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浙江省苍南中学2013-2014学年高一第一学期期末考试数学试卷


苍南中学 2013-2014 学年第一学期期末考试 高一数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是 A.1 B .3 C .4 D.8

2014.01.18

2.如果点 P(cos ? , tan ? )位于第三象限,那么角 ? 所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 已知一个扇形弧长为 6,扇形圆心角为 2 rad,则扇形的面积为 A .6 B .9 C. 12 D.18

4.已知 a ? 0.33 , b ? 30.3 , c ? log 0.3 3 ,则 a , b , c 的大小关系为 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. c ? a ? b

5.要得到函数 y ? cos(2 x ? A.向左平移

?
3

) 的图象,只需将函数 y ? cos 2 x 的图象

? 个单位 3

B.向右平移

? 个单位 3

C.向左平移

? 个单位 6

D.向右平移

? 个单位 6

6.下列函数中,在区间 (0, A. y ? sin

?
2

) 上为增函数且以 ? 为周期的函数是
C. y ? ? tan x
2

x 2
2

B. y ? sin 2 x

D. y ? ? cos 2 x

7.若 tan ? ? 2 ,则 2sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? = A.5
x

B .1

C.

1 2

D.

1 5

8.函数 f ( x) ? log 2 | 2 ? 1 | 的图象大致是

y

y

y

y

O

1

x

O

1

x

O

1

x

O 1

x

A.

B.

C.

D.

已 1 知 9.函数 y ? 的图像与函数 y ? sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于 x ?1 向 A.2 B.4 C.6 D.8 量 ? a ? (2,1) , ? ? a ? b ? 10 , ? ? | a ? b |? 5 2

?1 ( x为有理数) 10.函数 f ( x) ? ? , 则下列结论错误 的是 .. ? 0 ( x为无理数)

A. f ( x) 是偶函数 C.方程 f ( f ( x)) ? f ( x) 只有一个解为 x ? 1

B. f ( x) 是周期函数 D.方程 f ( f ( x)) ? x 只有一个解为 x ? 1

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 11.计算: lg 4 ? 2lg 5 ? (0.25)
? 1 2

?8 ?

2 3

.

12.若对数函数 f ( x) 与幂函数 g ( x) 的图象相交于一点(2,3),则 f (4) ? g (4) ? ____

13.化简: ?

?

1

? sin(? ? ? )

?

1 tan ?

? ? ? [1 ? cos(? ? ? )] ? ________ ?

y

14. 函数 y ? sin(? x ? ?) (? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如右图, 则该函 数解析式为____________. 15.2008 年 5 月 12 日,四川汶川地区发生里氏 8.0 级特大地震.在随 后的几天中,地震专家对汶川地区发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表: 强度(J) 震级(里氏) 1.6 ? 10 5.0
19

O

1

2

3

x

3.2 ? 10 5.2

19

4.5 ? 10 5.3

19

6.4 ? 10 5.4

19

注:地震强度是指地震时释放的能量. 地震强度( x )和震级( y )的模拟函数 关系可以 选用 y ? a lg x ? b (其中 a, b 为常数) .利用散点图可 知 a 的值等于 . (取 lg 2 ? 0.3 进行计算)
2

16. 已知函数 y ? sin x ? sin x ? 1( x ? R) ,若当 x ? ? 时,y 取得最大值, ;当 x ? ? 时,y 取得最小值,且

? ? ? , ? ?[ ? , ] ,则 cos( ? ? ? ) =
2 2



? 1 x ? ( ) ( x ? 0) 17.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f ( f ( x0 )) ? 2 ,则 x0 = 2 ? ?2 cos x (0 ? x ? ? )
x



18. 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) ,g ( x) ? 2 ? 2 , 若满足对于任意 x ? R , f ( x) ? 0 和 g ( x) ? 0 至 少有一个成立.则 m 的取值范围是 三、解答题(本大题共 4 小题,共 38 分) .

19. (本题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ?

lg x 2 的定义域为 A,集合 B ? ? x x ? x ? a ? 0? , 3? x

(1)若 a ? 2 ,求 A ? B ; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围

20. (本题满分 10 分) 设 f ( x) 为定义在 R 上的增函数,令 g ( x) ? f ( x) ? f (2014 ? x) (1)求证: g ( x) ? g (2014 ? x) 是定值. (2)判断 g ( x) 在 R 上的单调性;并证明. (3)若 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0, 求证: x1 ? x2 ? 2014

21. (本题满分 10 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? a sin(2 x ? (1)求常数 a, b 的值; (2)设 g ( x) ? lg f ( x ?

?

) ? b ,当 x ? [0, ] 时, ?3 ? f ( x) ? 0 。 2 6

?

?
2

) ,求 g ( x) 的单调递增区间。

22. (本题满分 10 分) 若函数 f ( x) 同时满足以下两个条件:① f ( x) 在其定义域上是单调函数;②在 f ( x) 的定义域内存在区 间 [a, b] ,使得 f ( x) 在 [a, b] 上的值域是 ? a , b ? .则称函数 f ( x) 为“自强”函数. (1)判断函数 f ( x) ? 2 ? 1 是否为“自强”函数?若是,则求出 a , b, 若不是,说明理由;
x

(2)若函数 f ( x) ?

2 x ? 1 ? t 是“自强”函数,求实数 t 的取值范围.

高一数学参考答案:
一、选择题 CBBDD DBABC 二、填空题 11、15; 16、 ? 12、0; 13、 sin ? ; 14、 y ? sin(

?

x? ); 4 4

?

15、

2 ; 3

1 2 ; 17、 ? ; 18、 (?4,0) 2 3
? x?0 得: A ? (0,3) ????1 分 ?3 ? x ? 0

三、解答题(本大题共 4 小题,共 38 分) 解: (1)由 ?

a ? 2 时, B ? [?1, 2] ????2 分

? A ? B ? [?1,3) ?????????4 分
(2)由 A ? B ? A ,得 A ? B ,设 f ( x) ? x ? x ? a
2

故 x ? (0,3) 时,都有 f ( x) ? 0

????6 分

? f (0) ? 0 ?? ? f (3) ? 0
2

得a ?9

????8 分
2

2 或由 x ? x ? a ? 0, ( x ? (0,3)) 恒成立,得 a ? x ? x, 故 a ? ( x ? x) max , x ? (0,3)

得a ?9

????8 分

20.解: (1) g (2014 ? x) ? f (2014 ? x) ? f ( x) ,故 g ( x) ? g (2014 ? x) ? 0 ??2 分 (2)任取实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (2014 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f (2014 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? [ f (2014 ? x2 ) ? f (2014 ? x1 )]

? x1 ? x2 ? 2014 ? x2 ? 2014 ? x1
又? f ( x) 是 R 上的增函数,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f (2014 ? x2 ) ? f (2014 ? x1 ) ? 0 即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,故 g ( x) 在 R 上是单调递增函数 ( 3 ) 由 ( 1 ) 得 ????6 分

g ( x2 ) ? ? g (2014 ? x2 ) ? g ( 1 x ) ?

g( ) 2 x?

1

g( ? x)

g( ? 2 ? x 4 2 0 1

? g ( x1 ) ? g (2014 ? x2 )

又 g ( x) 在 R 上是单调递增函数 ????10 分

? x1 ? 2014 ? x2 ,即 x1 ? x2 ? 2014
21.(1)? x ? [0,

?
2

]? 2 x ?

?

? 7? ? 1 ? [ , ]? sin( 2 x ? ) ? [? ,1] , ????2 分 6 6 6 6 2

? 1 1 ?a sin(2 x ? ) ? [? a, a]? f ( x) ? [?a ? b, a ? b] 6 2 2 1 ?? a ? b ? ?3, a ? b ? 0,? a ? 2, b ? ?1 又? ?3 ? f ( x) ? 0 2
(2)由(1)得, f ( x) ? ?2sin(2 x ?

????4 分

????6 分

?

7? ? ) ? 1] ? lg[2 sin(2x ? ) ? 1] 2 6 6 ? ? 1 由 2sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 ? sin(2 x ? ) ? , ????8 分 6 6 2 ? ? 5? ? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ,k ? z 6 6 6 g ( x) ? lg f ( x ? ) ? lg[? 2 sin(2x ?
其中当 2k? ?

?

6

) ?1

?

6

? 2x ?

?

即 k? ? x ? k? ?

?
6

6

? 2k? ?

?

2

, k ? z 时, g ( x) 单调递增,

,k ? z
x

因此 g ( x) 的单调增区间为 (k? , k? ?

?
6

], k ? z 。 ??10 分

22. 解(1)①? f ? x ? ? 2 -1在R 上为增函数; ②假设存在区间 ? a, b? ,? ?
a ? ? f ? a ? ? 2 ?1 ? a , b f b ? 2 ? 1 ? b ? ? ? ?

????1 分

????3 分

? a, b 是方程 2x ? x ? 1 的两个不同的实根,? a ? 0, b ? 1 ,
? f ? x ? ? 2 x ? 1 是“自强”函数,且 a ? 0, b ? 1
(2)①? f ? x ? ? ????5 分

?1 ? 2 x ? 1 ? t在 ? , ?? ? 上为增函数, ?2 ?

????6 分

②设区间 ? a, b? ,? ?

? ? f ? a ? ? 2a ? 1 ? t ? a ? ? f ? b ? ? 2b ? 1 ? t ? b



? a, b 是方程 2 x ? 1 ? t ? x 的两个不同的根,且 b ? a ?
令m ?

1 ,????8 分 2

2x ?1

? m ? 0?

?m ? t ?

1 2 m ? 1 ,? m 2 ? 2m ? 1 ? 2t ? 0 有两个不同的非负实根, 2
????10 分

?

?

?? ? 0 1 ? ? ? m1 ? m2 ? 0 ,? 0 ? t ? . 2 ?m ? m ? 0 ? 1 2



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