sin 2 x ? 1 ? 2t sin + 4t 2 + t 2 ? 3t + 4 = sin 2 x ? 2t sin x + t 2 + 4t 3 ? 3t + 3

= (sin x ? t ) 2 + 4t 3 ? 3t + 3 .
2 由于 (sin x ? t ) ≥ 0 , t ≤ 1 ,故当 sin x = t 时, f ( x ) 达到其最小值 g (t ) ,即

g (t ) = 4t 3 ? 3t + 3 .
(II) G (t ) = 4t 3 ? 3t + 3 ?

3 3 (a ? 3)t 2 ? 3at = 4t 3 ? (a ? 3)t 2 ? 3(a + 1)t + 3 2 2

G ' (t ) = 12t 2 ? 3(a ? 3)t ? 3(a + 1) = 3(t + 1)[4t ? (a + 1)]
, 令 G ' (t ) = 0 ,得 t1 = ?1 (舍去) t2 = 当

a +1 ≤ ?1 ,即 a ≤ ?5 时, G ' (t ) > 0 , G (t ) 在区间 ( ?11) 内单调递增 , 4 a +1 当 ≥ 1 ,即 a ≥ 3 时, G ' (t ) < 0 , G (t ) 在区间 ( ?11) 内单调递减 , 4 a +1 a +1 当 ?1 < 时 G ' (t ) < 0 , < 1 ,即 ?5 < a < 3 时,当 ?1 < x < 4 4 a +1 a +1 a +1 当 < x < 1 时 G ' (t ) > 0 ,即 G (t ) 在区间 (?1, ) 单调递减,在区间 ( ,1) 单 4 4 4
调递增 综上,当 a ≤ ?5 时, G (t ) 在区间 ( ?11) 内单调递增; , 当 a ≥ 3 时, G (t ) 在区间 ( ?11) 内单调递减; , 当 ?5 < a < 3 时, G (t ) 在区间 ( ?1,

a +1 4

a +1 a +1 ) 单调递减,在区间 ( ,1) 单调递增. 4 4

22.解: (Ⅰ) f ( x ) = ln(e x + a ) 是奇函数,则 ln(e ? x + a ) = ? ln(e x + a ) 恒成立. ∴ (e ? x + a )(e x + a ) = 1. 即 1 + ae ? x + ae x + a 2 = 1, ∴ a (e x + e ? x + a ) = 0,∴ a = 0. (II)由(I)知 f ( x) = x, ∴ g ( x ) = λ x + sin x ∴ g ( x ) = λ + cos x
'

又Q g (x ) 在[-1,1]上单调递减, ∴ g ( x ) max = g ( ?1) = ?λ ? sin1, 且 g ' ( x ) = λ + cos x ≤ 0 对 x ∈ [-1,1]恒成立, 即 λ ≤ ? cos x 对 x ∈ [-1,1]恒成立, ∴ λ ≤ ?1 ∵ g ( x ) ≤ t 2 + λ t + 1 在 x ∈ [ ?1,1] 上恒成立 ∴ ?λ ? sin1 ≤ t 2 + λ t + 1, 即 (t + 1)λ + t + sin1 + 1 ≥ 0 对 λ ≤ ?1 恒成立
2

令 h(λ ) = (t + 1)λ + t 2 + sin 1 + 1(λ ≤ ?1), 则 ?

?t + 1 ≤ 0
2 ?? t ? 1 + t + sin 1 + 1 ≥ 0,

∴?

?t ≤ ?1 ?t ? t + sin1 ≥ 0
2

, 而t 2 ? t + sin1 ≥ 0恒成立,

∴t ≤ ?1 .
(Ⅲ)由(I)知 f ( x ) = x,∴ 方程为 令 f1 ( x) =

ln x = x 2 ? 2ex + m, x

ln x , f 2 ( x ) = x 2 ? 2ex + m , x 1 ? ln x , Q f 1′( x ) = x2
当 x ∈ (0, e)时, f 1′( x) ≥ 0,∴ f 1 ( x)在(0, e] 上为增函数;

x ∈ [e,+∞)时, f1′( x) ≤ 0,∴ f1 ( x)在[0, e) 上为减函数,
当 x = e 时, f 1 ( x ) max = f 1 (e) =

1 . 而 f 2 ( x ) = ( x ? e) 2 + m ? e 2 , e

∴函数f1 ( x) 、 f 2 ( x) 在同一坐标系的大致图象如图所示,
∴①当 m ? e 2 >

1 1 , 即m > e 2 + 时,方程无解. e e 1 1 ②当 m ? e 2 = , 即m = e 2 + 时,方程有一个根. e e 1 1 ③当 m ? e 2 < , 即m < e 2 + 时,方程有两个根. e e


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