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立体几何公式


解立体几何有两种方法,一种是几何法, 解立体几何有两种方法,一种是几何法,一种是代数法
1.几何法 顾名思义,就是像初中学平面几何那样,通过空间想象来找角,边。这种方法比较简单,直 观,写的步骤少而且算数容易。当让对应的要求,你必须有很高的空间想象力。尤其不要自 以为是以为他是直角,就按照直角来算,一定要有根据,要注意 一,所要计算的角是否在一个面上。 二,两条边所组成的角是否是一个平面的角 三,定理一定要非常的熟练,并且能延伸 2.代数法 代数法就比较简单了,通过向量建系计算。攻无不克。 但要注意: 一,要仔细,有条理。算错一个数就全错了。

二, 建系的时候, 要看清直角关系, 尽量找一个三条边都相互垂直的角来建系, , 实在没有也最

其实立体几何不难,重要的是掌握方法,多练习, 其实立体几何不难,重要的是掌握方法,多练习,多思考
遇到的问题主要有:求空间距离;求空间角度(线面角、二面角、异面直线缩成的角)--注 意范围 遇到问题,主要考虑的有: 1、几何法 即通常找辅助县。基本从平行线、中点等方面考虑,进而转化为平面问题。 2、向量法 这种方法比较死板,一般有垂直或知道角度时使用。可用于求角度问题 3、坐标法 这种方法可用范围较广,须建立空间直角坐标系。和几何法比较,计算量大,但是思考过程 简单,一般有三条直线两两垂直时使用。在距离、角度等方面都有很好的效果。 我也是高二, 立体几何这章学完了, 这些都是总结后的一些方法。 基本从这几个方面想问题, 大题都一般可以解决。至於选择填空,就要方法灵活些了。 一点经验,希望有用。

先做个例子, 先做个例子,比如怎么解决二面角问题
二面角类问题,找二面角的时候,估计百分之八九十都是先找一个面的垂线,再过垂足或与 另外一个面的交点向交线做垂线, 再连接。 根据三垂线定理就可以证明那两条线的夹角就是 二面角了。 说的你可能有点迷糊(我已经迷糊了),给你个题,你看看这个题,应该就明白了这个题我 没解出来,但是找到二面角了。 记住,找二面角就是找一个面的垂线 看完这个估计以后你做有关二面角的问题就比较自如了,只要也可以达到 85%,先找有没 有已知的垂线,如果没有,再想办法做垂线,然后就是三垂线定理

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做空间几何,首先是定义,一定要熟悉,只有这样,你才能应用自如,我们老师跟我们说过 一句话,看到求证想判定,看到结论想性质,意思就是如果求证线面垂直,面面垂直一类的 问题,就去想判定定理,判定定理是怎么说的,就根据判定定理需要的条件入手,去解决问 题,这样你就会有一定的思路,解决问题也会更加容易。而看见结论想性质,就是说,如果 题目已经说了面面垂直一类的结论, 那么就要去想面面垂直的性质, 垂直于交线就垂直于面, 往往利用性质就很容易解题了。你一定要把书上的定义记住了,再找几个类型题,做一做, 你就会找到感觉了 还有一点,比如你遇到二面角的问题, 根据上面说的方法, 你找不到二面角, 一般情况下(我 说的是一般情况下,也有一定的可能是不需要垂线的,但是我还没见过)不要去想其他的方 法,就是去找垂线 你可能不信,但是只要你做题的时候坚持一两次,你就会坚信这个观点。 我也只能说这些了,其实我的成绩也不算太好,不能帮你太多,平时要注意与你们班上学习 好的同学交流,问问他们怎么学,这对你很有帮助 哦,对了,还有一种方法,就是找不到垂线的时候,使用空间向量,也比较简洁 把定理记住是一定的, 并且在做题的过程中要善于总结各个定理的使用及配合, 比如求二面 角,首先找两面的交线,然后找垂直这个直线的其它相关直线,一般求二面角的题会跟三垂 线定理联系在一起,再比如证平行的问题,一般在一些相似三角形里,如果题目没有,就去 构造。还有建议把空间向量学一学,如果实在没思路的话,也可以利用空间向量解决 判断二面角的平面角是锐角还是钝角应该不难,你看着它像锐角,就说它是锐角就行,不用特 别去证明~

用向量法求二面角大小,主要是用公式 用向量法求二面角大小 主要是用公式
cosA=a*b/(|a|*|b|) a,b 要分别取这构成二面角的两个平面的法向量,可能不止一个,取最简单的那个,然后两分别 算出它们的模,即|a|,|b|,再代入公式即可 算出 cosA 的值后,再根据前面的判断 若是锐角,而算得 cosA>0,则所求角为 A 若是锐角,而算得 cosA<0,则所求角为(派-A) 若是钝角,而算得 cosA>0,则所求角为(派-A) 若是钝角,而算得 cosA<0,则所求角为 A 注:A 就是所选的两个法向量的夹角~

高中立体几何梳理 看完立 无难题!!!) 高中立体几何梳理(看完立即无难题 几何梳理 看完立即
基本概念 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理 3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。 推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。
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等角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同, 那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系:空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、 空间两直线的位置关系:空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类: (1)共面: 平行、 相交 (2)异面: 异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理: 用平面内一点与平面外一点的直线, 与平面内不经过该点的直线是异面 直线。 两异面直线所成的角:范围为 ( 0°,90° ) esp. 空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类: (1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点—— 平行或异面 直线和平面的位置关系: 直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、 直线和平面的位置关系: 直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面 平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的 角为 0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90° ] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它 也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义:如果一条直线 a 和一个平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说 直线 a 和平面 互相垂直.直线 a 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 a 的垂面。 直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条 直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行——没有公共点 直线和平面平行的定义: 如果一条直线和一个平面没有公共点, 那么我们就说这条直线和这 个平面平行。 直线和平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条 直线和这个平面平行。 直线和平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平 面相交,那么这条直线和交线平行。 两个平面的位置关系: 两个平面的位置关系: (1)两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点 (2)两个平面的位置关系:
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两个平面平行-----没有公共点; 两个平面相交-----有一条公共直线。 a、平行 两个平面平行的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两 个平面平行。 两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行。 b、相交 二面角 (1) 半平面:平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面。 (2) 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范 围为 [0°,180° ] (3) 二面角的棱:这一条直线叫做二面角的棱。 (4) 二面角的面:这两个半平面叫做二面角的面。 (5) 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 (6) 直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp. 两平面垂直 两平面垂直的定义:两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。记 为 ⊥ 两平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂 直 两个平面垂直的性质定理: 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于交线的直线垂 直于另一个平面。 Attention: 二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法 向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)

多面体
棱柱 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每两个四边形的公共边都互相 平行,这些面围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的性质 (1)侧棱都相等,侧面是平行四边形 (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 (3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形 棱锥 棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几 何体叫做棱锥 棱锥的性质: (1) 侧棱交于一点。侧面都是三角形 (2) 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱 锥高的比的平方 正棱锥
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正棱锥的定义:如果一个棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面的中心,这 样的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质: (1)各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相 等,它叫做正棱锥的斜高。 (3) 多个特殊的直角三角形 esp: a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥,由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三 角形的垂心。 b、四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直,则可得第三对也互相垂直。且顶点在底 面的射影为底面三角形的垂心。 Attention: 1、 注意建立空间直角坐标系 2、 空间向量也可在无坐标系的情况下应用 多面体欧拉公式:V(角)+F(面)-E(棱)=2 正多面体只有五种:正四、六、八、十二、二十面体。 球 attention: 1、 球与球面积的区别 2、 经度(面面角)与纬度(线面角) 3、 球的表面积及体积公式 4、 球内两平行平面间距离的多解性 最主要的还是 第一;自信 第二;放好心态 第三;好好复习,不胡乱想与学习无关的事 第四;放松一下,不要紧张 第五;迎接高考把 祝你成功!!! 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 (1)判定直线在平面内的依据 (2)判定点在平面内的方法 公理 2: 如果两个平面有一个公共点, 那它还有其它公共点, 这些公共点的集合是一条直线 。 (1)判定两个平面相交的依据 (2)判定若干个点在两个相交平面的交线上 公理 3:经过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 (1)确定一个平面的依据 (2)判定若干个点共面的依据

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推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且仅有一个平面。 (1)判定若干条直线共面 的依据 (2)判断若干个平面重合的依据 (3)判断几何图形是平面图形的依据 推论 2:经过两条相交直线,有且仅有一个平面。 推论 3:经过两条平行线,有且仅有一个平面。 立体几何 直线与平面 空 间 二 直 线 平行直线 公理 4:平行于同一直线的两条直线互相平行 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相 等。 异面直线 空 间 直 线 和 平 面 位 置 关 系 (1)直线在平面内——有无数个公共点 (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点 (3)直线和平面平行——没有公共点 立体几何 直线与平面 直线与平面所成的角 (1)平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线与平面所成的角 (2)一条直线垂直于平面,定义这直线与平面所成的角是直角 (3)一条直线和平面平行,或在平面内,定义它和平面所成的角是 00 的角 三垂线定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条 斜线垂直 三垂线逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线 的射影垂直 空间两个平面 两个平面平行 判定 性质 (1)如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (2)垂直于同一直线的两个平面平行 (1)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 (2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 (3)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面

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相交的两平面 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线 叫二面角的线,这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分另作垂直棱的两条射线,这 两条射线所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 两平面垂直 判定 性质 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直 (1)若二平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 (2)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线,在第一个 平面内

立体几何 多面体、棱柱、棱锥 多面体 定义 由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。 棱柱 斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱:侧棱与底面垂直的棱柱。 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。 棱锥 正棱锥:如果棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的 棱锥叫正棱锥。 球 到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。 欧拉定理 简单多面体的顶点数 V,棱数 E 及面数 F 间有关系:V+F-E=2

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