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安徽省野寨中学2010届高三上学期第二次月考(数学理)

安徽省野寨中学 2010 届高三第二次月考 (数学理)
命题:王永安 审题:胡小林

第 I 卷(选择题填空题共 75 分)
一,选择题(5 分×11=55 分) 1. 设 A = {x ||x – 2|≤3},B = {x | x<t},若 A∩B = ,则实数 t 的取值范围( A.t < –1 2,已知集合 M = y = 10 A. x x ≥ 3 B.t≤–1 C.t >5 D.t≥5 )

{

x

, x ∈ R N = x y = 1og3 x 1 则 M ∩ N = (
1 3
C. x 0 < x ≤ 1

}

{

}

)

{

}

B. x x ≤



{

}

D. x 0 < x ≤



1 3

3.设 a = log 3 2, b = log 2 3, c = log 1
2

1 ,则( 5
C. b

)

A. a < b < c

B. a < c < b
2

< a < c

D. b < c

<a
)

4.不等式 x + 3 x 1 ≤ a 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A. (∞, 1] ∪ [4, +∞ ) B. (∞, 2] ∪ [5, +∞) C. [1, 2] 5.设 f ( x ) = lg D. ( ∞,1] ∪ [2, +∞ )

2+ x x 2 ,则 f ( ) + f ( ) 的定义域为 2 x 2 x

(

)

A. (4, 0) ∪ (0, 4) C. (2, 1) ∪ (1, 2) 6.下列命题中,真命题是(
2

B. (4, 1) ∪ (1, 4) D. ( 4, 2) ∪ (2, 4) ) B. x ∈ R, x + 1 = x
2

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

A. x ∈ (3, +∞ ), x > 2 x + 1 C. x ∈ [0,

π
2

] ,sinx + cosx≥2

D. x ∈ (

π
2

, π ), tan x > sin x
)

T 7.f (x)的定义在 R 上的奇函数,它的最小正周期为 T,则 f ( ) 的值为( 2
A.0 B.

T 2

C.T

D.-

T 2

-1-

8.已知定义域为(-∞,0)∪(0,+ ∞)的函数 f (x)是偶函数,并且在(-∞,0)上是增函数, 若 f(2)=0,则

f ( x) x

<0 的解集是(

) B. (-∞,-2)∪(0,2) D. (-2,0)∪(2,+∞)
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

A. (-2,0)∪(0,2) C. (-∞,-2)∪(2,+∞)

x ≥ 0 4 9.若不等式组 x + 3 y ≥ 4 所表示的平面区域被直线 y = kx + 分为面积相等的两部 3 3x + y ≤ 4
分,则 k 的值为( ) A.7/3 B.3/7 C.2/5 10.设 f ( x ) = x 3 + log 2 x + ( ) A. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件 D.5/2

(

x 2 + 1 ,则对任意实数 a, b , a + b ≥ 0 是 f (a ) + f (b) ≥ 0 的
B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

)

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

11.f (x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数 ,且满足 xf ′( x ) ≤ f ( x ) ,对任意的正数 a 、 b ,若 a < b,则必有 ( A. af ( a ) ≤ bf (b) ) C. af (b) ≤ bf ( a ) D. af (b) ≥ bf ( a )

B. af ( a ) ≥ bf (b)

二,填空题(4 分×5=20 分) 12.若函数 y = mx 2 + x + 5 在 [ 2, +∞) 上是增函数,则 m 的取值范围是____________. . 13. 已知集合 A={y|y -(a +a+1)y+a(a +1)>0},B={y|y -6y+8≤0},若 A∩B≠φ,则实数 a 的 取值范围为_______.
2 14.已知函数 f ( x) = x x ,若 f ( m 1) < f ( 2) ,则实数 m 的取值范围是_______.
2 2 2 2

2

15.若函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ≠ 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 16.

.

f ( x ) = x 2 2 x ,g(x) = mx + 2, x1 ∈ [ 1, 2] , x0 ∈ [1, 2] .使 g(x1) =
.

f (x0),

则 m 的取值范围

第П卷(解答题 共 75 分) 三,解答题(共 6 小题,计 75 分) 17.(本题满分 12 分)
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

设命题 p : 函数 f ( x ) = ( a ) x 是 R 上的减函数,命题 q : 函数 f ( x) = x 4 x + 3 在
2

3 2

-2-

" [0, a ] 的值域为 [ 1,3] .若" p 且 q "为假命题, p 或 q "为真命题,求 a 的取值范围.

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

1 1+ x log 2 , x 1 x
w.w.w.k.s.5.u. c. o.m

(1)求 f(x)的定义域, (2)判断并证明 f(x)的奇偶性 (3)求 f(x)的单调性.

19.(本题满分 12 分) 设函数 f ( x) =

ex x

(1) 求函数 f ( x ) 的单调区间;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2) 若 k > 0 ,求不等式 f ' ( x ) + k (1 x ) f ( x ) > 0 的解集.

-3-

20,(本小题满分 13 分) 已知函数 y = (1)求 M (2)当 x ∈ M 时,求 f ( x) = a 2
x+2

1+ x + lg(3 4 x + x 2 ) 的定义域为 M , 1 x

+ 3 × 4 x (a > 3) 的最小值.

21.(本题满分 13 分)

设集合A = {( x, y ) | y 2 = x + 1}, B = {( x, y ) | 4 x 2 + 2 x 2 y + 5 = 0},
C = {( x, y ) | y = kx + b},问是否存在自然数k , b, 使( A ∪ B ) ∩ C = 试证明你的结论. ,

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

22. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + b(a, b ∈ R ) .
w.w.w.k.s.5.u .c. o.m

(1) f ( x ) 在[0, 若 2]上是增函数,x = 2 是方程 f ( x ) = 0 的一个实根, 求证: f (1) ≤ 2 ; (2)若 f ( x ) 的图象上任意不同两点的连线斜率小于 1,求实数 a 的取值范围.

-4-

野寨中学 2009—2010 学年度高三第二次月考 2009— 数学试题(理科)答题卷
第 I 卷(选择题填空题共 75 分) 一,选择题(5 分×11=55 分) 题号 答案 B 1 D 2 A 3 A 4 B 5 A 6 A 7 D 8 A 9 A 10 C 11

二,填空题(4 分×5=20 分) 12,[0,

1 ] 4

13, (- 3 , 3 )∪(2,+∞) 16,[-1,

14,(-1,1)

w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

15,(1,+∞)

1 ] 2

第П卷(解答题 共 75 分) 三,解答题(共 6 小题,计 75 分) 17.(本题满分 12 分) 设命题 p : 函数 f ( x ) = ( a ) x 是 R 上的减函数,命题 q : 函数 f ( x) = x 4 x + 3 在
2

3 2

" [0, a ] 的值域为 [ 1,3] .若" p 且 q "为假命题, p 或 q "为真命题,求 a 的取值范围. 解:由 0 < a

3 3 5 <1得 < a < 2 2 2

∵ f ( x) = ( x 2)2 1 ,在 [0, a] 上的值域为 [1,3] 得 2 ≤ a ≤ 4
∵ p 且 q 为假, p 或 q 为真, ∴ p , q 一真一假. 3 5 若 p 真 q 假得, 若 p 假 q 真得, ≤ a ≤ 4 . <a<2 , 2 2 3 5 综上所得,a 的取值范围是 < a < 2 或 ≤ a ≤ 4 . 2 2
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

1 1+ x log 2 , x 1 x

(1)求 f(x)的定义域, (2)判断并证明 f(x)的奇偶性 (3)求 f(x)的单调性. 解: (1) x ≠ 0 且

1+ x > 0 , 1 < x < 1 且 x ≠ 0 ,即定义域为 (1, 0) ∪ (0,1) ; 1 x

(2)因为 f ( x ) =

1 1 x 1 1+ x log 2 = + log 2 = f ( x) x 1+ x x 1 x ,又因为定义域关于原点

对称,所以 f(x)为奇函数.

-5-

(3) f ( x ) =

1 2 log 2 (1 + ) 在 (1, 0)和(0,1) 上为减函数. 1 x 1 x

19.(本题满分 12 分) 设函数 f ( x) =

ex x

(1) 求函数 f ( x ) 的单调区间;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2) 若 k > 0 ,求不等式 f ' ( x ) + k (1 x ) f ( x ) > 0 的解集. 解: (1)

f ' ( x) =

1 x 1 x x 1 x e + e = 2 e , 由 f ' ( x) = 0 ,得 x = 1 . x2 x x

因为 当 x < 0 时, f ' ( x ) < 0 ; 当 0 < x < 1 时, f ' ( x ) < 0 ; 当 x > 1 时, f ' ( x ) > 0 ;

(0,1] 所以 f ( x ) 的单调增区间是: [1, +∞ ) ; 单调减区间是: ( ∞, 0), .


x 1 + kx kx 2 x ( x 1)(kx + 1) x f ( x) + k (1 x) f ( x) = e = e >0, x2 x2
'

得: ( x 1)( kx 1) < 0 . 故:当 0 < k < 1 时, 解集是: {x 1 < x < } ; 当 k = 1 时,解集是: ; 当 k > 1 时, 解集是: {x 20.(本小题满分 13 分) 已知函数 y = (1)求 M

1 k

1 < x < 1} . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m k

1+ x + lg(3 4 x + x 2 ) 的定义域为 M , 1 x

w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

(2)当 x ∈ M 时,求 f ( x ) = a 2 x + 2 + 3 × 4 x (a > 3) 的最小值.

1 + x ≥ 0且x ≠ 1 解 (1)∵由题可得 1 x 3 4 x + x 2 > 0
x x+2 x (2)∴ f ( x) = a 2 + 3× 4 = 3( 2 +

可 解 得 M = [ 1,1)

2a 2 4 2 ) a 3 3



1 2a ≤ 2 x < 2 , a > 3 ,∴ <2 2 3

-6-

2a 1 3 3 ≤ ,即 a ≥ 时, f (x) min = f (1) = 2a + , 3 2 4 4 1 2a 3 < 2 ,即 3 < a < 时, ②若 < 2 3 4 2 2a 4 x 所以当 2 = a, 即 x = log 2 ( ) 时, f (x) min = a 2 3 3 3
①若

∴ f ( x ) min

3 2a + 4 (a ≥ = 4 a 2 (3 < a 3

3 ) 4 3 < ) 4
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

21.(本题满分 13 分)

设集合A = {( x, y ) | y 2 = x + 1}, B = {( x, y ) | 4 x 2 + 2 x 2 y + 5 = 0},
C = {( x, y ) | y = kx + b},问是否存在自然数k , b, 使( A ∪ B ) ∩ C = 试证明你的结论. ,

解: A ∪ B) C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) = φ , ∵ ( ∩ ∴ A∩ B = B ∩C =φ


y2 = x +1 k 2 x 2 + (2kb 1) x + b 2 1 = 0, y = kx + b
2

当 k=0 时,方程有解 x = b 1 ,不合题意; 当 k ≠ 0时由 1 = ( 2kb 1) 4k (b 1) < 0得b >
2 2 2

4k 2 + 1 ① 4k

又由

4 x 2 + 2 x 2 y + 5 = 0 4 x 2 + 2(1 k ) x + 5 2b = 0, y = kx + b
2

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

由 2 = 4(1 k ) 16(5 2b) < 0得b < 由①,②得 b > k +

20 (k 1) 2 ②, 8

1 20 > 1, 而b < , 4k 8

∵b 为自然数,∴b=2,代入①,②得 k=1

22. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + b(a, b ∈ R ) . 2]上是增函数,x = 2 是方程 f ( x ) = 0 的一个实根, 求证: f (1) ≤ 2 ; (1) f ( x ) 在[0, 若
-7-

(2)若 f ( x ) 的图象上任意不同两点的连线斜率小于 1,求实数 a 的取值范围.解: (1)

f '( x) = 3x 2 + 2ax
由题可知 f '( x) = 3x 2 + 2ax ≥ 0 在[0,2]上恒成立.
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

3 x + 2ax ≥ 0 2ax ≥ 3 x
2

2

当 x = 0 时此式显然成立, a ∈ R ;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 x ∈ (0, 2] 时有 2a ≥ 3 x 恒成立,易见应当有 2a ≥ 6 a ≥ 3 , 可见 f '( x) = 3x 2 + 2ax ≥ 0 在[0,2]上恒成立,须有 a ≥ 3 又 f (2) = 0 b = 8 4a

f (1) = a + b 1 = 7 3a ≤ 2
(2)设 P ( x, f ( x )), Q ( y, f ( y )) 是 f ( x ) 图象上的两个不同点,则
f

(x)

f

x y

(y) <1



( x 3 + ax 2 + b ) ( y 3 + ay 2 + b ) <1 x y

( x 2 + y 2 + xy ) + a ( x + y ) < 1 x 2 + ( y a ) x + ( y 2 ay + 1) > 0 此 式 对 于 x 恒 成 立 , 从 而
< 0 3 y 2 2ay a 2 + 4 > 0
此式对于 y 也恒成立,从而 ' < 0 a 2 < 3 a ∈ ( 3, 3) 注:用导数方法求解略,按相应步骤给分. w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

-8-



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