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第1讲 不等关系与不等式


A级

课时对点练

(时间:40 分钟 满分:60 分) 一、选择题(本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 1.(2010·江西卷)对于实数 a,b,c,“a>b”是“ac2>bc2”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

解析:∵a>b 且 c≠0?ac2>bc2,而 ac2>bc2?a>b, ∴a>b 是 ac2>bc2 的必要不充分条件. 答案:B 2.f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则有 A.f(x)>g(x) C.f(x)<g(x) B.f(x)=g(x) D.不能确定 f(x)与 g(x)的大小关系 ( )

解析:∵f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0, ∴f(x)>g(x). 答案:A 3.“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的 A.必要不充分条件 C.充分必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

解析:由 a>b 且 c>d 知 a-b>0,且 c-d>0,(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)>0, ? ?a>b 因此 a+c>b+d,即? ?a+c>b+d;若 a=10,c=1,b=6,d=2,a+c>b+d, ? ?c>d ?/ a>b,c>d.综上可知:“a+c>b+d”是“a>b,且 c>d”的必要非充分条件. 答案:A 4.(2010·潍坊一模)若 a<b<0,则下列关系中不成立的是 1 1 A. > a b C.a3<b3 B.a2>b2 D.a2<ab ( )

解析:据已知 a<b<0,可得 a2-ab=a(a-b)>0?a2>ab.故 D 错误. 答案:D 5.已知 0<x<y<a<1,则有 ( )

A.loga(xy)<0 C.1<loga(xy)<2

B.0<loga(xy)<1 D.loga(xy)>2

解析:∵0<x<y<a<1,∴0<xy<a2, ∴loga(xy)>logaa2=2. 答案:D 二、填空题(本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 1 1 6.以下四个不等式:①a<0<b,②b<a<0,③b<0<a,④0<b<a,其中是 < 成立的 a b 充分条件有________. 1 1 b-a 解析: < ? <0?b-a 与 ab 异号. 题设①②④能使 b-a 与 ab 异号, 所以答案为: a b ab ①②④. 答案:①②④ x 7.已知 60<x<84,28<y<33,则 x-y 的取值范围为________, 的取值范围为________. y 解析:∵28<y<33, 1 1 1 ∴-33<-y<-28, < < , 33 y 28 1 x 1 ∴60-33<x-y<84-28,60× < <84× 33 y 28 20 x 即 27<x-y<56. < <3. 11 y 20 答案:(27,56) ( ,3) 11 1 1 8.下列四个不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a,其中能使 < 成立 a b 的充分条件有________. 1 1 b-a 解析: < ? <0?b-a 与 ab 异号, a b ab 因此①②④能使 b-a 与 ab 异号. 答案:①②④ 三、解答题(本题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 9.已知 a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc. 证明:∵a>b,c>0,∴ac>bc. 又∵e>f,∴e+ac>f+bc. ∴e-bc>f-ac,即 f-ac<e-bc. 1 与 1+a 的大小. 10.已知 a∈R,试比较 1-a

1 a2 解: -(1+a)= . 1-a 1-a a2 =0, ①当 a=0 时, 1-a ∴ 1 =1+a; 1-a

a2 >0, ②当 a<1 且 a≠0 时, 1-a ∴ 1 >1+a; 1-a

a2 <0, ③当 a>1 时, 1-a ∴ 1 <1+a. 1-a

1 1 1 =1+a; a<1, a≠0 时, 当 且 >1+a; a>1 时, 当 综上可得: a=0 时, 当 1-a 1-a 1-a <1+a.

B级

素能提升练

(时间:30 分钟 满分:40 分) 一、选择题(本题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 1.若四个正数 a、b、c、d 成等差数列,x 是 a,d 的等差中项,y 是 b、c 的等比中项,则 x, y 的大小关系是 ( ) A.x<y B.x>y C.x=y D.x≥y

解析:依题意知:2x=a+d,y2=bc. a+d 即 x= ,y= bc, 2 而 a+d=b+c, a+d b+c = ≥ bc=y. ∴x= 2 2 答案:D 2.对于 0<a<1,给出下列四个不等式: 1 1 1 1 + + ①loga(1+a)<loga?1+a?;②loga(1+a)>loga?1+a?;③a1 a<a1+ ;④a1 a>a1+ . ? ? ? ? a a 其中成立的是 A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④ ( )

1 1 解析:由 0<a<1,得 >1>a>0,1+ >1+a>1, a a

1 1 + 则 loga(1+a)>loga?1+a?,a1 a>a1+ ②成立,④成立,故选 D. ? ? a 答案:D 二、填空题(本题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 3.b 克糖水中有 a 克糖(b>a>0),若再添上 m 克糖(m>0),则糖水就变甜了,试根据这个 事实提炼出一个不等式________. a a+m 答案: < (b>a>0,m>0) b b+m a c 4.(2010·广州质检)a、b、c、d 均为实数,使不等式 > >0 和 ad<bc 都成立的一组值(a,b, b d c,d)是________(只要写出适合条件的一组值即可). 解析:本题为开放题,只要写出一个正确的即可,如(2,1,-3,-2). 答案:(2,1,-3,-2) 三、解答题(本题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 5.设 f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2(x>0 且 x≠1),试比较 f(x)与 g(x)的大小. 3 解:f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=logx3x-logx4=logx x. 4

?x>1, ? 3 (1)当 logx x>0, ?3 即 4 ? ?4x>1

?0<x<1, ? 4 或? 3 时, 也就是 x> 或 0<x<1 时,f(x)>g(x); 3 ? ?0<4x<1

3 3 4 (2)当 logx x=0,即 x=1 时,也就是 x= 时,f(x)=g(x); 4 3 4

?x>1, ? 3 (3)当 logx x<0,即? 3 4 ? ?0<4x<1
4 也就是 1<x< 时,f(x)<g(x). 3

?0<x<1, ? 或?3 时, ? ?4x>1

4 综上所述,当 x> 或 0<x<1 时,f(x)>g(x); 3 4 当 x= 时,f(x)=g(x); 3 4 当 1<x< 时,f(x)<g(x). 3 6.已知 f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围.
? ?a-c=f(1) 解:方法一:由? , ?4a-c=f(2) ?

?a=3[f(2)-f(1)] 求得? 4 1 ?-c=3f(1)-3f(2)

1



8 5 ∴f(3)=9a-c=- f(1)+ f(2). 3 3 5 5 20 8 8 40 又 ≤- f(1)≤ ,- ≤ f(2)≤ , 3 3 3 3 3 3 5 8 ∴-1≤- f(1)+ f(2)≤20,即-1≤f(3)≤20. 3 3 方法二:∵f(1)=a-c,f(2)=4a-c, ∴-4≤a-c≤-1① -1≤4a-c≤5② 设 f(3)=λ(a-c)+?(4a-c),其中 λ、? 是待定系数.
? ?λ+4?=9 由 9a-c=(λ+4?)a-(λ+?)c,可得? , ? ?λ+?=1

?λ=-3 解得? 8 ??=3

5 ,

5 8 由②× +①×?-3?,得-1≤9a-c≤20. ? ? 3 即-1≤f(3)≤20.



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