9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 高三数学 >>

专题一:求函数值域十六法


求函数值域方法 函数值域方法
求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一,也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少 量求定义域的例题、习题,而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往 往需要综合用到众多的知识内容,技巧性强,有很高的难度,因此求函数的值域或最值的方法需要我们在 后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法,仅作抛砖引玉吧。 一、基本知识 1. 定义:因变量 y 的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合) 。 2. 函数值域常见的求解思路: ⑴.划归为几类常见函数,利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵.反解函数,将自变量 x 用函数 y 的代数式形式表示出来,利用定义域建立函数 y 的不等式,解不 等式即可获解。 ⑶.可以从方程的角度理解函数的值域,如果我们将函数 y = f ( x) 看作是关于自变量 x 的方程,在 值域中任取一个值 y0 , y0 对应的自变量 x0 一定为方程 y = f ( x) 在定义域中的一个解,即方程 y = f ( x) 在定义域内有解;另一方面,若 y 取某值 y0 ,方程 y = f ( x) 在定义域内有解 x0 ,则 y0 一定为 x0 对应的 函数值。从方程的角度讲,函数的值域即为使关于 x 的方程 y = f ( x) 在定义域内有解的 y 得取值范围。

特别地,若函数可看成关于 x 的一元二次方程,则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件, 利用判别式求出函数的值域。 ⑷.可以用函数的单调性求值域。 ⑸.其他。 3. 函数值域的求法 (1) 直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y = f ( x ) 的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观 ) 直接法: 、 观察,准确判断函数值域的方法。 例 1:求函数 y = 例 2:求函数 y = 例 3:求函数 y =

x ? 1 + x + 1, ( x ≥ 1) 的值域。 x 2 + 6 x + 10 的值域。
x + 1 的值域。

? 2, +∞ ?

)

[1, +∞ )

解:∵ x ≥ 0 ,∴ x + 1 ≥ 1 , ∴函数 y =

x + 1 的值域为 [1, +∞ ) 。

2 (2) 配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F ( x ) = af ( x ) + bf ( x ) + c 的函数的值 ) 配方法: 、

域问题,均可使用配方法。 例 1:求函数 y = ? x 2 + 4 x + 2 ( x ∈ [?1,1] )的值域。
2 2 解: y = ? x + 4 x + 2 = ?( x ? 2) + 6 ,

∵ x ∈ [?1,1] ,∴ x ? 2 ∈ [?3, ?1] ,∴ 1 ≤ ( x ? 2) ≤ 9
2 2 ∴ ?3 ≤ ?( x ? 2) + 6 ≤ 5 ,∴ ?3 ≤ y ≤ 5

∴函数 y = ? x + 4 x + 2 ( x ∈ [?1,1] )的值域为 [?3,5] 。
2

(3) 最值法:对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 ) 最值法: . 例 1 求函数 y=3-2x-x2 的值域。 解:由 3-2x-x2≥0,解出定义域为[-3,1] 函数 y 在[-3,1]内是连续的,在定义域内由 3-2x-x2 。 最大值为 4,最小值为 0。 ∴函数的值域是[0,2] 例 2:求函数 y = 2 , x ∈ [ ?2, 2] 的值域。
x



?1 ? ? 4 , 4? ? ? 73 ? ? ? ?∞, ? 8? ?

例 3:求函数 y = ?2 x 2 + 5 x + 6 的值域。

(4) 反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函 ) 反函数法: 、 数的值域。 例 1:求函数 y =

1 ? 2x 的值域。 1 + 2x

1? y 1 ? 2x x 解:由 y = 解得 2 = , x 1+ y 1+ 2
∵ 2 > 0 ,∴
x

1? y > 0 ,∴ ?1 < y < 1 1+ y

∴函数 y =

1 ? 2x 的值域为 y ∈ (?1,1) 。 1 + 2x
ax + b (c ≠ 0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内, cx + d

(5) 分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函 ) 分离常数法: 、 数法。小结:已知分式函数 y = 值域为 ?y y ≠

? ?

a? , ? ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件) 采用部分分式法将原函数化为 c?

ad b? a c (ad ≠ bc) ,用复合函数法来求值域。 y= + c cx + d
例 1:求函数 y =

1? x 的值域。 2x + 5 1 7 7 ? (2 x + 5) + 1? x 1 2 =? + 2 , = 2 解:∵ y = 2x + 5 2x + 5 2 2x + 5

7 1 ∵ 2 ≠ 0 ,∴ y ≠ ? , 2x + 5 2 1? x 1 ∴函数 y = 的值域为 { y | y ≠ ? } 。 2x + 5 2
(6) 换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如 ) 换元法: 、

y = ax + b ± cx + d ( a 、 b 、 c 、 d 均为常数,且 a ≠ 0 )的函数常用此法求解。
例 1:求函数 y = 2 x + 1 ? 2 x 的值域。 解:令 t = 1 ? 2 x ( t ≥ 0 ) ,则 x = ∴ y = ? t 2 + t + 1 = ? (t ? ) 2 + ∵当 t =

1? t2 , 2

1 2

5 4

1 3 5 ,即 x = 时, ymax = ,无最小值。 2 8 4 5 ∴函数 y = 2 x + 1 ? 2 x 的值域为 ( ?∞, ] 。 4
(7) 判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y ) = 0 ;通过方程有实数根,判别式 ? ≥ 0 ,从而 ) 判别式法: 、 求得原函数的值域,形如 y =

a1 x 2 + b1 x + c1 ( a1 、 a2 不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。 a2 x 2 + b2 x + c2

例 1:求函数 y =

x2 ? x + 3 的值域。 x2 ? x + 1

x2 ? x + 3 解:由 y = 2 变形得 ( y ? 1) x 2 ? ( y ? 1) x + y ? 3 = 0 , x ? x +1
当 y = 1 时,此方程无解; 当 y ≠ 1 时,∵ x ∈ R ,∴ ? = ( y ? 1) 2 ? 4( y ? 1)( y ? 3) ≥ 0 , 解得 1 ≤ y ≤

11 11 ,又 y ≠ 1 ,∴ 1 < y ≤ 3 3

x2 ? x + 3 11 ∴函数 y = 2 的值域为 { y |1 < y ≤ } x ? x +1 3
(8) 函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。 ) 函数的单调性法: 、 例 1:求函数 y = x ? 1 ? 2 x 的值域。 解:∵当 x 增大时, 1 ? 2x 随 x 的增大而减少, ? 1 ? 2x 随 x 的增大而增大, ∴函数 y = x ? 1 ? 2 x 在定义域 ( ?∞, ] 上是增函数。

1 2

∴y≤

1 1 1 ? 1? 2× = , 2 2 2
1 2

∴函数 y = x ? 1 ? 2 x 的值域为 ( ?∞, ] 。 例 2.求函数 y = x +

1 在区间 x ∈ (0,+∞ ) 上的值域。 x

分析与解答:任取 x1 , x 2 ∈ (0,+∞ ) ,且 x1 < x 2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) =

(x1 ? x2 )(x1 x2 ? 1) ,因为 0 < x
x1 x 2

1

< x 2 ,所以: x1 ? x 2 < 0, x1 x 2 > 0 ,

当 1 ≤ x1 < x 2 时, x1 x 2 ? 1 > 0 ,则 f ( x1 ) > f ( x 2 ) ; 当 0 < x1 < x 2 < 1 时, x1 x 2 ? 1 < 0 ,则 f ( x1 ) < f ( x 2 ) ;而当 x = 1 时, y min = 2 于是:函数 y = x +

1 在区间 x ∈ (0,+∞ ) 上的值域为 [ 2,+∞) 。 x

构造相关函数,利用函数的单调性求值域。 例 3:求函数 f ( x ) = 1 + x + 1 ? x 的值域。 分析与解答:因为 ?

?1 + x ≥ 0 ? ?1 ≤ x ≤ 1 ,而 1 + x 与 1 ? x 在定义域内的单调性不一致。现构造 ?1 ? x ≥ 0

相 关 函 数 g ( x ) = 1 + x ? 1 ? x , 易 知 g ( x ) 在 定 义 域 内 单 调 增 。 g max = g (1) =

2 ,

g min = g (? 1) = ? 2 , ? g ( x ) ≤ 2 , 0 ≤ g 2 ( x ) ≤ 2 ,
又f
2

(x ) + g 2 (x ) = 4 ,所以: 2 ≤

f

2

(x ) ≤ 4 ,

2 ≤ f (x ) ≤ 2 。

、 (9) 基本不等式法
利用基本不等式 a 2 + b 2 ≥ 2ab 和 a + b ≥ 2 ab ( a , b > 0) 是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法 求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利 用此法时应注意取 "=" 成立的条件. 例 1 求函数 解答:

y=
x+2 x +1

x+ 2 x +1 的值域.

y=

=

x +1 +

1 x +1

≥ 2 , 当且仅当 x = 1 时 "=" 成立. 故函数的值域为 y ∈ [ 2,+∞ ) .

此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若 能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程. 例 2 求函数

y=

x2 +2 x+2 的值域. x +1

解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解 出 " ( x + 1)" 项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:

( x + 1)( x + b) + c = x 2 + 2 x + 2 ,
将上面等式的左边展开, 有:

(2)

x 2 + (b + 1) x + (b + c) ,
故而 b + 1 = 2 , b + c = 2 . 解得 b = 1 , c = 1 . 从而原函数 y =
( x +1)( x +1) +1 x +1

= ( x + 1) +
1 x +1

1 x +1

;

ⅰ)当 x > ?1 时, x + 1 > 0 ,

> 0 , 此时 y ≥ 2 , 等号成立, 当且仅当 x = 0 .
1 x +1

ⅱ)当 x < ?1 时, ? ( x + 1) > 0 , ?

> 0 , 此时有

y=

( x + 1)( x + 1) + 1 1 1 ? ? = ( x + 1) + = ? ?? ( x + 1) ? ≤ ?2 , x +1 x +1 x + 1? ? ?

等号成立, 当且仅当 x = ?2 . 综上, 原函数的值域为: y ∈ ( ?∞ ,?2] ∪ [ 2,+∞ ) . 不等式法 利用基本不等式 ,求函数的最值,其题型特征解析式是

和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例 3. 求函数 解:原函数变形为:

的值域。

当且仅当

即当



,等号成立

故原函数的值域为:

例 4. 求函数 解:

的值域。

当且仅当

,即当

时,等号成立。



可得:

故原函数的值域为: (10) 有界性法:利用某些函数有界性求得原函数的值域。 ) 有界性法 、 例 1:求函数 y =

x2 ? 1 的值域。 x2 + 1

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为 R ,对函数进行变形可得

( y ? 1) x 2 = ?( y + 1) ,
∵ y ≠ 1 ,∴ x 2 = ?

y +1 ( x∈ R, y ≠1) , y ?1

∴?

y +1 ≥ 0 ,∴ ?1 ≤ y < 1 , y ?1

x2 ? 1 ∴函数 y = 2 的值域为 { y | ?1 ≤ y < 1} x +1 形如 sin α = f ( y ), x 2 = g ( y ),因为 sin α ≤ 1, x 2 ≥ 0 可解出 Yr 范围,从而求出其值域或最值。 例 2.求函数 y = 2x ?1 的值域 2x ?1

[解析]:函数的有界性

由y=

2x ?1 y ?1 得 2x = x y ?1 2 ?1 y ?1 > 0 ? y > 1或y < ?1 y ?1
2 cos x + 1 的值域。 3cos x ? 2

Q 2 2 > 0,∴

例 3:求函数 y =

1? ? ? ?∞, ? ∪ [3, +∞ ) 5? ? ?1 ? ? 3 , 3? ? ?

例 4:求函数 y =

2 ? sin x 的值域。 2 + sin x

(11) 数型结合法:函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值 ) 数型结合法: 、 域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截 距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。 例 1:求函数 y =| x + 3 | + | x ? 5 | 的值域。

y

??2 x + 2 ( x < ?3) ? 解:∵ y =| x + 3 | + | x ? 5 |= ?8 (?3 ≤ x < 5) , ?2 x ? 2 ( x ≥ 5) ?
∴ y =| x + 3 | + | x ? 5 | 的图像如图所示, 由图像知:函数 y =| x + 3 | + | x ? 5 | 的值域为 [8, +∞ )

8 o

-3

5

x

以上是我们学习函数之后,关于求函数值域的一些方法,随着以后学习的进一步深入,我们还会学到 其它的一些有关求函数值域的方法。 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。 例 2:求函数 y =

x 2 + 4 x + 5 + x 2 ? 4 x + 8 的值域。

点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。 解:原函数变形为 f ( x ) =

( x + 2)2 + 1 + ( x ? 2)2 + 2 2

作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD,再切割成 12 个单位 正方形。设 HK= x ,则 EK=2 ? x ,KF=2 + x ,AK= ( x ? 2) + 2 ,
2 2

KC= ( x + 2) + 1 。
2

由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当 A、K、C 三点共 线时取等号。 ∴原函数的知域为{y|y≥5} 。 例 3.如例 4 求函数 y = 1 + x + 1 ? x 的值域。 分析与解答:令 u = 1 + x , v = 1 ? x ,则 u ≥ 0, v ≥ 0 , u + v = 2 , u + v = y ,
2 2

原问题转化为 :当直线 u + v = y 与圆 u + v = 2 在直角坐标系 uov 的第一象限有公共点时,求直
2 2

线的截距的取值范围。 由图 1 知:当 u + v = y 经过点 (0, 2 ) 时, y min = 当直线与圆相切时, y max = OD = 所以:值域为 2 ≤ y ≤ 2

2;

2OC =

( 2)

2

= 2。

V

D

2B

C E

O

A

U

2

例 4. 求函数 解:将函数变形为:

的值域。

上式可看成定点 A(3,2)到点 P(x,0)的距离与定点 即:

到点

的距离之差。

由图可知: (1)当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点 形两边之差小于第三边,有 即: (2)当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有 综上所述,可知函数的值域为:

,则构成

,根据三角

注:由例 17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A、B 两点在 x 轴的两侧,而求两距 离之差时,则要使 A,B 两点在 x 轴的同侧。

(12) 复合函数法:对函数 y = f (u ), u = g ( x ) ,先求 u = g ( x ) 的值域充当 y = f (u ) 的定义域,从而求 ) 复合函数法: 、 出 y = f (u ) 的值域的方法。

3x 例 1、求函数 y = x 的值域 3 +1
(复合函数法)设 3 + 1 = t
x



则y=

3x + 1 ?1 1 1 = 1 ? (t > 1) = 1? x x t 3 +1 3 +1
∴0 < y < 1

1 Q t > 1 ∴0 < < 1 t

∴ 原函数的值域为 (01)
例 2:求函数 y = log 1 ( ?2 x + 5 x + 3) 的值域。
2 2

? 49 ? ? ? 8 , +∞ ? ?

(13) 非负数法 ) 非负数法 、
根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。

例 1、(1)求函数 y = 16 ? x 2 的值域。 (2)求函数 y = 解析: 解析:(1)Q 0 ≤ 16 ? x 2 ≤ 16 , ∴ 0 ≤ 16 ? x 2 ≤ 4 故 所求函数的值域为 y ∈ [0,] 。 4

x2 ? 3 的值域。 x2 + 1

(2)Q x 2 + 1 > 0 ,∴ 原函数可化为 y ( x 2 + 1) = x 2 ? 3 ,即 x 2 (1 ? y ) = y + 3 , 当 y ≠ 1 时,
x2 = y+3 y+3 , Q x 2 ≥ 0 ,∴ ≥ 0 ,解得 ? 3 ≤ y ≤ 1 1? y 1? y

又 y ≠ 1 , 所以 ? 3 ≤ y < 1 , 故 所求函数的值域为 y ∈ [?3, 。 1 )
(不等式性质法) 不等式性质法) 例 2:求下列函数的值域: (1)y=

6 ; 2 x +2
2

(2)y=

2 x 2 + 4 x + 10 ; x2 + 2x + 2 1 2
x

(3)y=

6 2sin x ? 1
2

(4)y=10- 16 ? x ;

(2)y= ?3( ) + 4( x ≤ ?1) ;

(3)y= log 2 ( x + )( x >

1 4

1 ) 2

、 (14) 导数法 14) 导数法
若函数 f 在 ( a, b) 内可导, 可以利用导数求得 f 在 ( a, b) 内的极值, 然后再计算 f 在 a , b 点的极限值. 从而求得 f 的值域. 例 1: 求函数 f ( x) = x 3 ? 3 x 在 (?5,1) 内的值域.
2 分析:显然 f 在 (?5,3) 可导,且 f ′( x) = 3 x ? 3 . 由 f ′( x ) = 0 得 f 的极值点为 x = 1, x = ?1 .

f ( ?1) = 2,

f (1 ? 0) = ?2 . f ( ?5 + 0) = 140 .

所以, 函数 f 的值域为 (?2,140 ) .

、 (15)“平方开方法” 15) 平方开方法”
求函数值域的方法有很多种,如: “配方法”“单调性法”“换元法”“判别式法”以及“平方开方 、 、 、 法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法” 的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤,并给出四道典型的例题. 1.适合采用 平方开方法” 适合采用“ 1.适合采用“平方开方法”的函数特征 设 f ( x) ( x ∈ D )是待求值域的函数,若它能采用“平方开方法” ,则它通常具有如下三个特征: (1) f ( x) 的值总是非负,即对于任意的 x ∈ D , f ( x) ≥ 0 恒成立; (2) f ( x) 具有两个函数加和的形式,即 f ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) ( x ∈ D ) ; (3) f ( x) 的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式,即
f 2 ( x) = [ f1 ( x) + f 2 ( x)]2 = c + g ( x) ( x ∈ D , c 为常数) ,

其中,新函数 g ( x) ( x ∈ D )的值域比较容易求得. 2.“平方开方法” 2.“平方开方法”的运算步骤 若函数 f ( x) x ∈ D ) ( 具备了上述的三个特征, 则可以将 f ( x) 先平方、 再开方, 从而得到 f ( x) = c + g ( x) ( x ∈ D , c 为常数).然后,利用 g ( x) 的值域便可轻易地求出 f ( x) 的值域.例如 g ( x) ∈ [u , v] ,则显然
f ( x) ∈ [ c + u , c + v ] .

3.应用“平方开方法” 3.应用“平方开方法”四例 应用 能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具 体问题时的技巧. 例 1 求函数 f ( x) = b ? x + x ? a ( x ∈ [ a, b] , a < b )的值域. 解:首先,当 x ∈ [ a, b] 时, f ( x) ≥ 0 ; 其次, f ( x) 是函数 f1 ( x) = b ? x 与 f 2 ( x) = x ? a 的和; 最后, f 2 ( x) = b ? a + 2 (b ? x)( x ? a) = b ? a + 2 ? x 2 + (a + b) x ? ab 可 见 , 函 数 f ( x) 满 足 了 采 用 “ 平 方 开 方 法 ” 的 三 个 特 征 . 于 是 , 对 f ( x) 平 方 、 开 方 得
f ( x) = b ? a + 2 ? x 2 + ( a + b) x ? ab ( x ∈ [ a, b] ).这里, g ( x) = 2 ? x 2 + ( a + b) x ? ab ( x ∈ [ a, b] ).对 g ( x)

根 号 下 面 的 二 次 函 数 采 用 “ 配 方 法 ” 即 可 求 得 g ( x) 的 值 域 为 [0, b ? a] . 于 是 , f ( x) 的 值 域 为 ,
[ b ? a , 2(b ? a )] .

a b 例 2 求函数 f ( x) = b ? kx + kx ? a ( x ∈ [ , ] , a < b , k > 0 )的值域. k k 显然, 该题就是例 1 的推广, 且此题的 f ( x) 也满足了采用 “平方开方法” 的三个特征.于是, f ( x) 对 解:
a b 平方、开方得 f ( x) = b ? a + 2 ? k 2 x 2 + k (a + b) x ? ab ( x ∈ [ , ] ).这里, g ( x) = 2 ? k 2 x 2 + k (a + b) x ? ab k k

a b ( x ∈ [ , ] ) g ( x) 根号下面的二次函数采用 .对 “配方法” 即可求得 g ( x) 的值域仍为 [0, b ? a] .于是, f ( x) , k k

的值域也仍为 [ b ? a , 2(b ? a )] . 例 3 求函数 f ( x) =| sin x | + | cos x | ( x ∈ R )的值域. 显然, 此题的 f ( x) 也满足了采用“平方开方法” 的三个特征.于是,对 f ( x) 解:参照例 1 的验证步骤, 平方、开方得 f ( x) = 1+ | sin 2 x | ( x ∈ R ).这里, g ( x) =| sin 2 x | ( x ∈ R ).易知, g ( x) 的值域为 [0,1] .于 是, f ( x) 的值域为 [1, 2] . 例 4 求函数 f ( x) =| sin x + cos x | + | sin x ? cos x | ( x ∈ R )的值域. 显然, 此题的 f ( x) 也满足了采用“平方开方法” 的三个特征.于是,对 f ( x) 解:参照例 1 的验证步骤, 平方、 开方得 f ( x) = 2 + 2 | cos 2 x |( x ∈ R ) .这里,g ( x) = 2 | cos 2 x |( x ∈ R ) .易知,g ( x) 的值域为 [0, 2] . 于是, f ( x) 的值域为 [ 2, 2] . 例 5 求函数 y =

x ? 3 + 5 ? x 的值域

解: (平方法)函数定义域为: x ∈ [3,5]

由 x ∈ [3,5] , 得 ? x 2 + 8 x ? 15 ∈ [0,1] ∴ y 2 ∈ [2,4] ∴ 原函数值域为

y 2 = ( x ? 3) + (5 ? x) + 2 ? x 2 + 8 x ? 15

[

2 ,2

]
y
2

平方法)函数定义域为: x ∈ [3,5]

由 x ∈ [3,5] , 得 ? x 2 + 8 x ? 15 ∈ [0,1] ∴ y 2 ∈ [2,4] ∴ 原函数值域为
(16). 一一映射法 )

y = ( x ? 3) + (5 ? x) + 2 ? x + 8 x ? 15
2

1 x

[

2 ,2

]

0

原理:因为 就可以求另一个变量范围。

在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,

例 1. 求函数

的值域。

解:∵定义域为









解得

故函数的值域为 多种方法综合运用

例 1 求函数 解:令

的值域。 ,则

(1)当

时,

,当且仅当 t=1,即

时取等号,所以

(2)当 t=0 时,y=0。

综上所述,函数的值域为: 注:先换元,后用不等式法

例 2. 求函数 解:

的值域。



,则

∴当 当

时, 时,

此时

都存在,故函数的值域为

例 3.求函数 y = 2 x ( x ≤ 0) 的值域 解: (图象法)如图,值域为 (0,1]

?1? 例 4.求函数 y = ? ? ?3?

? x2 +2 x

的值域
t

?1? 解: (复合函数法)令 t = ? x + 2 x = ?( x ? 1) + 1 ,则 y = ? ? (t ≤ 1) ?3?
2 2

由指数函数的单调性知,原函数的值域为 ? ,+∞ ? 例 5.求函数 y = x + 1 ? x 2 的值域 解: (三角代换法) Q

?1 ?3

? ?

?1 ≤ x ≤ 1

∴ 设 x = cos θ θ ∈ [0, π ]

y = cosθ + sin θ = cos θ + sin θ = 2 sin(θ + ∴ 原函数的值域为 ? 1 , 2

π
4

) ∈ ? 1, 2

[

]

[

]

小结: (1)若题目中含有 a ≤ 1 ,则可设

a = sin θ ,?

π
2

≤θ ≤

π
2

(或设a = cos θ ,0 ≤ θ ≤ π )
,其中 0 ≤ θ < 2π

(2)若题目中含有 a + b = 1
2 2

则可设 a = cos θ , b = sin θ
2

(3)若题目中含有 1 ? x ,则可设 x = cos θ ,其中 0 ≤ θ ≤ π (4)若题目中含有 1 + x ,则可设 x = tan θ ,其中 ?
2

π
2

<θ <

π
2

2 t

(5)若题目中含有 x + y = r ( x > 0, y > 0, r > 0) , 则可设 x = 其中 θ ∈ ? 0 ,

r cos 2 θ , y = r sin 2 θ

? ?

π?
? 2?

x2 ?1 例 6、求函数 y = 2 的值域 x +1
2 解法一: (逆求法)Q x =

1+ y ≥0 1? y

∴ ?1 ≤ y < 1

∴ 原函数的值域为 [? 11)
解法二: (复合函数法)设 x + 1 = t ,
2

则 y = 1?

2 2 = 1? (t ≥ 1) 2 t x +1

2

2 ≤2 ∴ ?1 ≤ y < 1 t ∴ 原函数值域为(? 1 , 1] Q t ≥ 1 ∴0 <
解法三: (判别式法)原函数可化为 1) y = 1 时 不成立 2) y ≠ 1 时, ? ≥ 0 ? 0 ? 4( y ? 1)( y + 1) ≥ 0 ? ?1 ≤ y ≤ 1

( y ? 1) x 2 + 0 ? x + y + 1 = 0

∴ ?1 ≤ y < 1
综合 1) 、2)值域 { y | ?1 ≤ y < 1} 解法四: (三角代换法)Q x ∈ R

? π π? ∴设 x = tan θ θ ∈ ? ? , ? ,则 ? 2 2?

1 ? tan 2 θ y=? = ? cos 2θ Q 2θ ∈ (? π , π ) ∴ cos 2θ ∈ (? 1 , 1] 1 + tan 2 θ
∴ 原函数的值域为 { y | ?1 ≤ y < 1}
小结:已知分式函数 y =

ax 2 + bx + c (a 2 + d 2 ≠ 0) ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域; 2 dx + ex + f

如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为

y=

二次式 一次式 (或 y = ) 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值; 一次式 二次式
a ( x ≠ 0) 的单调性去解。 x

如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数 y = x + 注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用

的有界性。

总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一 般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。


赞助商链接

更多相关文章:
专题一:求函数值域十六法经典(老师)
专题一:求函数值域十六法经典(老师) - 求函数值域方法 一、基本知识 1. 定义:因变量 y 的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合) 。 2. 函数值域常见的...
求函数值域十六法
求函数值域十六法 - 求函数值域方法 ( 1) 、直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y = f ( x) 的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直 接观察,准确...
高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
二、反函数法: 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。...专题一:求函数值域十六... 15页 5下载券 专题-高中函数值域的求法... 9...
求函数值域的解题方法总结(16种)
求函数值域的解题方法总结(16种)_高一数学_数学_...一、观察法: 通过对函数定义域、性质的观察,结合...函数专题:值域与最值问... 433人阅读 12页 3下载...
求函数值域十六法
求函数值域十六法 - 求函数值域方法 求函数值域方法 (1) 直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y = f ( x ) 的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观...
高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
高中数学求函数值域的7类题型和16种方法 - 明轩教育 您身边的个性化辅导专家 电话: 求函数值域的 7 类题型和 16 种方法 一、函数值域基本知识 1.定义:在函数...
智爱高中数学 求函数值域十六法
专题推荐 智爱高中数学 集合 智爱高中数学 求函数解析...1/2 相关文档推荐...分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 智愛高中數學 求函数值域十六法求函数的...
高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
ax ? bx ? c 2 的值域 一般情况下,都可以用判别式法求其值域。但要注意...专题一:求函数值域十六... 15页 免费 高考求函数值域及最值得... 12页 1下载...
求函数值域的7类题型和16种方法
求函数值域的7类题型和16种方法 - 求函数值域的 7 类题型和 16 种方法 一、函数值域基本知识 1.定义:在函数 y ? f ( x) 中,与自变量 x 的值对应的因...
求函数值域的7类题型和16种方法
求函数值域的7类题型和16种方法 - 求函数值域的 7 类题型和 16 种方法 三、求解函数值域的 7 种题型 题型一:一次函数 y ? ax ? b ? a ? 0? 的值域...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图