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正弦定理的几种证明方法


正弦定理的几种证明方法

1.利用三角形的高证明正弦定理 (1) 当 ? ABC 是锐角三角形时, 设边 AB 上的高是 CD, 根据锐角三角函数的定义, C 有 CD ? a sin B , CD ? b sin A 。 由此,得
a
sin A

a
sin A ?

?

b
sin B , ?

同理可得

c
sinC

?

b
sin B


A

b

a B

故有

b
sin B

c
sinC .从而这个结论在锐角三角形中成立.

D

(2)当 ? ABC 是钝角三角形时,过点 C 作 AB 边上的高,交 AB 的延长线于点 D, 根据锐角三角函数的定义,有 CD ? a sin ?CBD ? a sin ?ABC ,CD ? b sin A 。由此, 得
a
sin A ?

b
sin ?ABC , ?

同理可得
c
sinC .

c
sinC

?

b
sin ?ABC
b A a B D C

故有

a
sin A

b
sin ?ABC

?

由(1)(2)可知,在 ? ABC 中,

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

成立.

从而得到:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即
a
sin A ?

b
sin B

?

c
sinC .

1’用知识的最近生长点来证明: 实际应用问题中,我们常遇到问题: 已知点 A,点 B 之间的距|AB|,可测量角 A 与角 B, 需要定位点 C,即: 在如图△ABC 中,已知角 A,角 B,|AB|=c, 求边 AC 的长 b 解:过 C 作 CD?AB 交 AB 于 D,则
DC ?
AD ? c cos A

BD c sin A c sin A cos C ? ? sin C tan C sin C cos C

b ? AC ? AD ? DC ? c cos A ?

c sin A cos C c(sin C cos A ? sin A cos C ) c sin B ? ? sin C sin C sin C

推论:

b c ? sin B sin C a b c ? ? sin A sin B sin C

同理可证:

2.利用三角形面积证明正弦定理? 已知△ ABC, 设 BC = a, CA = b,AB = c, 作 AD ⊥ BC, 垂足为 D.? 则 Rt △ ADB AD A 中, sin B ? ,?∴AD=AB· sinB=csinB.? AB 1 1 1 1 ∴S△ABC= a ? AD ? ac sin B .?同理,可证 S△ABC= ab sin C ? bc sin A .? 2 2 2 2 1 1 1 C ∴ S△ABC= ab sin C ? bc sin A ? ac sin B .?∴absinc=bcsinA=acsinB,? D 2 2 2 sin C sin A sin B a b c ? ? ? ? 在等式两端同除以 ABC,可得 .?即 . c a b sin A sin B sin C 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于 AC ,则 j 与

B

AB 的夹角为
AB ,?

90° -A,j 与 CB 的夹角为 90° -C.?由向量的加法原则可得? AC ? CB ? j 的数量积运算,得到 j ? ( AC ? CB) ? j ? AB 由分配律可得 AC ? ∴|j|

为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量

j ? CB ? j ? AB .?
j A

B

AC Cos90° +|j| CB Cos(90° -C)=|j| AB Cos(90° -A).?
a c ? .? sin A sin C

∴asinC=csinA.?∴

C

另外,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j,则 j 与 AC 的夹角为 90° +C,j 与 AB 的夹 角为 90° +B,可得
c b ? .? sin C sin B

(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为 j 与 为 90° -C,j 与

AC 的夹角

AB 的夹角为 90° -B)?∴

a b c ? ? .? sin A sin B sin C

(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设 A>90° ,过点 A 作与 与

AC 垂直的单位向量 j,则 j
C
j

AB 的夹角为 A-90° ,j 与 CB 的夹角为 90° -C.?
AB ,得 j·AC ?+j· CB =j·AB ,?
A

由 AC ? CB ?

即 a· Cos(90° -C)=c· Cos(A-90° ),?∴asinC=csinA.?∴ 另外,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j,则 j 与 角为?90° +B.同理,可得 4.外接圆证明正弦定理
b c ? .? ∴ sin B sin C

a c ? sin A sin C

A

B

AC 的夹角为 90° +C,j 与 AB 夹

a b c ? ? simA sin B sin C

在△ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结 BO 并延长交圆于 B′,设 BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所 对的圆周角相等可以得到 c c ? 2 R .? ∠BAB′=90° ,∠C =∠B′,∴sinC=sinB′= sin C ? sin B? ? .?∴ 2R sin C a b a b c ? 2 R, ? 2 R .?∴ ? ? ? 2 R .? 同理,可得 sin A sin B sin A sin B sin C 这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式? a b c ? ? .? sin A sin B sin C


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