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高一数学必修5综合及答案


高一数学期中模拟考试(必修五)试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.数列 0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是
n A. (?1) ? 1

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰或直角三角形

12.某人从 2004 年起,每年 1 月 1 日到银行新存入 a 元(一年定期),若年利率为 r 保持不变,且每年到 ( D.cos (n ? 2)?
2

)

期存款自动转为新的一年定期,到 2008 年 1 月 1 日将所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数为(单 位为元) A.a(1+r)
5

B.cos

2

n? 2

C.cos (n ? 1)?
2

( B. a [(1+r) -(1+r)]
5

)
6

C.a(1+r) 6

6

D. a [(1+r) -(1+r)]
r

2.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a,则 cosB 等于( A. 1
4

) 1 2

r

B. 3
4

C.

2 4

D.

2 3

3

4

5

7

8

9

10

11

12

3. 设等差数列 {a n } 的前 n 项之和为 S n ,已知 S10 ? 100 ,则 a4 ? a7 ? ( A、12 B、20 C、40
x ?1

) 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

D、100 ( D、 4 )

4. 已知 x ? 1,则函数 f ( x) ? x ? 1 的最小值为 A、1 B、2 C、3

2 2 2 13. 在△ABC 中,若 a +b <c ,且 sinC= 3 ,则∠C=

2

14.数列{an}的通项公式为 an=2n-49,Sn 达到最小时,n 等于_______________. 15. 对于任意实数x,不等式 ? a ? 2 ? x 2 ? 2 ? a ? 2 ? x ? 4 ? 0 恒成立,则实数a的取值范围是 16. 如图,在面积为 1 的正 ?A1B1C1 内作正 ?A2 B2C2 ,使 A1 A2 ? 2 A2 B1 , ( )
????? ????? ????? ? ????? B1 B2 ? 2 B2C1 , C1C2 ? 2C2 A1 ,依此类推, 在正 ?A2 B2C2 内再作正
A2 C3

5. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,并且 a=1,b= 3 ,A=30°,则 c 的值为( ) 。 A、2 B、1 C、1 或 2
n

D、 3 或 2

?????

?????

A1

6.等比数列{an}中,前 n 项和 Sn=3 +r,则 r 等于 A.-1 B.0 C.1 D.3

C2 B3

7.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为 m,则 m 的范围是( A.(1,2) B.(2,+∞) C.[3,+∞) D.(3,+∞)

)

?A3 B3C3 ,……。记正 ?Ai Bi C i 的面积为 ai (i ? 1,2,??, n) ,
B1

A3 B2 C1

则 a1+a2+……+an=



8. 给出平面区域如下图所示,其中A(5,3) ,B(1,1) ,C(1,5) ,若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最 大值的最优解有无穷多个,则a的值是 ( )

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12 分) △ABC 中,D 在边 BC 上,且 BD=2,DC=1,∠B=60 ,∠ADC=150 ,求 AC 的长及△ABC 的 面积。
o o

2 A. 3
2

1 B. 2

C.2

3 D. 2
( )

A

9.已知函数 f(x)=ax +2ax+4(a>0),若 x1<x2,x1+x2=0,则 A.f(x1)<f(x2) C.f(x1)>f(x2)
an

B

2

D 1 C

B.f(x1)=f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 ( )
n

10. 若数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, a n?1 ? n ? 1 ,则此数列是 A.等差数列 B.等比数列 C.既是等差数列又是等比数列
2 2

D .既非等差数列又非等比数列 ( )

11.在△ABC 中,tanAsin B=tanBsin A,那么△ABC 一定是

18.(12 分) 已知关于 x 的不等式 ax

2

1? ? bx ? c ? 0 的解集是 ? ? x | x ? ?2或x ? ? ? , ? 2?

求不等式

21.( 14 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1, Sn ?1 ? 4an ? 2(n ? N ? ) (1)若 bn ? an ?1 ? 2an ,求 bn ; (2)若 cn ?

ax2 ? bx ? c ? 0 的解集

1 ,求 {cn } 的前 6 项和 T6 ; an ?1 ? 2an

(3)若 d n ?

an ,证明 {d n } 是等差数列. 2n

19.(12 分) 某公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超 过 9 万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.假定甲、乙两个电视台为 该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、 乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

22.(12 分)已知正项数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 2 S n ? an ? 1, n ? N . (1)试求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 bn ?

*

1 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Bn ,求证: Bn ? . 2 an an ?1

20.(12 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an ?1 (1)证明数列 ?an ? n? 是等比数列;

? 4an ? 3n ? 1 , n ? N* .

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ; (3)证明不等式 S n ?1 ≤ 4 S n ,对任意 n ? N* 皆成立.

答案 1.解析:分别取 n=1,2,3,4 代入验证可得. 答案:D
2

14.解析:∵an=2n-49, ∴{an}是等差数列,且首项为-47,公差为 2. 由?

2.解析:∵a、b、c 成等比数列, ∴b =2a .
2 2

∴b =ac. 又∵c=2a,

?a n ? 2n - 49 ? 0, ?a n -1 ? 2(n - 1) - 49 ? 0,

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4a 2 ? 2a 2 3 ∴cosB= = = . 答案:B 2ac 4 4a 2
3.答案:B 4.答案:C 5.答案:C
n-1

解得 n=25. ∴从第 25 项开始为正,前 24 项都为负数,故前 24 项之和最小. 答案:24 15.答案:(-2 16.答案: 2]

6.解析:当 n=1 时,a1=3+r;

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2·3 ,要使{an}为等比数列,则 3+r=2,即 r=-1. 答案:A 7.解析:设 A>B>C,则 B=

2? ? ? ,A+C= ,0<C< ,于是 3 3 6

3 1 (1 ? n ) 2 3
o o o

17.解:在△ABC 中,∠BAD=150 -60 =90 , ∴AD=2sin60 = 3 .…………………………………………
2 2 2 o o

m=

a sin A = = c sin C

sin(

2? 3 1 ? C) cosC ? sin C 3 1 3 2 = cotC+ , ? 2 2 sin C sin C 2

3分

在△ACD 中,AC =( 3 ) +1 -2× 3 ×1×cos150 =7,…………6 分 ∴AC= 7 . ∴AB=2cos60 =1. S△ABC=
o

∵ 3 <cotC, ∴m>2. 答案:B 8.答案:C 9.解析:函数 f(x)=ax +2ax+4(a>0),二次函数的图象开口向上,对称轴为 x=-1,a>0, ∴x1+x2=0,x1 与 x2 的中点为 0,x1<x2. ∴x2 到对称轴的距离大于 x1 到对称轴的距离. ∴f(x1)<f(x2). 答案:A 10 答案:A 11.解析:由题意得 sin2A=sin2B,则 A=B 或 A+B= 答案:D 12.答案:B 13.答案:120
o 2

………………………………………………8 分

1 3 o ×1×3×sin60 = 3. 2 4

………………………………12 分

1 2 18.解:由条件知, ? 2,? 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个实根,且 a ? 0 …2 分 2
?? b 1 5 c 1 ? ?2 ? ? ? , ? (?2) ? (? ) ? 1 , a 2 2 a 2

…4 分

?b ?

5 a, c ? a 2
2

…5 分 …8 分

从而不等式 ax ? bx ? c ? 0 可变为 a( x 2 ? 5 x ? 1) ? 0

? . 2

2

? a ? 0,? 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 ,?解得 1 ? x ? 2
2

…11 分

?不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是 {x | 1 ? x ? 2} …12 分
2

19.解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元, 由题意得 ?500 x ? 200 y ? 90000,……………3 分
? ? x ? 0,y ? 0. ? ? x ? y ? 300,

an? 2 ? Sn? 2 ? Sn?1 ? 4(an?1 ? an ) ? an? 2 ? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an )
即 bn ?1 ? 2bn

y
400 300

500

?{bn } 是公比为 2 的等比数列,且 b1 ? a2 ? 2a1 ………………………3 分
M

目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .………………4 分

l

200 100

? a1 ? 1, a2 ? a1 ? S2
200 300

即 a2 ? a1 ? 4a1 ? 2

? x ? y ? 300, 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ? 900, ………………5 分 ? ? x ? 0,y ? 0. ?

0

100

x

? a2 ? 3a1 ? 2 ? 5

? b1 ? 5 ? 2 ? 3

? bn ? 3 ? 2n ?1 ………………………………………………5 分
(2) cn ?

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域. 如图:作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 , 即 3x ? 2 y ? 0 .………………8 分 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.

1 1 1 1 1 , c1 ? ? ? ? n ?1 1?1 an?1 ? 2an bn 3 ? 2 3? 2 3

1 1 ? cn ? ? ( )n ?1 3 2
1 1 ?{cn } 是首项为 ,公比为 的等比数列…………………8 分 3 2

? x ? y ? 300, 联立 ? 解得 x ? 100,y ? 200 .?点 M 的坐标为 (100, 200) . ?5 x ? 2 y ? 900.
? zmax ? 3000 x ? 2000 y ? 700000 (元)………………11 分

答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大, 最大收益是 70 万元.………………12 分 20. (Ⅰ)证明:由题设 an ?1 ? 4an ? 3n ? 1 ,得 an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N .
*

1 1 [1 ? ( )6 ] 2 ? 2 (1 ? 1 ) ? 61 …………………10 分 ?T6 ? 3 1 3 64 96 1? 2
(3)? d n ?

an , bn ? 3 ? 2n?1 2n an?1 an an?1 ? 2an b ? n ? ? nn n ?1 n ?1 2 2 2 2 ?1
3 ? 2n ?1 3 ? 2n ?1 4

又 a1 ? 1 ? 1 ,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列.…………4 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4
n ?1

? dn?1 ? dn ?
即 d n ?1 ? d n ?

,于是数列 ? an ? 的通项公式为

an ? 4

n ?1

n ? n .所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 4 ? 1 ? n(n ? 1) .…………8 分 3 2

(Ⅲ)证明:对任意的 n ? N , S
*

n ?1

? 4Sn ?

? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) ? ? 4? ? ? 3 2 2 ? ? 3

?{d n } 是等差数列……………………………………14 分
22.解:17.(1) a n ? 2n ? 1 (2)略

* 1 ? ? (3n2 ? n ? 4) ≤ 0 .所以不等式 Sn ?1 ≤ 4 Sn ,对任意 n ? N 皆成立.…………12 分 2

21.解:20.解(1)? a1 ? 1, Sn ?1 ? 4an ? 2(n ? N ? )

?? Sn ? 2 ? 4an ?1 ? 2


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