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2014年上海高考文科数学试题及参考答案


2014 年普通高等学校招生统一考试上海市
数学试题(文科)及参考答案 满分 150 分;考试时间 120 分钟.
一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 y ? 1 ? 2cos (2 x) 的最小正周期是
2



2.若复数 z ? 1 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则 ? z ?

? ?

1? ?? z ? z?



2 3.设常数 a ? R ,函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? a .若 f (2) ? 1 ,则 f (1) ?



4 .若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程 9 5





5.某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名、1200 名、800 名.为了解该校高中学生的 牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样.若高三抽取 20 名学生,则高一、高二共 需抽取的学生数为 .
2 2

6.若实数 x , y 满足 xy ? 1,则 x ? 2 y 的最小值为



7.若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与轴所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示) . 8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图,则切 割掉的两个小长方体的体积之和等于 .

?? x ? a, x ? 0, ? 9.设 f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a 的取值 1 x ? , x ? 0. ? x ?
范围为 . 10.设无穷等比数列 ?an ? 的公比为 q ,若 a1 ? 11.若 f ( x) ? x 3 ? x
2 ? 1 2

lim (a
n??

3

? a 4 ? ? ? a n ) ,则 q ?



,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是

. .

12.方程 sin x ? 3 cos x ?1 在区间 [0 , 2? ] 上的所有的解的和等于

13.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练,则 选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 (结果用最简分数表示) .

2 14.已知曲线 C : x ? ? 4 ? y ,直线 l : x ? 6 .若对于点 A(m , 0) ,存在 C 上的点 P 和 l

上的 Q 使得 AP ? AQ ? 0 ,则 m 的取值范围为



二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设 a , b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2 且 b ? 2 ”的( (A) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (B) 必要非充分条件 (D) 既非充分又非必要条件 )

2 2 16.已知互异的复数 a , b 满足 ab ? 0 ,集合 ?a , b? ? a , b ,则 a ? b ? (

?

?



(A) 2

(B) 1

(C) 0

(D) ?1

17.如图,四个边长为 1的小正方体排成一个大正方形, AB 是 大正方形的一条边, Pi (i ? 1,2, ? ,7) 是小正方形的其余顶点, 则 AB? AP i (i ? 1,2, ?,7) 的不同值的个数为( (A) 7 (B) 5 (C) 3 ) (D) 1

k 18.已知 P 1 (a1 , b 1) 与 P 2 (a2 , b2 ) 是直线 y ? kx ? 1 ( 为常数)上两个不同的点,

则关于 x 和 y 的方程组 ?

?a1 x ? b1 y ? 1 的解的情况是( ?a2 x ? b2 y ? 1



(A) 无论 k , P 1 , P 2 如何,总是无解 (C) 存在 k , P 1 , P 2 ,使之恰有两解

(B) 无论 k , P 1 , P 2 如何,总有唯一解 (D) 存在 k , P 1 , P 2 ,使之有无穷多解

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 底面边长为 2 的正三棱锥 P ? ABC , 其表面展开图是三角形

P 1P 2P 3 ,如图,求 ?PP 1 2P 3 的各边长及此三棱锥的体积 V .

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

2x ? a . 2x ? a
?1

(1)若 a ? 4 ,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f

( x) ;

(2)根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图, 某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD , 其中 D 为顶端,AC 长 35 米,CB 长 80 米.设点 A、B 在同一水平面上,从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 ?和? . (1)设计中 CD 是铅垂方向,若要求 ? ? 2 ? ,问 CD 的长至多为 多少(结果精确到 0.01 米)? ( 2 ) 施 工 完 成 后 , CD 与 铅 垂 方 向 有 偏 差 . 现 在 实 测 得 . ? ? 38.12 ,? ? 18.45 ,求 CD 的长(结果精确到 0.01 米)

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 7 分. 在平面直角坐标系 xOy 中,对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,记 若曲线 C 与直线 l ? ? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c) .若? ? 0 ,则称点 P 1, P 2 被直线 l 分隔. 没有公共点, 且曲线 C 上存在点 P 1, P 2 被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线. (1)求证;点 A(1, 2), B(?1,0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔; (2)若直线 y ? kx 是曲线 x ? 4 y ? 1 的分隔线,求实数 k 的取值范围;
2 2

(3) 动点 M 到点 Q (0, 2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1, 设点 M 的轨迹为曲线 E . 求E 的方程,并证明 y 轴为曲线 E 的分隔线.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 已知数列 {an } 满足 an ? an ?1 ? 3an , n ? N * , a1 ? 1 . (1)若 a1 ? 2, a3 ? x, a4 ? 9 ,求 x 的取值范围; (2) 设 {an } 是等比数列, 且 am ?

1 3

1 , 求正整数 m 的最小值, 以及 m 取最小值时相应 {an } 1000

的公比; (3)若 a1 , a 2 , ? , a100 成等差数列,求数列 a1 , a 2 , ? , a100 的公差的取值范围.

参考答案
一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分) 1.

? 2

2. 6

3. 3

4 . x ? ?2 9. ? ??, 2? 14. [2,3]

5. 70

6. 2 2 11. (0,1)

7. arcsin 12.

1 3

8. 24 13.

10.

5 ?1 2

7? 3

1 15

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 15. B 16. D 17. C 18. B

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分) 解:在 ?PP ,所以 AC 是中位线,故 PP 1 2P 3 中, P 1A ? P 3A , P 2C ? PC 3 1 2 ? 2 AC ? 4 . 同理, P 2P 3 ?4,P 3P 1 ? 4 .所以 ?PP 1 2P 3 是等边三角形,各边长均为 4 . 设 Q 是 ?ABC 的 中 心 , 则 PQ ? 平 面 ABC , 所 以 AQ ?

2 3 , 3

PQ ? AP 2 ? AQ 2 ?
从而, V ?

2 6. 3

1 2 2 S?ABC ? PQ ? . 3 3

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解: (1)因为 y ?

4 ? y ? 1? 4 ? y ? 1? 2x ? 4 x ,所以 2 ? ,得 y ? ?1 或 y ? 1 ,且 x ? log 2 . x 2 ?4 y ?1 y ?1
?1

因此,所求反函数为 f

( x) ? log 2

4 ? x ? 1? , x ? ? ??, ?1? x ?1

?1, ??? .

(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 1 ,定义域为 R ,故函数 y ? f ( x) 是偶函数; 当 a ? 1 时, f ( x) ?

2x ? 1 ,定义域为 ? ??,0? 2x ?1

? 0, ??? ,

f (? x) ?

2? x ? 1 2x ? 1 ? ? ? ? f ( x) ,故函数 y ? f ( x) 为奇函数; 2? x ? 1 2x ? 1

当 a ? 0 且 a ? 1 时,定义域为 ? ??,log2 a ?

? log2 a, ??? 关于原点不对称,

故函数 y ? f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解: (1)记 CD ? h .根据已知得 tan ? ? tan 2? ? 0 , tan ? ?

h h , tan ? ? , 35 80

h ? 所以 35

h 80 ? 0 , 解得 h ? 20 2 ? 28.28 . 因此,CD 的长至多约为 28.28 米. 2 ? h ? 1? ? ? ? 80 ? 2?

(2)在 ?ABD 中,由已知, ? ? ? ? 56.57 , AB ? 115 , 由正弦定理得

BD AB ,解得 BD ? 85.064 . ? sin ? sin ?? ? ? ?
解得

在 ?BCD 中 , 有 余 弦 定 理 得 CD2 ? BC 2 ? BD2 ? 2BC ? BD ? cos ? ,

CD ? 2 6 . 9. 3

所以, CD 的长约为 26.93 米.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 7 分. (1)证:因为? ? ?4 ? 0 ,所以点 A, B 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔. (2) 解: 直线 y ? kx 与曲线 x ? 4 y ? 1 有公共点的充要条件是方程组 ?
2 2

? x2 ? 4 y 2 ? 1 有解, ? y ? kx

即k ?

1 . 2 1 . 2

2 2 因为直线 y ? kx 是曲线 x ? 4 y ? 1 的分隔线,故它们没有公共点,即 k ?

1 2 2 2 时, 对于直线 y ? kx , 曲线 x ? 4 y ? 1 上的点 ? ?1,0? 和 ?1,0 ? 满足? ? ?k ? 0 , 2 1 1 即点 ? ?1,0? 和 ?1,0 ? 被 y ? kx 分隔.故实数 k 的取值范围是 ( ??, ? ] [ , ??) . 2 2
当k ? ( 3 ) 证 : 设 M 的 坐 标 为 ( x , y ), 则 曲 线 E 的 方 程 为

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? x ? 1 , 即

[ x2 ? ( y ? 2)2 ] ? x ? 1 .
对任意的 y0 , ? 0, y0 ? 不是上述方程的解,即 y 轴与曲线 E 没有公共点. 又曲线 E 上的点 ? ?1, 2? 和 ?1, 2 ? 对于 y 轴满足? ? 0 ,即点 ? ?1, 2? 和 ?1, 2 ? 被 y 轴分隔. 所以 y 轴为曲线 E 的分隔线.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 9 分.

2 x ? x ? 6 且 ? 9 ? 3 x ,解得 3 ? x ? 6 .所以 x 的取值范围是 x ? [3, 6] . 3 3 1 (2)设 {an } 的公比为 q .由 an ? 3an ,且 an ? a1q n?1 ? 0 ,得 an ? 0 . 3 1 1 1 1 因为 an ? an ?1 ? 3an ,所以 ? q ? 3 .从而 ? a1q m?1 ? q m?1 ? ( )m?1 , 3m?1 ? 1000 , 3 3 1000 3
解: (1)由条件得 解得 m ? 8 .
7 1 1 104 m ? 8 时, q ? . ?[ ,3] .所以, m 的最小值为 8 , m ? 8 时,{an } 的公比为 10 1000 3

7

(3) 设数列 a1 , a 2 , ? , a100 的公差为 d . 由 an ?an ?d ? a 3 n

1 3

? ,

2 an ? d ? 2an ,n ? 1,2, ? ,99 . 3

① 当 d ? 0 时, a99 ? a 98 ? ? ? a 2 ? a1 ,所以 0 ? d ? 2a1 ,即 0 ? d ? 2 . ② 当 d ? 0 时, a99 ? a 98 ? ? ? a 2 ? a1 ,符合条件. ③ 当 d ? 0 时, a99 ? a98 ? ? ? a 2 ? a1 ,

2 2 a99 ? d ? 2a99 , ? (1 ? 98d ) ? d ? 2(1 ? 98d ) , 3 3 2 ? d ? 0. 又 d ? 0 ,所以 ? 199 2 , 2] . 综上, a1 , a 2 , ? , a100 的公差的取值范围为 [ ? 199
所以 ?


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