9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2016新课标三维人教A版数学必修2 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系


空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面

预习课本 P40~43,思考并完成以下问题 1.平面的表示方法有哪些?

2.公理 1、公理 2、公理 3 的内容是什么?

3.公理 1、公理 2、公理 3 各自的作用是什么?

4.点、线、面之间的位置关系用符号怎样表示?

[新知初探]
1.平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几 何里的平面是无限延展的. 2.平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成 45°,且横边长等于 其邻边长的 2 倍.如图①.

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出 来.如图②.

3.平面的表示法 图①的平面可表示为平面 α、平面 ABCD、平面 AC 或平面 BD. [点睛] (1)平面和点、直线一样,是只描述而不加定义的原始概念,不能进行度量;

(2)平面无厚薄、无大小,是无限延展的. 4.平面的基本性质 公理 内容 如果一条直线上的 公理 1 两点在一个平面 内,那么这条直线 在此平面内 过不在一条直线上 公理 2 的三点,有且只有 一个平面 如果两个不重合的 平面有一个公共 公理 3 点,那么它们有且 只有一条过该点的 公共直线 P∈α, P∈β?α∩β =l,且 P∈l 用来证明空间的点 共线和线共点 A,B,C 三点不共 线?存在唯一的 α 使 A,B,C∈α 用来确定一个平面 A∈l,B∈l,且 A ∈α,B∈α?l?α 用来证明直线在平 面内 图形 符号 作用

[点睛]

对公理 2 必须强调是不共线的三点.

[尝试应用]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间不同三点确定一个平面( ) ) )

(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面(

(3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内( 答案:(1)× (2)× (3)√

2.有以下命题: (1)8 个平面重叠起来要比 6 个平面重叠起来厚;

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(2)有一个平面的长是 50 m,宽是 20 m; (3)平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念. 其中正确命题的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:选 B 平面是无厚度的,故(1)错;平面是无限延展的,不可度量,故(2)错;平面 是无厚度、无限延展的,故(3)正确.正确命题的个数为 1. 3 .根据右图,填入相应的符号: A__________ 平面 ABC , A________ 平面 BCD , BD________平面 ABC,平面 ABC∩平面 ACD=________.

答案:∈ ?

?

AC

文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

[典例]

根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.

(1)点 P 与直线 AB; (2)点 C 与直线 AB; (3)点 M 与平面 AC; (4)点 A1 与平面 AC; (5)直线 AB 与直线 BC; (6)直线 AB 与平面 AC; (7)平面 A1B 与平面 AC. [解] (1)点 P∈直线 AB.

(2)点 C?直线 AB. (3)点 M∈平面 AC. (4)点 A1?平面 AC. (5)直线 AB∩直线 BC=点 B. (6)直线 AB?平面 AC.

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(7)平面 A1B∩平面 AC=直线 AB.

三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且 相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.

[活学活用]
1.若点 M 在直线 a 上,a 在平面 α 内,则 M,a,α 间的关系可记为( A.M∈a,a∈α C.M?a,a?α B.M∈a,a?α D.M?a,a∈α )

解析:选 B 根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知 B 正确. 2.用符号语言表示下列语句,并画出图形: (1)三个平面 α,β,γ 相交于一点 P,且平面 α 与平面 β 相交于 PA,平面 α 与平面 γ 相 交于 PB,平面 β 与平面 γ 相交于 PC; (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD,平面 ABC 与平面 ADC 相交于 AC. 解:(1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形表示:如 图(1). (2)符号语言表示: 平面 ABD∩平面 BDC=BD, 平面 ABC∩平面 ADC=AC, 图形表示: 如图(2).

平面的基本性质的应用 题点一:点线共面问题 1.如图,已知直线 a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b, c,l 共面. 证明:∵a∥b,∴a,b 确定一个平面 α. ∵l∩a=A,l∩b=B, ∴A∈α,B∈α. 又∵A∈l,B∈l,∴l?α.

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∵b∥c,∴b,c 确定一个平面 β. 同理可证 l?β. 于是 b?α,l?α,b?β,l?β,即 α∩β=b,α∩β=l. 又∵b 与 l 不重合, ∴α 与 β 重合, ∴a,b,c,l 共面.

(1)公理 2 的推论: 推论 1:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面. (2)点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是公理 1、公理 2 及其推论.解决该类问题通常有三种方法:(1)纳入平面法,先由部分元素确定一个平面, 再证其他元素也在该平面内;(2)辅助平面法(平面重合法),先由有关的点、线确定平面 α, 再由其余元素确定平面 β,最后证明平面 α,β 重合;(3)反证法.通常情况下采用第一种方 法. 题点二:点共线问题 2.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,设线段 A1C 与平面 ABC1D1 交于点 Q,求证:B,Q,D1 三点共线. 证明:如图,连接 A1B,CD1,显然 B∈平面 A1BCD1,D1∈平面 A1BCD1. ∴BD1?平面 A1BCD1. 同理 BD1?平面 ABC1D1. ∴平面 ABC1D1∩平面 A1BCD1=BD1. ∵A1C∩平面 ABC1D1=Q, ∴Q∈平面 ABC1D1. 又∵A1C?平面 A1BCD1, ∴Q∈平面 A1BCD1. ∴Q 在平面 A1BCD1 与 ABC1D1 的交线上,即 Q∈BD1, ∴B,Q,D1 三点共线.

点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是公理 3.解决此类问 题常用以下两种方法:(1)首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根 据公理 3 知,这些点都在这两个平面的交线上;(2)选择其中两点,确定一条直线,然后证明

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

其他点也在这条直线上. 题点三:三线共点问题 3.已知:平面 α,β,γ 两两相交于三条直线 l1,l2,l3,且 l1,l2 不平行.求证:l1,l2, l3 相交于一点. 证明:如图,α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3. ∵l1?β,l2?β,且 l1,l2 不平行, ∴l1 与 l2 必相交.设 l1∩l2=P, 则 P∈l1?α,P∈l2?γ, ∴P∈α∩γ=l3, ∴l1,l2,l3 相交于一点 P.

证明三线共点问题的基本方法是,先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明第三 条直线也过该点.常结合公理 3,证出该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第 三条直线)上,从而证明三线共点.

层级一
1.下列说法中正确的是( A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 )

学业水平达标

D.两个不同平面 α 和 β 有不在同一条直线上的三个公共点 解析:选 C 不共线的三点确定一个平面,故 A 不正确;四边形有时指空间四边形,故 B 不正确;梯形的上底和下底平行,可以确定一个平面,故 C 正确;两个平面如果相交,一 定有一条交线,所有这两个平面的公共点都在这条交线上,故 D 不正确.故选 C. 2.给出以下四个命题: ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A,B,C,D 共面,点 A,B,C,E 共面,则点 A,B,C,D,E 共面; ③若直线 a,b 共面,直线 a,c 共面,则直线 b,c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 其中正确命题的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:选 B ①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确;②如图,两个相交 平面有三个公共点 A,B,C,但 A,B,C,D,E 不共面;③显然不正确;④不正确,因为 此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形. 3.在空间四边形 ABCD 中,在 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 四点,如果 GH,EF 交于一点 P,则( A.P 一定在直线 BD 上 B.P 一定在直线 AC 上 C.P 在直线 AC 或 BD 上 D.P 既不在直线 BD 上,也不在 AC 上 解析:选 B 由题意知 GH?平面 ADC.因为 GH,EF 交于一点 P,所以 P∈平面 ADC. 同理, P∈平面 ABC.因为平面 ABC∩平面 ADC=AC, 由公理 3 可知点 P 一定在直线 AC 上. 4.用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( A.六边形 C.菱形 B.五边形 D.直角三角形 ) )

解析:选 D 可用排除法,正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形,故选 D. 5.下列各图均是正六棱柱,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形 是( )

解析: 选 D 在选项 A、 B、 C 中, 由棱柱、 正六边形、 中位线的性质, 知均有 PS∥QR, 即在此三个图形中 P,Q,R,S 共面,故选 D. 6.用符号表示“点 A 在直线 l 上,l 在平面 α 外”为________. 答案:A∈l,l?α 7.如图,看图填空: (1)平面 AB1∩平面 A1C1=________; (2)平面 A1C1CA∩平面 AC=________.

答案:A1B1

AC

8.已知空间四点中无任何三点共线,那么这四点可以确定平面的个数是________. 解析:其中三个点可确定唯一的平面,当第四个点在此平面内时,可确定 1 个平面,当 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

第四个点不在此平面内时,则可确定 4 个平面. 答案:1 或 4 9.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,判断下列命题是否正确, 并说明理由. (1)由点 A,O,C 可以确定一个平面; (2)由点 A,C1,B1 确定的平面为平面 ADC1B1. 解:(1)不正确.因为点 A,O,C 在同一条直线上,故不能确定一个平面. (2)正确.因为点 A,B1,C1 不共线,所以可确定一个平面.又因为 AD∥B1C1,所以点 D∈平面 AB1C1.所以由点 A,C1,B1 确定的平面为平面 ADC1B1. 10.按照给出的要求,完成图中两个相交平面的作图,图中所给线段 AB 分别是两个平 面的交线.

解:以 AB 为其中一边,分别画出表示平面的平行四边形.如图.

层级二
A.l?α C.l∩α=M

应试能力达标
) B.l?α D.l∩α=N

1.如果直线 a?平面 α,直线 b?平面 α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则(

解析:选 A ∵M∈a,a?α,∴M∈α,同理,N∈α,又 M∈l,N∈l,故 l?α. 2.下列命题正确的是( )

A.一条直线和一点确定一个平面 B.两条相交直线确定一个平面 C.四点确定一个平面 D.三条平行直线确定一个平面 解析:选 B 根据一条直线和直线外的一点确定一个平面,知 A 不正确;B 显然正确; 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

C 中四点不一定共面,故 C 不正确;三条平行直线可以确定一个平面或三个平面,故 D 不 正确.故选 B. 3.下列命题中,正确的是( )

A.经过正方体任意两条面对角线,有且只有一个平面 B.经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面 C.经过正方体任意两条棱,有且只有一个平面 D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线,有且只有一个平面 解析:选 B 因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心),因此经过正方 体任意两条体对角线,有且只有一个平面,故选 B. 1 4.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 DD1 和 BB1 上的点,MD= DD1,NB 3 1 = BB1,那么正方体的过点 M,N,C1 的截面图形是( 3 A.三角形 C.五边形 B.四边形 D.六边形 )

解析:选 C 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 DD1 1 1 和 BB1 上的点, MD= DD1, NB= BB1.如图, 延长 C1M 交 CD 于点 P, 3 3 延长 C1N 交 CB 于点 Q, 连接 PQ 交 AD 于点 E, AB 于点 F, 连接 NF, ME,则正方体的过点 M,N,C1 的截面图形是五边形.故选 C. 5.已知 α,β 是不同的平面,l,m,n 是不同的直线,P 为空间中一点.若 α∩β=l, m?α,n?β,m∩n=P,则点 P 与直线 l 的位置关系用符号表示为________. 解析:因为 m?α,n?β,m∩n=P,所以 P∈α 且 P∈β.又 α∩β=l,所以点 P 在直线 l 上,所以 P∈l. 答案:P∈l 6. 在长方体 ABCDA1B1C1D1 的所有棱中, 既与 AB 共面, 又与 CC1 共面的棱有________ 条. 解析: 作图并观察可知既与 AB 共面, 又与 CC1 共面的棱有 CD, BC, BB1, AA1, C1D1, 共 5 条. 答案:5 7.如图所示,AB∩α=P,CD∩α=P,A,D 与 B,C 分别在平面 α 的 两侧,AC∩α=Q,BD∩α=R. 求证:P,Q,R 三点共线. 证明:∵AB∩α=P,CD∩α=P, ∴AB∩CD=P.

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴AB,CD 可确定一个平面,设为 β. ∵A∈AB,C∈CD,B∈AB,D∈CD, ∴A∈β,C∈β,B∈β,D∈β. ∴AC?β,BD?β,平面 α,β 相交. ∵AB∩α=P,AC∩α=Q,BD∩α=R, ∴P,Q,R 三点是平面 α 与平面 β 的公共点. ∴P,Q,R 都在 α 与 β 的交线上,故 P,Q,R 三点共线.

8.如图,在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AD>BC,P,Q,M,N 分 别为 AA1,BB1,CC1,DD1 上的点,设 PQ 与 NM 的交点为 S,AB 与 DC 的交点为 R,A1B1 与 D1C1 的交点为 G.求证:R,S,G 三点共线. 证明:因为 P,Q,M,N 分别为 AA1,BB1,CC1,DD1 上的点,PQ∩NM=S, 所以 S∈MN,MN?平面 CC1D1D,S∈PQ,PQ?平面 AA1B1B, 所以 S∈平面 CC1D1D,且 S∈平面 AA1B1B, 所以 S 在平面 AA1B1B 与平面 CC1D1D 的交线上. 同理可证:R,G 也在平面 AA1B1B 与平面 CC1D1D 的交线上, 所以 R,S,G 三点共线.

2.1.2

空间中直线与直线之间的位置关系

预习课本 P44~47,思考并完成以下问题 1.空间两直线有哪几种位置关系?

2.什么是异面直线?

3.什么是异面直线所成的角?

4.平行公理的内容是什么?

5.等角定理的内容是什么?

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

[新知初探]
1.异面直线 (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法:

2.空间两条直线的位置关系

位置关系 相交 平行 异面直线





同一平面内,有且只有一个公共点 同一平面内,没有公共点 不同在任何一个平面内,没有公共点

[点睛]

(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件. 异面直

线既不相交,也不平行. (2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线, 如图中, 虽然有 a?α,b?β, 即 a,b 分别在两个不同的平面内,但是因为 a∩b=O,所以 a 与 b 不是异面直线. 3.平行公理(公理 4) (1)文字表述:平行于同一条直线的两条直线互相平行.这一性质叫做空间平行线的传递 性. (2)符号表述: a∥b?b∥c}?a∥c. 4.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 5.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,我们把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角 θ 的取值范围:0°<θ≤90°. (3)当 θ=90°时,a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b. [点睛] 相交垂直. (2)公理 4 也称为平行公理,表明空间的平行具有传递性,它在直线、平面的平行关系中 得到了广泛的应用. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn (1)异面直线所成角的范围是 0°<θ≤90°,所以垂直有两种情况:异面垂直和

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两条直线无公共点,则这两条直线平行( (2)两直线若不是异面直线,则必相交或平行( ) ) )

(3)过平面外一点与平面内一点的连线,与平面内的任意一条直线均构成异面直线( (4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线( 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× ) )

2.如果两条直线 a 和 b 没有公共点,那么 a 与 b 的位置关系是( A.共面 C.异面 B.平行 D.平行或异面

解析:选 D 空间中两直线的位置关系有:①相交;②平行;③异面.两条直线平行和 两条直线异面都满足两条直线没有公共点,故 a 与 b 的位置关系是平行或异面. 3.已知 AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,则∠PQR 等于( A.30° C.150° B.30°或 150° D.以上结论都不对 )

解析:选 B 由等角定理可知∠PQR 与∠ABC 相等或互补,故∠PQR=30°或 150°.

两直线位置关系的判定

[典例]

如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,

(1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________; (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________; (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________; (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________. [解析] (1)在长方体 ABCDA1B1C1D1 中, A1D1 綊 BC, ∴四边形 A1BCD1 为平行四边形,

∴A1B∥D1C. (2)直线 A1B 与直线 B1C 不同在任何一个平面内. (3)直线 D1D 与直线 D1C 相交于点 D1. (4)直线 AB 与直线 B1C 不同在任何一个平面内. [答案] (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面

(1)判定两条直线平行或相交的方法 判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用公理 4 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

判断. (2)判定两条直线是异面直线的方法 ①定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内.

②重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是 异面直线.用符号语言可表示为 A? α,B∈α,l?α,B? l?AB 与 l 是异面直线(如图).

[活学活用]
1.在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为对角线 AC,BD 的中点,则 BE 与 CF( A.平行 C.相交 B.异面 D.以上均有可能 )

解析: 选 B 假设 BE 与 CF 是共面直线, 设此平面为 α, 则 E, F, B, C∈α, 所以 BF, CE?α,而 A∈CE,D∈BF,所以 A,D∈α,即有 A,B,C,D∈α,与 ABCD 为空间四边 形矛盾,所以 BE 与 CF 是异面直线,故选 B. 2.若 a,b 为异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是( A.相交 C.平行 B.异面 D.异面或相交 )

解析:选 D 由空间直线的位置关系,知 c 与 b 可能异面或相交. 平行公理与等角定理的应用

[典例]

如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,M1 分别是棱 AD

和 A1D1 的中点. (1)求证:四边形 BB1M1M 为平行四边形; (2)求证:∠BMC=∠B1M1C1. [证明] (1)在正方形 ADD1A1 中,M,M1 分别为 AD,A1D1 的中点,

∴A1M1 綊 AM, ∴四边形 AMM1A1 是平行四边形, ∴A1A 綊 M1M. 又∵A1A 綊 B1B,∴M1M 綊 B1B, ∴四边形 BB1M1M 为平行四边形. (2)由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴B1M1∥BM. 同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形, ∴C1M1∥CM. 由平面几何知识可知, ∠BMC 和∠B1M1C1 都是锐角. ∴∠BMC=∠B1M1C1.

(1)空间两条直线平行的证明:①定义法:即证明两条直线在同一个平面内没有公共点; ②利用公理 4 找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行. (2)“等角”定理的结论是相等或互补,在实际应用时,一般是借助于图形判断是相等, 还是互补,这是两种情况都有可能.

[活学活用]
如图,已知在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 CD,AD 的中 点. 求证:(1)四边形 MNA1C1 是梯形; (2)∠DNM=∠D1A1C1. 证明:(1)如图,连接 AC,在△ACD 中, ∵M,N 分别是 CD,AD 的中点, ∴MN 是△ACD 的中位线, 1 ∴MN∥AC,MN= AC. 2 由正方体的性质得: AC∥A1C1,AC=A1C1. 1 ∴MN∥A1C1,且 MN= A1C1, 2 即 MN≠A1C1,∴四边形 MNA1C1 是梯形. (2)由(1)可知 MN∥A1C1. 又∵ND∥A1D1,∴∠DNM 与∠D1A1C1 相等或互补. 而∠DNM 与∠D1A1C1 均为锐角, ∴∠DNM=∠D1A1C1.

异面直线所成角 [典例] 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 A1B1,B1C1 的中点,求异面直线

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

DB1 与 EF 所成角的大小. [解] 法一:如图 1 所示,连接 A1C1,B1D1,并设它们相交于点 O,取 DD1 的中点 G,

连接 OG,A1G,C1G, 则 OG∥B1D,EF∥A1C1, ∴∠GOA1 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角). ∵GA1=GC1,O 为 A1C1 的中点, ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.

图1 法二:如图 2 所示,连接 A1D,取 A1D 的中点 H,连接 HE, 1 则 HE 綊 DB1,于是∠HEF 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角). 2 连接 HF,设 AA1=1, 则 EF= 2 3 ,HE= , 2 2

取 A1D1 的中点 I,连接 HI,IF, 5 则 HI⊥IF,∴HF2=HI2+IF2= , 4 ∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.

图2 法三:如图 3,连接 A1C1,分别取 AA1,CC1 的中点 M,N,连接 MN. ∵E,F 分别是 A1B1,B1C1 的中点, ∴EF∥A1C1,又 MN∥A1C1,∴MN∥EF. 连接 DM,B1N,MB1,DN,则 B1N 綊 DM, ∴四边形 DMB1N 为平行四边形, ∴MN 与 DB1 必相交,设交点为 P, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

则∠DPM 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角). 设 AA1=k(k>0),则 MP= 2 5 3 k,DM= k,DP= k, 2 2 2

∴DM2=DP2+MP2,∴∠DPM=90°. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.

法四:如图 4,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接 B1Q,易得 B1Q∥EF, ∴∠DB1Q 就是异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角). 设 AA1=k(k>0), 则 B1D= 3k,DQ= 5k,B1Q= 2k, ∴B1D2+B1Q2=DQ2,∴∠DB1Q=90°. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.

求两异面直线所成的角的三个步骤 (1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角; (2)证:证明作出的角就是要求的角; (3)计算:求角的值,常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角范围是 0°<θ≤90°.

[活学活用] 如图所示,点 A 是△BCD 所在平面外一点,AD=BC,E,
F 分别是 AB, CD 的中点, 当 EF= 2 AD 时, 求异面直线 AD 和 BC 所成的角. 2

解:如图所示,设 G 为 AC 的中点,连接 EG,FG. ∵E,F,G 分别为 AB,CD,AC 的中点. 1 ∴EG∥BC,且 EG= BC; 2 1 FG∥AD,且 FG= AD. 2 1 又 AD=BC,∴EG=FG= AD. 2 ∴EG 与 GF 所成的锐角(或直角)即为 AD 与 BC 所成的角. 1 2 在△EFG 中,∵EG=FG= AD,又 EF= AD, 2 2 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴EG2+FG2=EF2,即 EG⊥FG. ∴∠EGF=90°.故 AD 与 BC 所成角为 90°.

层级一
A.一定平行 C.一定是异面直线

学业水平达标
) B.一定相交 D.一定垂直

1.若空间三条直线 a,b,c 满足 a⊥b,b∥c,则直线 a 与 c(

解析:选 D 因为 a⊥b,b∥c,则 a⊥c,故选 D. 2.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条( A.相交 C.相交或异面 B.异面 D.平行 )

解析:选 C 如图所示的长方体 ABCDA1B1C1D1 中,直线 AA1 与直线 B1C1 是异面直线,与 B1C1 平行的直线有 A1D1,AD,BC,显然直线 AA1 与 A1D1 相交,与 BC 异面. 3. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E, F 分别是平面 AA1D1D、 平面 CC1D1D 的中心, G, H 分别是线段 AB,BC 的中点,则直线 EF 与直线 GH 的位置关系是( A.相交 C.平行 B.异面 D.垂直 )

解析:选 C 如图,连接 AD1,CD1,AC,则 E,F 分别为 AD1, CD1 的中点.由三角形的中位线定理,知 EF∥AC,GH∥AC,所以 EF ∥GH,故选 C. 4.已知直线 a,b,c,下列三个命题: ①若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面; ②若 a∥b,a 和 c 相交,则 b 和 c 也相交; ③若 a⊥b,a⊥c,则 b∥c. 其中,正确命题的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:选 A ①不正确如图;②不正确,有可能相交也有可能异面;③ 不正确.可能平行,可能相交也可能异面. 5.异面直线 a,b,有 a?α,b?β 且 α∩β=c,则直线 c 与 a,b 的关系 是( ) A.c 与 a,b 都相交 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

B.c 与 a,b 都不相交 C.c 至多与 a,b 中的一条相交 D.c 至少与 a,b 中的一条相交 解析:选 D 若 c 与 a,b 都不相交,∵c 与 a 在 α 内,∴a∥c. 又 c 与 b 都在 β 内,∴b∥c. 由公理 4,可知 a∥b,与已知条件矛盾. 如图,只有以下三种情况.

6.如图, 正方体 ABCDA1B1C1D1 中, AC 与 BC1 所成角的大小是________. 解析:连接 AD1,则 AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是 AC 与 BC1 所成的角,连接 CD1,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AC=AD1=CD1, ∴∠CAD1=60°, 即 AC 与 BC1 所成的角为 60°. 答案:60° 7.如图,点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是________(填序号).

解析:①中 PQ∥RS,②中 RS∥PQ,④中 RS 和 PQ 相交. 答案:③ 8.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 CD,CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________. 解析: 如图, 过点 M 作 ME∥DN 交 CC1 于点 E, 连接 A1E, 则∠A1ME

为异面直线 A1M 与 DN 所成的角(或其补角). 3 5 41 设正方体的棱长为 a,则 A1M= a,ME= a,A1E= a, 2 4 4 所以 A1M2+ME2=A1E2, 所以∠A1ME=90°, 即异面直线 A1M 与 DN 所成的角为 90°. 答案:90° 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

9.如图所示, E, F 分别是长方体 A1B1C1D1ABCD 的棱 A1A, C1C 的中点. 求证:四边形 B1EDF 是平行四边形. 证明:设 Q 是 DD1 的中点,连接 EQ,QC1. ∵E 是 AA1 的中点, ∴EQ 綊 A1D1. 又在矩形 A1B1C1D1 中,A1D1 綊 B1C1, ∴EQ 綊 B1C1(平行公理). ∴四边形 EQC1B1 为平行四边形.∴B1E 綊 C1Q. 又∵Q,F 是 DD1,C1C 两边的中点,∴QD 綊 C1F. ∴四边形 QDFC1 为平行四边形. ∴C1Q 綊 DF.∴B1E 綊 DF. ∴四边形 B1EDF 为平行四边形. 10.如图所示,空间四边形 ABCD 中,AB=CD,AB⊥CD,E,F 分别为 BC,AD 的中点,求 EF 和 AB 所成的角. 解:如图所示,取 BD 的中点 G,连接 EG,FG. ∵E,F 分别为 BC,AD 的中点,AB=CD, 1 1 ∴EG∥CD,GF∥AB,且 EG= CD,GF= AB. 2 2 ∴∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角,EG=GF. ∵AB⊥CD,∴EG⊥GF. ∴∠EGF=90°. ∴△EFG 为等腰直角三角形. ∴∠GFE=45°, 即 EF 与 AB 所成的角为 45°.

层级二
线 EF 的位置关系是( A.相交 C.平行 )

应试能力达标

1.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是线段 BC,C1D 的中点,则直线 A1B 与直

B.异面 D.垂直

解析:选 A 如图所示,连接 BD1,CD1,CD1 与 C1D 交于点 F,由题意 可得四边形 A1BCD1 是平行四边形,在平行四边形 A1BCD1 中,E,F 分别是 线段 BC,CD1 的中点,所以 EF∥BD1,所以直线 A1B 与直线 EF 相交,故选 A. 2.在三棱锥 ABCD 中,AC⊥BD,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

则四边形 EFGH 是( A.菱形 C.梯形

) B.矩形 D.正方形

解析:选 B 如图,在△ABD 中,点 H,E 分别为边 AD,AB 的中点, 1 1 所以 HE 綊 BD,同理 GF 綊 BD,所以 HE 綊 GF,所以四边形 EFGH 为平 2 2 行四边形.又 AC⊥BD,所以 HG⊥HE,所以四边形 EFGH 是矩形,故选 B. 3. 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中, 若 AB= 2BB1, 则 AB1 与 BC1 所成的角的大小是( A.60° C.90° B.75° D.105° )

解析:选 C 设 BB1=1,如图,延长 CC1 至 C2,使 C1C2=CC1=1,连接 B1C2,则 B1C2∥BC1,所以∠AB1C2 为 AB1 与 BC1 所成的角(或其补角).连接
2 2 AC2, 因为 AB1= 3, B1C2= 3, AC2= 6, 所以 AC2 则∠AB1C2 2=AB1+B1C2,

=90°. 4.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 P 在线段 AD1 上运动,则异面直线 CP 与 BA1 所成 的角 θ 的取值范围是( A.0°<θ<60° C.0°≤θ≤60° ) B.0°≤θ<60° D.0°<θ≤60°

解析:选 D 如图,连接 CD1,AC,因为 CD1∥BA1,所以 CP 与 BA1 所成的角就是 CP 与 CD1 所成的角, 即 θ=∠D1CP.当点 P 从 D1 向 A 运动时, ∠D1CP 从 0°增大到 60°, 但当点 P 与 D1 重合时, CP∥BA1, 与 CP 与 BA1 为异面直线矛盾, 所以异面直线 CP 与 BA1 所成的角 θ 的取 值范围是 0°<θ≤60°. 5.如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E,F 分别是棱 BC,CC1 的中点,则异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为__________. 解析:连接 BC1,AD1,AB1, 则 EF 为△BCC1 的中位线, ∴EF∥BC1. 又∵AB 綊 CD 綊 C1D1, ∴四边形 ABC1D1 为平行四边形. ∴BC1∥AD1.∴EF∥AD1. ∴∠AD1B1 为异面直线 EF 和 B1D1 所成的角或其补角. 在△AB1D1 中,易知 AB1=B1D1=AD1,

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴△AB1D1 为正三角形,∴∠AD1B1=60°.

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴EF 与 B1D1 所成的角为 60°. 答案:60° 6.如图,空间四边形 ABCD 的对角线 AC=8,BD=6,M,N 分别为 AB,CD 的中点,并且异面直线 AC 与 BD 所成的角为 90°,则 MN 等于 ________. 解析:取 AD 的中点 P,连接 PM,PN,则 BD∥PM,AC∥PN,∴∠ 1 MPN 即异面直线 AC 与 BD 所成的角,∴∠MPN=90°,PN= AC=4, 2 1 PM= BD=3,∴MN=5. 2 答案:5 7.在三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA1 与 AC,AB 所成的角均为 60°,∠BAC= 90°,且 AB=AC=AA1,求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值. 解:如图所示,把三棱柱补为四棱柱 ABDCA1B1D1C1,连接 BD1,A1D1,AD, 由四棱柱的性质知 BD1∥AC1,则∠A1BD1 就是异面直 线 A1B 与 AC1 所成的角. 设 AB=a, ∵AA1 与 AC,AB 所成的角均为 60°,且 AB=AC=AA1, ∴A1B=a,BD1=AC1=2AA1· cos 30°= 3a. 又∠BAC=90°,∴在矩形 ABCD 中,AD= 2a, ∴A1D1= 2a,
2 ∴A1D1 +A1B2=BD2 1,∴∠BA1D1=90°,

∴在 Rt△BA1D1 中,cos∠A1BD1=

A1B a 3 = = . BD1 3 3a

8.正三棱锥 SABC 的侧棱长与底面边长都为 a,E,F 分别是 SC,AB 的中点,求直线 EF 和 SA 所成的角. 解:如图,取 SB 的中点 G,连接 EG,GF,SF,CF. 在△SAB 中,F,G 分别是 AB,SB 的中点, 1 ∴FG∥SA,且 FG= SA. 2 于是异面直线 SA 与 EF 所成的角就是直线 EF 与 FG 所成的角. 1 在△SAB 中,SA=SB=a,AF=FB= a, 2

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴SF⊥AB,且 SF=

3 a. 2 3 a. 2

同理可得 CF⊥AB,且 CF= 在△SFC 中,SF=CF=

3 a,SE=EC, 2 2 a. 2

∴FE⊥SC 且 FE= SF2-SE2=

a 1 在△SAB 中,FG 是中位线,∴FG= SA= . 2 2 a 1 在△SBC 中,GE 是中位线,∴GE= BC= . 2 2 a2 在△EGF 中,FG +GE = =FE2, 2
2 2

∴△EGF 是以∠FGE 为直角的等腰直角三角形, ∴∠EFG=45°.∴异面直线 SA 与 EF 所成的角为 45°.

2.1.3&2.1.4

空间中直线与平面之间的位置关系、 平面与平面之间的位置关系

预习课本 P48~50,思考并完成以下问题 1.直线与平面的位置关系有哪几种?

2.平面与平面的位置关系有哪几种?

3.直线与平面的几种位置关系分别是怎样定义与表示的?

4.平面与平面的几种位置关系分别是怎样定义与表示的?

[新知初探]
1.直线与平面的位置关系 直线 a 在平面 α 外 位置关系 直线 a 在平面 α 内 直线 a 与平面 α 相交 直线 a 与平面 α 平行

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

公共点 符号表示

无数个公共点 a?α

一个公共点 a∩α=A

没有公共点 a∥α

图形表示

2.两个平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 两平面平行 没有公共点 α∥β 两平面相交 有无数个公共点(在一条直线上) α∩β=l

图形表示

[点睛]

(1)判断面面位置关系时,要利用好长方体(或正方体)这一模型.

(2)画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行( ) ) )

(2)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行( (3)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行( (4)若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行( 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× ) B.α∥β,l∈α D.α∥β,l?α )

2.如图所示,用符号语言可表示为( A.α∩β= l C.l∥β,l?α 解析:选 D 显然图中 α∥β,且 l?α.

3.平面 α∥平面 β,直线 a?α,则 a 与 β 的位置关系是________. 答案:平行

直线与平面的位置关系 [典例] 下列命题中,正确命题的个数是( )

①如果 a,b 是两条平行直线,那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面;

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

②如果直线 a 和平面 α 满足 a∥α,那么 a 与平面 α 内的任何一条直线平行; ③如果直线 a,b 满足 a∥α,b∥α,则 a∥b; ④如果直线 a,b 和平面 α 满足 a∥b,a∥α,b?α,那么 b∥α; ⑤如果平面 α 的同侧有两点 A,B 到平面 α 的距离相等,则 AB∥α. A.0 C.2 [解析] B.1 D.3 如图,在正方体 ABCDA′B′C′D′中,AA′∥BB′,

AA′ 在过 BB′ 的平面 ABB′A′ 内,故命题①不正确; AA′ ∥平面 BCC′B′,BC?平面 BCC′B′,但 AA′不平行于 BC,故命题②不 正确;AA′∥平面 BCC′B′,A′D′∥平面 BCC′B′,但 AA′与 A′D′相交,所以③不正确;④中,假设 b 与 α 相交,因为 a∥b,所以 a 与 α 相交,这与 a∥α 矛盾,故 b∥α,即④正确;⑤显然正确,故答案为 C. [答案] C

在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏.另外, 我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以 便于正确作出判断,避免凭空臆断.

[活学活用]
下列说法: ①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则 l∥α; ②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α; ③若直线 a∥b,b?α,则 a∥α; ④若直线 a∥b,b?α,那么直线 a 平行于平面 α 内的无数条直线. 其中正确的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析: 选 A 对于①, ∵直线 l 虽与平面 α 内无数条直线平行, 但 l 有可能在平面 α 内, ∴l 不一定平行于 α,①错误;对于②,∵直线 a 在平面 α 外包括两种情况:a∥α 和 a 与 α 相交,∴a 和 α 不一定平行,②错误;对于③,直线 a∥b,b?α,只能说明 a 和 b 没有公 共点,a 可能在平面 α 内,∴a 不一定平行于 α,③错误;对于④,∵a∥b,b?α,那么 a ?α 或 a∥α,a 与平面 α 内的无数条直线平行,④正确. 平面与平面的位置关系

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

[典例]

α,β 是两个不重合的平面,下面说法中正确的是(

)

A.平面 α 内有两条直线 a,b 都与平面 β 平行,那么 α∥β B.平面 α 内有无数条直线平行于平面 β,那么 α∥β C.若直线 a 与平面 α 和平面 β 都平行,那么 α∥β D.平面 α 内所有的直线都与平面 β 平行,那么 α∥β [解析] A、B 都不能保证 α,β 无公共点,如图(1)所示;C 中当 a∥α,a∥β 时,α 与

β 可能相交,如图(2)所示;只有 D 说明 α,β 一定无公共点,即 α∥β.

[答案]

D

两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似,可以从有无公共点区分:如 果两个平面有一个公共点,那么由公理 3 可知,这两个平面相交于过这个点的一条直线; 如果两个平面没有公共点,那么就说这两个平面互相平行.这样我们可以得出两个平面的 位置关系:①平行——没有公共点;②相交——有且只有一条公共直线.若平面 α 与 β 平 行,记作 α∥β;若平面 α 与 β 相交,且交线为 l,记作 α∩β=l.

[活学活用]
1.在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有________组互相平 行的面.与其中一个侧面相交的面共有________个. 解析:六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其直接相对的侧面平行,故共有 4 组 互相平行的面.六棱柱共有 8 个面围成,在其余的 7 个面中,与某个侧面平行的面有 1 个, 其余 6 个面与该侧面均为相交的关系. 答案:4 6 2.如图所示,平面 ABC 与三棱柱 ABCA1B1C1 的其他面之间有什么位置关系? 解:∵平面 ABC 与平面 A1B1C1 无公共点,∴平面 ABC 与平面 A1B1C1 平行. ∵平面 ABC 与平面 ABB1A1 有公共直线 AB, ∴平面 ABC 与平面 ABB1A1 相交.同理可得平面 ABC 与平面 ACC1A1 及平面 BCC1B1 均相交. 线面、面面交线问题

[典例] 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中, E, F 分别为 A1B1, B1C1 的中点. 求 证:平面 ACC1A1 与平面 BEF 相交.

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

[证明]

∵在矩形 AA1B1B 中,E 为 A1B1 的中点,

∴AA1 与 BE 不平行,则 AA1,BE 的延长线相交于一点,设此点为 G, ∴G∈AA1,G∈BE. 又 AA1?平面 ACC1A1,BE?平面 BEF, ∴G∈平面 ACC1A1,G∈平面 BEF, ∴平面 ACC1A1 与平面 BEF 相交.

判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点,如果没有公共 点,则两平面平行;如果可以找到一个公共点,则两平面相交.

[活学活用]
如图所示,G 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 DD1 延长线上的一点,E,F 是棱 AB, BC 的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线. (1)过点 G 及 AC;(2)过三点 E,F,D1.

解:(1)画法:连接 GA 交 A1D1 于点 M,连接 GC 交 C1D1 于点 N;连接 MN,AC,则 MA,CN,MN,AC 为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示. (2)画法:连接 EF 交 DC 的延长线于点 P,交 DA 的延长线于点 Q;连接 D1P 交 CC1 于点 M,连接 D1Q 交 AA1 于点 N;连接 MF,NE,则 D1M,MF,FE,EN,ND1 为所求 平面与正方体表面的交线.如图②所示.

层级一
A.2 对

学业水平达标
) B.3 对

1.正方体的六个面中互相平行的平面有(

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

C.4 对

D.5 对

解析:选 B 作出正方体观察可知,3 对互相平行的平面. 2.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是( A.相交 C.直线在平面内 B.平行 D.平行或直线在平面内 )

解析:选 A 延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知,三棱台的一条侧棱所在直线与其对 面所在的平面相交. 3.若 a∥α,b∥α,则直线 a,b 的位置关系是( A.平行或异面 C.相交或异面 )

B.平行或相交 D.平行、相交或异面

解析:选 D 若 a∥α,b∥α,则直线 a,b 的位置关系可能是平行、相交或异面. 4.若直线 a,b 是异面直线,且 a∥α,则直线 b 与平面 α 的位置关系是( A.b?α C.b 与 α 相交 B.b∥α D.以上都有可能 )

解析:选 D 首先明确空间中线、面位置关系有且只有三种:平行、相交、直线在平 面内.本题中直线 b 与平面 α 可能平行,可能相交,也可能在平面内,故选 D. 5.若 M∈平面 α,M∈平面 β,则 α 与 β 的位置关系是( A.平行 C.异面 B.相交 D.不确定 )

解析:选 B ∵M∈平面 α,M∈平面 β,∴α 与 β 相交于过点 M 的一条直线. 6.已知 a,b 是两条直线,α,β 是两个平面,则下列说法中正确的序号为________. ①若 a∥b,b?α,则直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线; ②若 α∥β,a?α,b?β,则 a 与 b 是异面直线; ③若 α∥β,a?α,则 a∥β; ④若 α∩β=b,a?α,则 a 与 β 一定相交. 解析:①中 a∥b,b?α,所以不管 a 在平面内或平面外,都有结论成立,故①正确; ②中直线 a 与 b 没有交点,所以 a 与 b 可能异面也可能平行,故②错误;③中直线 a 与平 面 β 没有公共点,所以 a∥β,故③正确;④中直线 a 与平面 β 有可能平行,故④错误. 答案:①③ 7.若直线 m 不平行于平面 α,且 m?α,则 m 与 α 的位置关系是________. 答案:相交 8.空间中三个平面将空间分成________部分. 解析:①当三个平面两两平行时,将整个空间分成 4 部分; ②当三个平面中有两个互相平行,且同时与第三个平面相交或三个平面两两相交有 1 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

条交线时,分成 6 部分; ③当三个平面两两相交且交线为 3 条互相平行的直线时,分成 7 部分; ④当三个平面两两相交于共点的三条直线时,分成 8 部分. 答案 4 或 6 或 7 或 8 9.如图,已知平面 α 和 β 相交于直线 l,点 A∈α,点 B∈α,点 C∈β, 且 A?l,B?l,直线 AB 与 l 不平行,那么,平面 ABC 与平面 β 的交线与 l 有什么关系?证明你的结论. 解:平面 ABC 与平面 β 的交线与 l 相交.证明如下: ∵AB 与 l 不平行,AB?α,l?α, ∴AB 与 l 是相交直线. 设 AB∩l=P,则点 P∈AB,点 P∈l. 又∵AB?平面 ABC,l?β, ∴P∈平面 ABC 且 P∈平面 β, 即点 P 是平面 ABC 与平面 β 的一个公共点. 而 C 也是平面 ABC 与平面 β 的一个公共点, 又∵P,C 不重合, ∴直线 PC 就是平面 ABC 与平面 β 的交线, 即平面 ABC∩平面 β=直线 PC.而直线 PC∩l =P, ∴平面 ABC 与平面 β 的交线与 l 相交. 10.三个平面 α,β,γ.如果 α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线 c?β,c∥b. (1)判断 c 与 α 的位置关系,并说明理由; (2)判断 c 与 a 的位置关系,并说明理由. 解:(1)c∥α.因为 α∥β,所以 α 与 β 没有公共点,又 c?β,所以 c 与 α 无公共点,则 c ∥α. (2)c∥a.因为 α∥β,所以 α 与 β 没有公共点.又 γ∩α=a,γ∩β=b,则 a?α,b?β, 且 a,b?γ,所以 a,b 没有公共点.因为 a,b 都在平面 γ 内,所以 a∥b,又 c∥b,所以 c ∥a.层层级一

应试能力达标
) B.相交 D.平行或相交

1.若直线 a,b 是异面直线,a?β,则 b 与平面 β 的位置关系是( A.平行 C.b?β

解析:选 D ∵a,b 异面,且 a?β,∴b?β,∴b 与 β 平行或相交. 2.与同一个平面 α 都相交的两条直线的位置关系是( A.平行 C.异面 B.相交 D.以上都有可能 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn )

解析:选 D 如图所示:

故相交、平行、异面都有可能. 3.已知 a,b,c 为三条不重合的直线,α,β 为两个不重合的平面. ①a∥c,b∥c?a∥b; ②a∥c,c∥α?a∥α; ③a∥β,a∥α?α∥β; ④a?α,b?α,a∥b?a∥α. 其中正确命题的个数是( A.2 C.4 ) B.3 D.5

解析:选 A 由公理 4,知①正确;对于②,可能 a∥α,也可能 a?α;对于③,α 与 β 可能平行,也可能相交;对于④,∵a?α,∴a∥α 或 a 与 α 相交.∵b?α,a∥b,故 a∥α. 4.以下命题(其中 a,b 表示直线,α 表示平面): ①若 a∥b,b?α,则 a∥α; ②若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ③若 a∥b,b∥α,则 a∥α; ④若 a∥α,b?α,则 a∥b. 其中正确命题的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:选 A 如图,在长方体 ABCDA′B′C′D′中,CD∥AB,AB ?平面 ABCD,但 CD?平面 ABCD,故①错误; A′B′∥平面 ABCD, B′C′∥平面 ABCD, 但 A′B′与 B′C′相交, 故②错误; AB∥A′B′,A′B′∥平面 ABCD,但 AB?平面 ABCD,故③错误; A′B′∥平面 ABCD,BC?平面 ABCD,但 A′B′与 BC 异面,故④错误. 5.空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线有________条. 解析:以打开的书面或长方体为模型,观察可得结论. 答案:1 或 3 6.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面的位置关系 是________.

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

解析:首先明确空间中线、面有且只有三种位置关系:平行、相交、直线在平面内.本 题中相交显然不成立,平行或直线在平面内都有可能. 答案:平行或直线在平面内 7.如图, 在正方体 ABCDA′B′C′D′中, P 是 A′D 的中点, Q 是 B′D′ 的中点,判断直线 PQ 与平面 AA′B′B 的位置关系,并利用定义证明. 解:直线 PQ 与平面 AA′B′B 平行. 连接 AD′,AB′,在△AB′D′中,∵PQ 是△AB′D′的中位线,平面 AB′D′∩平 面 AA′B′B=AB′,∴PQ 在平面 AA′B′B 外,且与直线 AB′ 平行,∴PQ 与平面 AA′B′B 没有公共点,∴PQ 与平面 AA′B′B 平 行.

8.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 AA1 的中点,画出过 D1, C,E 的平面与平面 ABB1A1 的交线,并说明理由. 解:如图,取 AB 的中点 F,连接 EF,A1B,CF. ∵E 是 AA1 的中点, ∴EF∥A1B. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,A1D1∥BC,A1D1=BC, ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形. ∴A1B∥CD1, ∴EF∥CD1. ∴E,F,C,D1 四点共面. ∵E∈平面 ABB1A1,E∈平面 D1CE, F∈平面 ABB1A1,F∈平面 D1CE, ∴平面 ABB1A1∩平面 D1CE=EF. ∴过 D1,C,E 的平面与平面 ABB1A1 的交线为 EF.

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn



更多相关文章:
...必修二:2.1空间点直线平面之间的位置关系》pp....ppt
人教A版2016年春高中数学必修二:2.1空间点直线平面之间的位置关系》ppt课件 - 【人教A版2016年春高中 数学必修二: 2.1空间点直线、平面...
2016新课标三维人教A版数学必修2 复习课() 空间几何....doc
2016新课标三维人教A版数学必修2 复习课() 空间几何体及点、线、面的位置关系 - 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn 复习课() 空间几何体及点、线、面...
人教A版数学必修二2.1空间点直线平面之间的位置....doc
人教A版数学必修二2.1空间点直线平面之间的位置关系》教案一 - 第二课时 §2.1.2 空间中直线直线之间的位置关系 一、教学目标: 1、知能目标 (1)...
...高中数学 2.1空间点,直线,平面之间的位置关系》....doc
新人教版必修二高中数学 2.1空间点,直线,平面之间的位置关系》 - §2.1.1 平面 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)利用生活中的实物对平面进行描述; (2...
...必修二2-1-1空间点直线平面之间的位置关系课件_....ppt
(新课标人教版A)数学必修二2-1-1空间点直线平面之间的位置关系课件_数学_高中教育_教育专区。(新课标人教版A)数学必修二2-1-1空间点直线、平面之间的...
人教A版数学必修二章《空间点直线平面之间的....doc
浙江省淳安县威坪中学高中数学章《空间点直线平面之间 的位置关系》练习题 新人教 A 版必修 2 姓名 1、 E、 F、 G、 H 是三棱锥 A-BCD 棱 AB...
...精品系列2.1空间点直线平面之间的位置关系课....ppt
人教版新课标高中数学必修二精品系列2.1空间点直线平面之间的位置关系课件 - 2.1.1平面 一、平面的概念 海面、湖面、桌面、黑板面、墙面 几何中的平面是...
2.1空间点,直线,平面之间的位置关系》教案(新人教必....doc
2.1空间点,直线,平面之间的位置关系》教案(新人教必修2). - 高考资源网
...必修二:2.1空间点直线平面之间的位置关系》(7....ppt
人教版高中数学必修二:2.1空间点直线平面之间的位置关系》(7)(29) - 空间点直线平面 之间的位置关系 新课导入 回顾旧知 同一平面内的直线有哪些...
...必修二:2.1空间点直线平面之间的位置关系》pp....ppt
人教A版】2015年秋高中数学必修二:2.1空间点直线平面之间的位置关系》ppt课件 - 2.1.1 平面 问题1:以上实物都给我们以平面的印象,那么,平面的含义...
人教A版数学必修二空间点直线平面之间的位置》....doc
人教A版数学必修二空间点直线平面之间的位置》提高训练 - 空间点直线、面的位置关系(提高训练) 1、若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同...
数学2.1.1《空间点,直线,平面之间的位置关系--平面....ppt
数学2.1.1《空间点,直线,平面之间的位置关系--平面》课件(新人教A版必修2) - 2.1.1 平面 空间点、直线、平面的位置关系 观察长方体,你能发现长方体...
2016新课标三维人教A版数学必修2 1.1 空间几何体的结构.doc
2016新课标三维人教A版数学必修2 1.1 空间几何体的结构_数学_高中教育_教育...共点 由平面图形 绕着它所在平面 空间几何体 旋转体 内的条定直线 ...
高中数学 2.1 空间点直线平面之间的位置关系 点共....doc
高中数学 2.1 空间点直线平面之间的位置关系 点共线与线共点素材 新人教A版必修2 - 点共线与线共点 我们时常遇到点共线和线共点的问题, 面对这类题目...
数学2.1.3《空间直线平面之间的位置关系》课件....ppt
数学2.1.3《空间直线平面之间的位置关系》课件(人教A版必修2)1_数学_高中教育_教育专区。2.1.3 空间直线平面 之间的位置关系 复习引入: 1、...
...数学必修二同步学习课件:第二章 点、直线平面之间的位置关系....ppt
人教A版高中数学必修二同步学习课件:第二章 点、直线平面之间的位置关系2.1.2_数学_高中教育_教育专区。第二章 §2.1 空间点直线平面之间的位置关系 2...
...必修2章《空间直线平面之间的位置关系》教....doc
最新人教版高中数学必修2第二章《空间直线平面之间的位置关系》教学设计 - 教学设计 2.1.3 空间直线平面之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间直线与...
2016新课标三维人教B版数学必修2 2.4 空间直角坐标系.doc
2016新课标三维人教B版数学必修2 2.4 空间直角坐标...(a,0,c)的形式( (3)空间直角坐标系中,点(1,...一般取相邻的三条棱所在直线为 x,y,z 轴建立空间...
...数学必修二章 点、直线平面之间的位置关系复....doc
人教A版高中数学必修二章 点、直线平面之间的位置关系复习 教案_高三...教学过程: 、知识结构 平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4) 空间直线...
...辅导讲义:2.1空间点直线平面之间的位置关系.doc
人教版高中数学必修二辅导讲义:2.1空间点直线平面之间的位置关系 - 该文档适合高二必修2新课,和教师辅导学生的讲义。特别符合学生自学,适用高效课堂的教案,提倡...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图