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高中数学人教A版选修4-4创新应用课件: 第二讲 章末小结与测评


章末小结与测评 (1)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为(x,y); (2)选取适当的参数; (3)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点 P 坐标与参数的函数式; (4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程. 过点 P(-2, 0)作直线 l 与圆 x2+y2=1 交于 A、 B 两点,设 A、B 的中点为 M,求 M 的轨迹的参数方程. [解] 设 M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 x x 得(1+t2)y2-4ty+3=0. ? ?x=ty-2, =ty-2.由? 2 消去 2 ? x + y = 1 ? 4t 2t ∴y1+y2= ,则 y= . 1+t2 1+t2 -2 2t2 x=ty-2= -2= , 1+t2 1+t2 由 Δ=(4t)2-12(1+t2)>0 得 t2>3. ? ?x= -22, 1+t ? ∴M 的轨迹的参数方程为? (t 为参数且 t2>3). ?y= 2t ? 1+t2 ? 在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方 程.一般地,消参数经常采用的是代入法和三角公式法.但将 曲线的参数方程化为普通方程,不只是把其中的参数消去,还 要注意 x,y 的取值范围在消参前后应该是一致的,也就是说, 要使得参数方程与普通方程等价, 即它们二者要表示同一曲线. ? ?x=1+2cos t, 已知曲线的参数方程为 ? (0≤t ? y =- 2 + 2sin t ? ≤π ),把它化为普通方程,并判断该曲线表示什么图形? [解] ? ?x=1+2cos t, 由曲线的参数方程? 得 ? ?y=-2+2sin t, ? ?x-1=2cos t, ? ? ?y+2=2sin t. ∵cos 2t+sin 2t=1,∴(x-1)2+(y+2)2=4. 由于 0≤t≤π,∴0≤sin t≤1. 从而 0≤y+2≤2,即-2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为(x-1)2+(y+2)2= 4(-2≤y≤0). 这是一个半圆,其圆心为(1,-2),半径为 2. 1? ? ? t+ t ?sin θ , ① ?x= ? ? ? ? 已知参数方程 (t≠0). ? ? 1 ?y=?t- ?cos θ , ② ? ? t? (1)若 t 为常数,θ 为参数,方程所表示的曲线是什么? (2)若 θ 为常数,t 为参数,方程所表示的曲线是什么? [解] (1)当 t≠± 1 时,由①得 sin θ= y 1, t+ t x x2 y2 由②得 cos θ= 1.∴? 1? +? 1? =1. t- t ?t+ t ?2 ?t- t ?2 ? ? ? ? 它表示中心在原点, 长轴长为 焦点在 x 轴上的椭圆. 当 t= ± 1 时,y=0,x=± 2sin θ,x∈[-2,2], 它表示在 x 轴上[-2,2]的一段线段. ? ? 1? 1? 2?t+ t ?, 短轴长为 2?t- t ?, ? ? ? ? kπ x 1 (2)当 θ≠ 2 (k∈Z)时,由①得 =t+ t . sin θ 由② 得 y 1 =t- t . cos θ x2 y2 x2 y2 平方相减得 2 - 2 =4,即 - =1, sin θ cos θ 4sin2θ 4cos2θ 它表示中心在原点,实轴长为 4|sin θ|,虚轴长为 4|cos θ|, 焦点在 x 轴上的双曲线. 当 θ=kπ(k∈Z)时,x=0,它表示 y 轴; ? 1? π


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