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从2009年上海各地高考数学模拟试题数列压轴题谈谈2010高考命题趋势


年上海各地高考模拟试题数列 数列压轴题谈谈 从 2009 年上海各地高考模拟试题数列压轴题谈谈 2010 高考命题趋势
2009 年上海高考已经结束,2010 届的高考的号角即将吹响,很多考生一头埋进全国高 考试题里去研究,我们不妨停下脚步,从各地的模拟试题当中掘金呢。模拟试题是各大市名 师或学科带头人的智慧的结晶,那我就从 2009 年上海各地模拟试题谈谈自己的看法吧。 首先看一道比较基础的压轴题:选自 2009.4 闸北区模拟题 将数列 {an } 中的所有项按第一行排 3 项,以下每一行比上一行多一项的规则排 成如下数表:

a1 a4 a8
……

a2 a5 a9

a3 a6 a10 a7

a11

a12

记表中的第一列数 a1 , a 4 , a8 ,… ,构成数列 {bn } . (Ⅰ)设 b8 = a m ,求 m 的值; (Ⅱ)若 b1 = 1 ,对于任何 n ∈ N ,都有 bn > 0 ,且 (n + 1)bn +1 ? nbn + bn +1bn = 0 .求数
2 2
?

列 {bn } 的通项公式;

(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列 {bn } ,若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为

2 ? ,求上表中第 k ( k ∈ N )行所有项的和 S ( k ) . 5 [解](Ⅰ)由题意, m = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 = 43 解
q (q > 0) 的等比数列,且 a 66 =
2 2

(Ⅱ)由 (n + 1)bn +1 ? nbn + bn +1bn = 0 , bn > 0 令t =

a n+1 得 t > 0 ,且 ( n + 1)t 2 + t ? n = 0 an

即 (t + 1)[(n + 1)t ? n] = 0 , 所以

bn +1 n = bn n +1 b b2 1 b3 2 n ?1 = , = ,..., n = bn ?1 n b1 2 b2 3
1 n

因此

将各式相乘得 bn =

(Ⅲ)设上表中每行的公比都为 q ,且 q > 0 .因为 3 + 4 + 5 + ? ? ? + 11 = 63 , 所以表中第 1 行至第 9 行共含有数列 {bn } 的前 63 项,故 a 66 在表中第 10 行第三列, 因此 a 66 = b10 ? q =
2

2 1 .又 b10 = ,所以 q = 2 .则 5 10

bk (1 ? q k + 2 ) 1 k + 2 S (k ) = = (2 ? 1) . k ∈ N ? 1? q k

【思考】第二问中为什么不用数学归纳法呢,我们姑且先猜猜。 思考】 由 b1 = 1 且 (n + 1)bn +1 ? nbn + bn +1bn = 0 知
2 2

1 2 1 2b32 + b3 ? 1 = 0 ,Q b3 > 0 ,∴b3 = 2 1 ? 因此,可猜测 bn = ( n ∈ N ) n 1 1 代入原式左端得 将 bn = , bn +1 = n n +1
2 2b2 + b2 ? 1 = 0 ,Q b2 > 0 ,∴b2 =

左端 =

1 1 1 ? + =0 n + 1 n n(n + 1) 1 为数列的通项. n

即原式成立,故 bn =

『经验探究』看到第二问中比较复杂的式子,我们应该想想,是不是可以先猜猜他的结果, 经验探究』看到第二问中比较复杂的式子,我们应该想想,是不是可以先猜猜他的结果, 如果猜中了,但是不会做,我还可以得一分,高考有时一分就决定一个人命运呀。 如果猜中了,但是不会做,我还可以得一分,高考有时一分就决定一个人命运呀。如果猜 出结果,想想数学归纳法,因为答案上有很多方法很妙的,在考场中很难想到, 出结果,想想数学归纳法,因为答案上有很多方法很妙的,在考场中很难想到,我们换种 思维,就能寻找解题的捷径。 思维,就能寻找解题的捷径。

很多出题人很喜欢在压轴题中混合上很多的知识点, 很多出题人很喜欢在压轴题中混合上很多的知识点,而且混合上的每一个知识点都有些难 喜欢在压轴题中混合上很多的知识点 向量与数列的综合再也普通不过了,但是最后一问来点数论的知识, 度。向量与数列的综合再也普通不过了,但是最后一问来点数论的知识,题目档次就上去 长宁区的一道题目。 了,让我们来看看 2009.4 长宁区的一道题目。

设 x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是 i 、 j , 坐标平面上点列 An 、Bn (n ∈ N ? ) 分 别 满 足 下 列 两 个 条 件 : ① OA1 = j 且 An An+1 = i + j ; ② OB1 = 3 i 且
→ → 2 Bn Bn +1 = ( ) n × 3 i . 3



















(1)求 OA2 及 OA3 的坐标,并证明点 An 在直线 y = x + 1 上; (2)若四边形 An Bn Bn +1 An+1 的面积是 a n ,求 a n (n ∈ N ? ) 的表达式; (3)对于(2)中的 a n ,是否存在最小的自然数 M ,对一切 n ∈ N ? 都有 a n < M 成立?若存在,求 M ;若不存在,说明理由. 解
→ → → → → → → → → → →





OA2 = OA1 + A1 A2 = j + ( i + j ) = i + 2 j = (1,2)
→ → → → → →



OA3 = OA2 + A2 A3 = i + 2 j + ( i + j ) = 2 i + 3 j = (2,3)

所 以 An (n ? 1, n) , 它 满 足直 线方程 y = x + 1 , 因此 点 An 在 直 线 y = x + 1 上。 (2)

。 设直线 y = x + 1 交 x 轴于 P (?1,0) ,




2 2 a n ? a n +1 = [5 + (n ? 2) × ( ) n ?1 ] ? [5 + (n ? 1)( ) n ] 3 3 2 n ?1 2 n ? 4 2 n ?1 = ( ) [(n ? 2) ? (n ? 1) × ( )] = ×( ) 3 3 3 3

等 即在数列 中, a 4 = a 5 = 5 +
16 是数列的最大项, 27

所以存在最小的自然数

,对一切

都有

<M 成立.

[思考] 这道题目其实难度不大,但是许多考生容易做懵,为什么呢,没耐心呗。 思考] 这道题目其实难度不大,但是许多考生容易做懵,为什么呢,没耐心呗。 当时我在监考的时候,我发现考场很多考生这道题目空在那儿, 当时我在监考的时候,我发现考场很多考生这道题目空在那儿,倒把下面一道 比较难的解析几何题目解出来了,后来我问这个学生原因,学生说太烦了, 比较难的解析几何题目解出来了,后来我问这个学生原因,学生说太烦了,而 且弄不好就错,与其花那么多力气做错一题,不如先做下面一题。 且弄不好就错,与其花那么多力气做错一题,不如先做下面一题。我可以明确 告诉每位考生,高考繁琐的计算,易错的陷阱题肯定有的, 的告诉每位考生,高考繁琐的计算,易错的陷阱题肯定有的,平时训练就要耐 心做下去。 心做下去。 数列中对奇偶数的讨论往往是压轴题目的难点所在, 数列中对奇偶数的讨论往往是压轴题目的难点所在,稍微有些错误就会前功尽 崇明县的模拟试题: 弃,下面看看 2009.4 崇明县的模拟试题:
已知数列 {a n } 中的相邻两项 a 2 k ?1 , a 2 k ( k = 1,2,3L )是关于 x 的方程
x 2 ? ( 4k + 2 + 2 k ) x + (2k + 1) × 2 k +1 = 0 的两个根,且 a 2 k ?1 ≤ a 2 k ( k = 1,2,3, L ).

(1)求 a1 , a 2 , a 3 , a 4 的值;

(2)求数列 {a n } 的通项 a n ; (3)求数列 {a n } 的前 n 项的和 S n . 解:(1)由 (x ? (4k + 2))(x ? 2 ) = 0 可知方程两根为 4k + 2, 2
k k

k = 1 , a1 = 2 , a2 = 6 k = 2 , a3 = 4 , a 4 = 10
+ ? n2 1 ? 2 , n 为奇数 an = ? (2)(理)当 k ≤ 4 ,即 n ≤ 8 时, ?2n + 2, n 为偶数 ?

?2n + 4, n 为奇数 ? a =? n 当 k ≥ 5 ,即 n ≥ 9 时, n ? 2 2 , n 为偶数 ?
+ ? n2 1 ? 2 , n 为奇数 an = ? (3)(理)当 k ≤ 4 ,即 n ≤ 8 时, , ?2n + 2, n 为偶数 ?

ⅰ)当 n

= 2k , k ∈ N

为偶数时,

sn =

2(1 ? 2k ) k (6 + 4k + 2) + = 2k +1 ? 2 + 2k 2 + 4k 1?2 2

=2
ⅱ)当 n

n +1 2

n2 ?2+ + 2n 2
为奇数时,

= 2k ? 1, k ∈ N
n ?1 +1 2

sn =

2

?2+

(n ? 1) 2
2

+ 2 (n ? 1) + 2

n +1 2

=2

n +3 2

+

(n ? 1) 2
2

+ 2n ? 4

?2n + 4, n 为奇数 ? an = ? n 当 k ≥ 5 ,即 n ≥ 9 时, ? 2 2 , n 为偶数 ?
ⅰ)当 n

= 2k , k ∈ N ? 为偶数时,

sn =

2(1 ? 2k ) k (6 + 4k + 2) + = 2k +1 ? 2 + 2k 2 + 4k 1?2 2
n +1 2

=2
ⅱ)当 n

?2+

n2 + 2n 2

= 2k ? 1, k ∈ N ? 为奇数时,
n ?1 +1 2

sn =

2

?2+

(n ? 1) 2
2 + 4n

+ 2 (n ? 1) + 2n

+4

=2

n +3 2

+

(n ? 1) 2
2

2008, 【思考】其它各省市对数列中奇偶数的讨论已经淡化了,但是 2008,2009 上海 思考】其它各省市对数列中奇偶数的讨论已经淡化了, 卷中依旧有奇偶数讨论的影子,讨论作为一种思想方法,是不会淡出 淡出高考舞台 卷中依旧有奇偶数讨论的影子,讨论作为一种思想方法,是不会淡出高考舞台 这需要我们一定的耐心和信心。 的,这需要我们一定的耐心和信心。其实最具代表性奇偶讨论的题目是 2009 年 南京一模的第 20 题,
南京一模) (2009 南京一模)在数列 {a n } 中,已知 a1 = p > 0 ,且, n ∈ N (1) 若数列 {a n } 为等差数列,求 p 的值。 (2) 求数列 {a n } 的前 n 项和 S n 解:(1)设数列 {a n } 的公差为 d ,则 a n = a1 + ( n ? 1) d , a n +1 = a1 + nd , 依题得: [ a1 + ( n ? 1) d ](a1 + nd ) = n 2 + 3n + 2 ,对 n ∈ N 恒成立。 即: d n + ( 2a1 d ? d )n + ( a1 ? a1 d ) = n + 3n + 2 ,对 n ∈ N 恒成立。
2 2 2 2 2
? ?

? d2 =1 ? d = 1 ? d = ?1 ? 所以 ?2a1 d ? d 2 = 3 ,即: ? 或? ?a1 = 2 ?a1 = ?2 ?a 2 ?a d = 2 1 ? 1

Q a1 = p > 0 ,故 p 的值为 2。
(2)Q a n +1 ? a n = n + 3n + 2 = ( n + 2)(n + 3)
2

∴ a n + 2 ? a n +1 = (n + 2)(n + 3)

所以,

a n+2 n + 3 = an n +1

① 当 n 为奇数,且 n ≥ 3 时,

a3 4 a5 6 a n +1 = , = ,LL, n = 。 a1 2 a3 4 an?2 n ? 1

相乘得

an n + 1 n +1 , 所以 a n = = p. 当 n = 1 也符合。 2 a1 2 a a a4 5 7 n +1 = , 6 = LL n = a2 3 a4 5 an?2 n ? 1

② 当 n 为偶数,且 n ≥ 4 时,

相乘得

an n + 1 n +1 = , 所以 a n = a2 a2 3 3
6 2(n + 1) 。因此 a n = ,当 n = 2 时也符合。 p p

Q a1 ? a 2 = 6 ,所以 a 2 =

? n +1 p, n为奇数 ? ? 所以数列 {a n } 的通项公式为 a n = ? 2 。 2(n + 1) , n为偶数 ? ? p ?
当 n 为偶数时,

n n n (1 + ) (3 + n + 1) 6 10 n 2(n + 1) 2 2 +2?2 S n = p + + 2 p + + LL + p + = p? p p 2 p 2 p 2
= n ( n + 2) n ( n + 4) p+ 8 2p

当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数,

S n = S n?1 + a n = =

(n ? 1)(n ? 1 + 2) (n ? 1)(n ? 1 + 4) n + 1 p+ + p 8 2p 2

(n + 1)(n + 3) (n ? 1)(n + 3) p+ 8 2p

所以

(n ? 1)(n + 3) ? (n + 1)(n + 3) p+ , n为奇数 ? ? 8 2p Sn = ? n ( n + 2) n ( n + 4) ? p+ ,n 为偶数 ? 8 2p ?

思考】本道题目当中引入了字母计算,这就使题目抽象多了,题目抽象没关系, 【思考】本道题目当中引入了字母计算,这就使题目抽象多了,题目抽象没关系,只要你 有耐心一定能迎刃而解,我们再看看扬州中学 2009.2 的月考试题,这上面的奇偶讨论就比 有耐心一定能迎刃而解, 的月考试题, 较刁钻了: 较刁钻了:

月月考) (2009 扬州中学 2 月月考)已知 a 为实数,数列 {an } 满足 a1 = a ,当 n ≥ 2 时,

?an ?1 ? 3 an = ? ?4 ? an ?1

(an ?1 > 3) (an ?1 ≤ 3)


(Ⅰ) 当a = 100 时,求数列{an }的前100项的和S100 ;(5 分) (Ⅱ)证明:对于数列 {an } ,一定存在 k ∈ N ,使 0 < ak ≤ 3 ;(5 分)
*

(Ⅲ)令 bn =

n an 20 + a ,当 2 < a < 3 时,求证: ∑ bi < . (6 分) n n 2 ? (?1) 12 i =1

由题意知数列 {an } 的前 34 项成首项为 100,公差为-3 的等差数列, 解: (Ⅰ)当a = 100 时, 从第 35 项开始,奇数项均为 3,偶数项均为 1,从而

S100 =

(100 + 97 + 94 + L + 4 + 1) (3 + 1 + L + 3 + 1) ……(3 分) + 共34项 共66项 (100 + 1) × 34 66 = + (3 + 1) × = 1717 + 132 = 1849 . …………(5 分) 2 2

(Ⅱ)证明:①若 0 < a1 ≤ 3 ,则题意成立…………………(6 分) ②若 a1 > 3 ,此时数列 {an } 的前若干项满足 an ? an ?1 = 3 ,即 an = a1 ? 3( n ? 1) . 设 a1 ∈ ( 3k ,3k + 3] , ( k ≥ 1, k ∈ N ) ,则当 n = k + 1 时, ak +1 = a1 ? 3k ∈ ( 0,3] .
*

从而此时命题成立…… (8 分) ③若 a1 ≤ 0 ,由题意得 a2 = 4 ? a1 > 3 ,则由②的结论知此时命题也成立. 综上所述,原命题成立……………(10 分) (Ⅲ)当 2 < a < 3 时,因为 an = ?

? a (n为奇数) , ?4 ? a(n为偶数)
(n为奇数)
……………(11 分)

a ? n ? 2 ? (?1) n an ? 所以 bn = n =? n 2 ? (?1) ? 4 ? a ? 2n ? (?1) n ?

(n为偶数)

因为 bn >0,所以只要证明当 n ≥ 3 时不等式成立即可. 而 b2 k ?1 + b2 k =

4 ? a a ? 22 k ?1 + 22 k +1 + (4 ? 2a ) = 22 k ?1 + 1 22 k ? 1 (22 k ?1 + 1)(22 k ? 1) a +

<

a ? 2 2 k ?1 + 22 k +1 a ? 22 k ?1 + 22 k +1 a + 4 < = 2 k ………(13 分) 24 k ?1 + 22 k ?1 ? 1 2 4 k ?1 2

①当 n = 2k (k ∈ N 且k ≥ 2) 时,
*

∑ bi = b1 + b2 + ∑ bi <
i =1 i =3

2k

2k

a 4?a a+4 a+4 a+4 + + ( 2×2 + 2×3 + ??? + 2×k ) 3 3 2 2 2

1 k ?1 1 1 (1 ? ( ) k ?1 ) 4 (a + 4) × (1 ? ( ) ) 4 a + 4 20 + a 4 4 4 4 = . ……(15 分) = + < + = + (a + 4) × 2 12 1 3 12 3 12 3 1? 4
②当 n = 2k ? 1( k ∈ N *且k ≥ 2) 时,由于 bn >0,所以
2 k ?1

∑ bi < ∑ bi <
i =1 i =1

2k

20 + a . 12

综上所述,原不等式成立………(16 分) 思考】虽然很刁钻,但是上海卷很喜欢出这种刁钻的题目,说难也只不过如此, 【思考】虽然很刁钻,但是上海卷很喜欢出这种刁钻的题目,说难也只不过如此,就是考 生在考场里愿不愿意做,肯不肯做,能不能静下心来把思路理清楚。 生在考场里愿不愿意做,肯不肯做,能不能静下心来把思路理清楚。

有些地方的奇偶讨论还要来点分类讨论,你不能含糊,含糊了你自己做着做着就糊涂了, 有些地方的奇偶讨论还要来点分类讨论,你不能含糊,含糊了你自己做着做着就糊涂了, 奉贤区的一道试题: 下面我们看看 2009.4 奉贤区的一道试题: 其中 m = ( 2 x ? b,1) ,n = (1, b + 1) , 点列 Pn ( a n , bn ) 已知点集 L = {( x, y ) | y = m ? n} , 在 L 中, P1 为 L 与 y 轴的交点,等差数列 {a n } 的公差为 1, n ∈ N 。 (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 f ( n) = 令 S n = f (1) + f (2) + f (3) + L + f ( n) ;试用解析式写出 ,
?





Sn 关于 n 的函数。
(3)若 f ( n) = , 给定常数 m( m ∈ N * , m ≥ 2 ),是否存在 k ∈ N ,使得
?

f (k + m) = 2 f (m) ,若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由。
(1)y= · =(2x-b)+(b+1)=2x+1 -----(1 分) -----(1 分) -----(1 分) -----(1 分)

y = 2 x + 1 与 x 轴的交点 P (a1 , b1 ) 为 (0,1) ,所以 a1 = 0 ; 1
所以 an = a1 + ( n ? 1) × 1 ,即 an = n ? 1 , 因为 Pn ( an , bn ) 在 y = 2 x + 1 上,所以 bn = 2an + 1 ,即 bn = 2n ? 1 (2)设 f ( n) = {

an (n = 2k ? 1) * ( k ∈ N ), bn (n = 2k )

即 f ( n) = {

n ? 1 (n = 2k ? 1) ( n = 2k )

2n ? 1

(k ∈N )
*

----(1 分)

(A)当 n = 2k 时, S n = S 2 k = a1 + b2 + a3 + b4 + .... + a2 k ?1 + a2 k = ( a1 + a3 + ... + a2 k ?1 )

+ (b2 + b4 + ... + b2 k )
=

----(1 分) ----(1 分) ----(1 分) ----(1 分) ----(1 分)

0 + 2k ? 2 3 + 4k ? 1 n 3 ×k + × k = 3k 2 ,而 k = ,所以 S n = n 2 2 2 2 4

(B)当 n = 2k ? 1 时, S n = S 2 k ?1 = ( a1 + a3 + ... + a2 k ?1 ) + (b2 + b4 + ... + b2 k ? 2 )

0 + 2k ? 2 3 + 4k ? 5 ×k + × (k ? 1) = 3k 2 ? 4k + 1 , 2 2 n +1 3 2 n 1 ,所以 S n = n ? ? 而k = 2 4 2 4
=

?3 2 n 1 ? 4 n ? 2 ? 4 , n = 2k ? 1 ? * 因此 S n = ? (k ∈N ) ? 3 n 2 ,    ,n = 2k ?4 ?
?

----(1 分)

(3)假设 k ∈ N ,使得 f ( k + m) = 2 f ( m) , (A) m 为奇数 ( 一 ) k 为 奇 数 , 则 k + m 为 偶 数 。 则 f ( m) = m ? 1 , f ( m + k ) = 2( m + k ) ? 1 。 则

2(m + k ) ? 1 = 2(m ? 1) ,解得: k =

1 * 与 k ∈ N 矛盾。 2

----(1 分)

( 二 ) k 为 偶 数 , 则 k + m 为 奇 数 。 则 f ( m) = 2m ? 1 , f ( m + k ) = ( m + k ) ? 1 。 则

(m + k ) ? 1 = 2(2m ? 1) ,解得: k = 3m ? 1 ( 3m ? 1 是正偶数)。
(B) m 为偶数

----(1 分)

( 一 ) k 为 奇 数 , 则 k + m 为 奇 数 。 则 f ( m) = m ? 1 , f ( m + k ) = ( m + k ) ? 1 。 则

(m + k ) ? 1 = 2(m ? 1) ,解得: k = m ? 1 ( m ? 1 是正奇数)。

----(1 分)

( 二 ) k 为 偶 数 , 则 k + m 为 偶 数 。 则 f ( m) = 2m ? 1 , f ( m + k ) = 2( m + k ) ? 1 。 则

1 2(m + k ) ? 1 = 2(2m ? 1) ,解得: k = m ? 与 k ∈ N * 矛盾。 2

----(1 分)

由此得:对于给定常数 m( m ∈ N * , m ≥ 2 ),这样的 k 总存在;当 m 是奇数时, k = 3m ? 1 ; 当 m 是偶数时, k = m ? 1 。 ----(1 分)

【思考】听奉贤区教改主任说,这道题目整个区的得分率就很低,不得不调细评分细则, 思考】听奉贤区教改主任说,这道题目整个区的得分率就很低 不得不调细评分细则, 尽量给分,很多学生做着做着就摸不清东西南北了,糊涂了,全糊在里面了, 尽量给分,很多学生做着做着就摸不清东西南北了,糊涂了,全糊在里面了,如果给考生 两个小时,静下心来好好做这一道题目,那么我可以保证很多人能多得 10 分。 两个小时,静下心来好好做这一道题目,

【预测】这几年上海高考数学的数列压轴题都很难,有些题目的方法很妙,但是我们说在 预测】这几年上海高考数学的数列压轴题都很难,有些题目的方法很妙, 现在基础上提高 5-8 分还是有可能的,数列压轴题目依旧会和前面的函数,向量,解析几 - 分还是有可能的,数列压轴题目依旧会和前面的函数,向量, 何等等综合,但是记住讨论这种思想方法,奇偶讨论,参数讨论,分类讨论等等很重要, 何等等综合,但是记住讨论这种思想方法,奇偶讨论,参数讨论,分类讨论等等很重要, 如果压轴题不涉及讨论,只是奇妙的方法搞你,那就不是高考题目, 如果压轴题不涉及讨论,只是奇妙的方法搞你,那就不是高考题目,那是比奥赛还奥赛的 奥赛题目,希望大家在平时训练中关注这种方法 在平时训练中关注这种方法, 奥赛题目,希望大家在平时训练中关注这种方法,衷心祝愿 2010 届考生能在这个方面有所 突破。 突破。


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