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高中数学第三章导数及其应用31导数311变化率教案新人教B版选修1 1(数学教案)

变化率 一.内容与内容解析 微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用,开创了近代数学过渡的新 时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段,导数概念是微积分的核心概念之一,它 是研究函数增减、变化快慢、最大(小)等问题最一般、最有效的工具,也是解决运动、速 度、等实际问题的最有力的工具。 以气球平均膨胀率问题和高台跳水平均速度问题为背景,引出平均变化率的概念。设函 数 到 在 上有定义, 设 , , 则 称为函数 从 的平均变化率。记 (自变量的增量), (函数的增量), 则平均变化率可表示为 。本质是对应函数的增量与自变量的增量的比值;表示函数在某一 范围内平均的变化趋势(增减)和快慢程度。 在高台跳水问题中,通过从平均速度到瞬时速度的过程抽象出瞬时速度的概念,再抽象 出瞬时变化率的概念。设函数 在 及其附近有定义,在 附近给自变量以增量 , 则函数有相应的增量 ,若 趋近于 0 时, 趋近于一个确定的值,则称这个确定的值为 当 趋近于 0 时的极限,记作 。设函 数 在 在 及其附近有定义, 若 的瞬时变化率,也称它为函数 在 存在, 则称它为函数 的导数,记作 或 ,即 。本质是函数在某一点的导数,就是函数在该点的瞬时 变化率,而瞬时变化率就是函数在这一点附近平均变化率的极限(当自变量增量趋近于 0)。 二.目标和目标解析 本节课要求学生能借助对气球平均膨胀率问题和高台跳水平均速度问题的研究,提炼出 平均变化率的概念,并能正确理解平均变化率的定义。通过实例、直观感知、讨论、探究, 理解瞬时速度的含义、感受逼近的思想。通过探究归纳出瞬时变化率的概念,并能理解瞬时 变化率就是导数。 三.教学问题诊断分析 -1- 学生已有的知识结构是,进入高中后对函数的认识有了一定的积累,在两年多的时间里 从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力,在物理学中已经学习过加速度的定 义(是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值),抽象概括思想也逐步深入学生心中, 转化成了学生自己的知识技能,这些为学好平均变化率奠定扎实的基础. 但是由于新教材是以模块的形式进行展开教学的,文科学生选修这一系列。文科学生的 数学一直都是弱项,他们的感性思维比较强,理性思维比较弱,如果没有掌握好概念性的问 题,他们极容易在解题时钻牛角尖,因此若能让学生主动参与到平均变化率学习过程中,让 学生体会到自己在学“有价值的数学”,就会激发学生的学习数学的兴趣,树立学好数学的 自信心。 教学的难点是对生活现象和物理问题如何作出合理的数学阐释,概括抽象函数的平均变 化率,逼近思想下的瞬时变化率的理解。 教学重点是平均变化率、瞬时变化率的理解。方式是特殊到一般、具体到抽象、实际问 题到数学问题的过程。 四.教学支持条件分析 为了有效实现教学目标,可以借助计算机辅助教学,增加课堂上知识之间的交互性,用 气球做试验,提高学生的兴趣和课堂效率. 五.教学设计 (ⅰ)课题引入 利用幻灯片展示微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接关系。导数是微积分的 核心概念之一。它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)等问题最一般、最有效的工具, 也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。引出学习本章的意义及重要性。 设计意图:利用熟悉的问题激发学生的兴趣与情感,为新课程的自然引入提供契机。 (ⅱ) 问题链设计 (1)老师吹气球,学生观察,思考每次吹入差不多大小的气体,气球变大的速度一样吗? 设计意图:从简单的背景出发,利用学生原有的知识经验培养学生观察、总结的能力,激发 学生求知欲望。 (2)从数学的角度如何研究呢? (3)从图象上观察:取相同的 观察 的变化情况?取相同的 观察 变化相同吗?那 哪段上气球变大得快呢,为什么? (4)若取不同的 、 那哪段上气球变大得快呢,为什么? 设计意图:从特殊到一般进一步理解平均膨胀率 (5)气球的平均膨胀率是一个特殊的情况,我们把这一思路延伸到函数上,能否归纳出函数 的平均变化率? -2- 设计意图:从平均膨胀率抽象出平均变化率,引出平均变化率的概念。 (6)观看十米跳台,那么在 0 秒到 0.5 秒时间段内的平均速度是多少,在 1 秒到 2 秒时间段 内呢,在 时间段内? (7)在某一段时间里的平均变化率分别为正数,负数,0 的时候,其运动状态是怎样的? (8)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 设计意图:体会平均速度可以描述运动员某段时间内运动的快慢,但不能表示运动员的运动 状态,激发学生的求知欲,自然的引出瞬时速度的概念。 (9)根据物理中的知识,运动员在每一个时刻必有瞬时速度,那么如何求瞬时速度呢? (10)当 趋近于 0 时,平均速度 有什么样的变化趋势? (11)从物理角度看 趋近于 0,平均速度 趋近于什么? 设计意图:从实例出发引出平均速度与瞬时速度的关系 (12)运动员在某一时刻 的瞬时速度怎样表示? (13)函数 在 处的瞬时变化率怎样表示? 设计意图:从特殊到一般抽象出函数瞬时变化率(导数)的概念。让学生体会从一般到特殊。 (14)请同学们回想一下,我们这节课都进行了哪些活动?学习了哪些概念? 设计意图:通过复习本节课的内容,使学生对所学的知识有一个系统的认识。 -3- - 高氯酸 对阿胶 进行湿 法消化 后, 用 导数火 焰原子 吸收光 谱技术 测定阿 胶中的 铜、 “中 药三大 宝, 人 参、鹿 茸和阿 胶。 ”阿胶 的药用 已有 两千多 年的悠 久历史, 历代 宫① 马 作峰. 论疲劳 源于肝 脏[J]. 广西中 医药,20 08,31( 1):31. ① 史 丽萍,马 东明, 解丽芳 等.力 竭性运 动对小 鼠肝脏 超微结构 及肝糖 原、肌糖 元含量 的影响 [J]. 辽宁中 医杂志 ,① 王 辉武, 吴行明, 邓开蓉 .《内经 》 “肝者 罢极之 本”的临 床价值 [J] .


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