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高中数学人教A版选修4-4创新应用课件: 第二讲 章末小结与测评_图文

章末小结与测评 (1)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为(x,y); (2)选取适当的参数; (3)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点 P 坐标与参数的函数式; (4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程. 过点 P(-2, 0)作直线 l 与圆 x2+y2=1 交于 A、 B 两点,设 A、B 的中点为 M,求 M 的轨迹的参数方程. [解] 设 M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 x x 得(1+t2)y2-4ty+3=0. ? ?x=ty-2, =ty-2.由? 2 消去 2 ? x + y = 1 ? 4t 2t ∴y1+y2= ,则 y= . 1+t2 1+t2 -2 2t2 x=ty-2= -2= , 1+t2 1+t2 由 Δ=(4t)2-12(1+t2)>0 得 t2>3. ? ?x= -22, 1+t ? ∴M 的轨迹的参数方程为? (t 为参数且 t2>3). ?y= 2t ? 1+t2 ? 在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方 程.一般地,消参数经常采用的是代入法和三角公式法.但将 曲线的参数方程化为普通方程,不只是把其中的参数消去,还 要注意 x,y 的取值范围在消参前后应该是一致的,也就是说, 要使得参数方程与普通方程等价, 即它们二者要表示同一曲线. ? ?x=1+2cos t, 已知曲线的参数方程为 ? (0≤t ? y =- 2 + 2sin t ? ≤π ),把它化为普通方程,并判断该曲线表示什么图形? [解] ? ?x=1+2cos t, 由曲线的参数方程? 得 ? ?y=-2+2sin t, ? ?x-1=2cos t, ? ? ?y+2=2sin t. ∵cos 2t+sin 2t=1,∴(x-1)2+(y+2)2=4. 由于 0≤t≤π,∴0≤sin t≤1. 从而 0≤y+2≤2,即-2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为(x-1)2+(y+2)2= 4(-2≤y≤0). 这是一个半圆,其圆心为(1,-2),半径为 2. 1? ? ? t+ t ?sin θ , ① ?x= ? ? ? ? 已知参数方程 (t≠0). ? ? 1 ?y=?t- ?cos θ , ② ? ? t? (1)若 t 为常数,θ 为参数,方程所表示的曲线是什么? (2)若 θ 为常数,t 为参数,方程所表示的曲线是什么? [解] (1)当 t≠± 1 时,由①得 sin θ= y 1, t+ t x x2 y2 由②得 cos θ= 1.∴? 1? +? 1? =1. t- t ?t+ t ?2 ?t- t ?2 ? ? ? ? 它表示中心在原点, 长轴长为 焦点在 x 轴上的椭圆. 当 t= ± 1 时,y=0,x=± 2sin θ,x∈[-2,2], 它表示在 x 轴上[-2,2]的一段线段. ? ? 1? 1? 2?t+ t ?, 短轴长为 2?t- t ?, ? ? ? ? kπ x 1 (2)当 θ≠ 2 (k∈Z)时,由①得 =t+ t . sin θ 由② 得 y 1 =t- t . cos θ x2 y2 x2 y2 平方相减得 2 - 2 =4,即 - =1, sin θ cos θ 4sin2θ 4cos2θ 它表示中心在原点,实轴长为 4|sin θ|,虚轴长为 4|cos θ|, 焦点在 x 轴上的双曲线. 当 θ=kπ(k∈Z)时,x=0,它表示 y 轴; ? 1? π ?t+ ?. 当 θ=kπ+2(k∈Z)时,y=0,x=± t? ? 1 1 ∵t+ t ≥2(t>0 时)或 t+ t ≤-2(t<0 时), ∴|x|≥2.∴方程为 y=0(|x|≥2),它表示 x 轴上以(-2,0) 和(2,0)为端点的向左、向右的两条射线. 求直线的参数方程,根据参数方程参数的几何意义,求直 线上两点间的距离, 求直线的倾斜角, 判断两直线的位置关系; 根据已知条件求圆的参数方程, 根据圆的参数方程解决与圆有 关的最值、位置关系等问题. 设曲线 C ? ?x=2+3cos θ 的参数方程为? ? ?y=-1+3sin , (θ 为 θ 参数), 直线 l 的方程为 x-3y+2=0, 则曲线 C 上到直 7 10 线 l 距离为 10 的点的个数为( A. 1 B. 2 C. 3 ) D. 4 [解析] 曲线 C 的标准方程为:(x-2)2+(y+1)2=9, 它表示以(2,-1)为圆心,半径为 3 的圆, 因为圆心 (2 ,- 1) 到直线 x - 3y + 2 = 0 的距离 d = |2+3+2| 7 10 7 10 7 10 = 10 ,且 3- 10 < 10 ,故过圆心且与 l 平行 10 的直线与圆相交的两点为满足题意的点. [答案] B ? ?x=2+t, ( 北京高考 ) 直线 ? (t ? ?y=-1-t, ? ?x=3cos ? ? ?y=3sin 为参数 ) 与曲线 α, (α 为参数)的交点个数为________. α, [解析] 直线的普通方程为 x+y-1=0,圆的普通方程为 2 x +y =3 ,圆心到直线的距离 d= 2 <3,故直线与圆的交点 2 2 2 个数是 2. [答案] 2 ? ? ?x=-1+2t, ?x=1+4cos θ 求直线 ? 被曲线 ? ? ? ?y=-2t ?y=-1+4sin , 截 θ 得的弦长. [解] ? ?x=-1+2t, 直线? 的普通方程为 ? y =- 2 t , ? x+y+1=0 4 的 ? ?x=1+4cos θ, 曲线? 即圆心为(1,-1),半径为 ? y =- 1 + 4sin θ , ? |1-1+1| 圆,则圆心(1,-1)到直线 x+y+1=0 的距离 d= = 12+12 2 2. 设直线被曲


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