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有关三角函数的实际应用题


34

中学数学

2001年第11期

有关三角函数的实际应用题
j;上.}'山.}-÷:_咏

:}:复指:}: *习导* ’:f{.工.}{.}-牛

430040武汉市东西湖吴家山中学甘大旺 [复习说明] 自从1998年春季教育部调整高中数学教 学内容以来,在近四年全国高考数学文理试 卷的解答题中没有单独考查三角函数的变换 技巧,而是把三角函数同复数、三角形与四边 形、函数最值与图象变换联系起来考查,那么 今后会不会把三角函数(泛指统编教材代数 第二、三、四章)同实际问题联系起来考查呢? 我们不应疏忽这一问题.本专题复习的关键 是把某些实际问题通过设角来转化为三角函 数问题,重点是解答以平面图形为数学背景 的三角应用题. [内容提要] 三角应用题通常涉及生产、生活、军事、 天文、地理等实际问题,需要依托平面图形或
空间图形来图示题意与辅助解答,其解题流

≤—冬三坠一掣. 2√z.堑
2√幻

其中‘‘≤’’取“一,’的充要条件是。一譬即z一

厶石.则(tan口)。。一掣(o<口<昙).
2 ̄/口6


又因为

厂(口)一tan口在(o,芸)内是增函数,

则当z一 ̄/,=石(m)时,钆。一arctan!j兰.
2 ̄/n6

答:幻灯机头距墙面 ̄/口6m时对于屏幕

的上下视角最大,最大视角为arctan旦j兰.
2√n6

解法2提示
sin口=sin 一


如图1,
cos

p—cos口sin p=¨?

曼二垒

程图大致是 l审读Il—卜lI设(识)角Il—+Il定向进行|l—+Il检验l

I题意l

I建立三角式l

l三角变换I

|作答l

≤…一糍.
解法3提示

√∥+筝+(口=+6。)
由于IoA l?loB I.sin口

[范例精讲] 例1 (1986年全国高考题改编题)在幻 灯机的正前面墙上挂一块矩形屏幕,其上、下 边缘分别在经过幻灯机头的水平面的上方 dm、6m(口>6).问幻灯机头距墙面多远时对 于屏幕的上下视角(影响图像清晰度的重要 因素)最大?这个最大视角是多少? 解法1 如图1,设幻 爿 灯机头。距墙面距离。日 一zm,过H垂直于地面的 直线与屏幕上下边缘的交 点依次是A与B,则AH


一2?S△栅一IAB I?IoHl,则

。in口_...一—==丝三兰些兰一.
 ̄/(z2+口2)(z2+62)

说明 如图1,以线段AB为弦的动圆当 与直线。日相切于点D时,么AoB最大. 例2 某村欲建造一段横断面为等腰梯 形的封闭式引水槽,已知水槽两侧面、上底 面、下底面每m2的造价分别是40元、10元、50 元,水槽深o.5m,横断面面积为O.25m2.如何 设计才使得建造该水槽的总造价最省?



JV

一口m、BH一6m. 设 图l 么Ao日一口、么BDH—p, 则幻灯机头对屏幕的上下视角为口一口一卢.

则tan口一tan(口一p)一≠竿罨三篙
旦一生 z t 1+旦.鱼
z Z

由于tan口一导,tan卢一睾,且口>6>o,



Bc—AD一云去刁,

图2

n一6

z+生 Z

AB—cD+2AE—cD+著导号, 那么 丢一s横薪剪一丢(AB+cD)?丢 一丢(2?cD+誓劣),

万方数据

2001年第11期


中学数学

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cD一丢(1一搿), …‘v


解得差兰弓一tan口一4士/丙
(舍去负值). 答:将正方形钢板每边如图3顺次分成两 段之比为(4+ ̄/15):1,宜以这四个分点为 小正方形钢板的顶点进行截割. 说明
与此例类似的课本复习题的截割

AB一吉(1+等翳).
设建造水槽的总造价为y元、水槽的长度
为dm,依题意得 j,一40?(2?AD?d)+10?(AB?d)+
50?(cD?d),

蠡一8?AD+AB+5?cD 一爵南+丢c?+等劣,+专c?一簧髫,


是不经济的,因为其配图只有一个角有伤痕, 则宜保留一个无伤痕直角为小正方形的一内 角进行截割. 例4
(第一届北京市


一3+2.车署乒(o<臼<等).
sln∥


贝4

走一掣,



高中数学知识应用竞赛试 题改编题)如图4,某厂的

cos口+志?sin口一2,

一段直角通道宽3m,现有 一个载重平板车的长为 4m、宽为2m,问该平板车 能否推过拐角? 解
图4

2一Icos口+矗?sin口I≤≤ ̄/1+屉2(忌>O),
平方解得 其中当

矗≥ ̄/3.
屉一 ̄/3时,

如图4,设拐角两直角顶点分别为

cos口+/了sin口一2,
即 即

A、D,则AD一3 ̄/2 m.当平板车开始拐弯


sin(口+罢)一1


(o<曰<詈),

时,将两顶点P、Q紧贴通道外沿滑动,此时设 直线AD与平板车两长边分别相交于B、C两 点.设么AQP一口(0。<护<90。),
则 AQ=PQ?cos口一4cos口.

日一要.于是

志一一/i,

ym一10d?(3+2 ̄/3)(元).

答:当把水槽横断面的上底锐角设计为 60。时,才使得建造该水槽的总造价最省. 说明
求适合等式cos口+矗?sin口一

在△ABQ中运用正弦定理得,

AB—AQ?爵i石西享譬兰鼍百F=丽 L上石U一一4b’一∥J
Sln

2(o。<曰<90。)的是的最小值,还可考虑动直
线z+矗?y一2与定圆弧一十y2—1(z、y∈

一垒!!呈丝旦呈翌

sin(45。+口)。

过。PQ边上的点B作对边的垂线段BE,
则。么EBC一180。一。ZPBE一。ZPBA 一180。一90。一(45。+口) 一45。一口。

R+)有公共点的情形. 例3 如图3,一块正 方形钢板的四个角上有伤 痕,现要求把它截成一个
较小的正方形钢板,面积 等于原来的80%,问应怎 样截割?
图3

则Bc一丽岛一丽南.
于是 AC—AB+且e

一垒!i里皇!旦!堡 一sin(45。+口)
如图3,设原正方形与其内接小正



方形的相交边的一个夹角为口,且设小正方形 的边长为n,则原正方形的边长等于口sin口+ 口cos口.依题意得

一2厅?甓考搿
一2 ̄/2?(sin口+cos口) 一4sin(口+45。)

+五百暑而

詈一8。%一丽百西岛

≤4<3 ̄/2一AD.
因此,当口一45。时,AC的最大值4仍然 小于AD的长度.

则÷一sin
万方数据

2口一篇.


答:该平板车能够推过拐角. 说明 若让平板车内侧一边处处滑过顶

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中学数学

2001年第11期

点D,也可解答此例. 例5 海岛B上有座海拔1000米的山, 山顶A处建有观察站.上午7时55分测得一 轮船在岛B的北60。东处,俯角30。;8时5分 测得该船在岛B的北60。西处,俯角为606. (1)此船的速度是多少?(2)如果此船的航向 与速度保持不变,它何时到达岛B的正西方?
(注:原题不配图)

尸D—BD?塞渊 一半厅.sin 30。÷士
Sln/DrU


√13

一掣厄(m)一掣(km).
运用(1)的结论求得,

f一』产÷(2/石)一丧(h)一5imin).
答:(1)此船的速度是2 ̄/39km/h; (2)如果此船的航向与航速保持不变,它8时 10分到达岛B的正西方. 说明 根据题意,形象而规范地作出示 意图及其辅助线,是解答此题的关键.



设岛B的正北方

向一点为Ⅳ,该船7时55 分、8时5分的位置依次为
C、D,作两矩形ABCE与 ABDF,则四点B、C、D、N
图5

共面,且么ⅣBC一60。,

[参考练习] 1.选择题
(1)发电厂发出的电是三相交流电.它的

么EAC一30。,。<NBD一60。,么FAD一60。.
(1)由于平行线的内错角相等, 则。么ACB一。么EAC一30。,

三根导线上的电流强度分别是时间f的函数:
,^一jsin叫f,JB—Jsin(硼£+120。), 厶一Ain(硼f+咖.若,^+J口+jc—O,

。ZADB一么FAD一60。.
又因为么:ABC一。£ABD一90。, 则BC—AB?cot30。一1000 ̄/3(m),

且o。≤妒<360。,则P的值等于(
(A)60。 (B)180。
(C)240。

). (D)300。

BD—AB.cot60。一三三婴/了(m).
叉圆为么CBD—ZNBc+‘NBD
一60。+60。一120。,

(2)假定现在的时间是12点整,再过t小 时,分针和时针第一次重合,则£一(
).

则由余弦定理求得
CD一 ̄/BC2+BD2—2?BC?BD?cos
120。

(A)警(B)笺(c)蓑
2.填空题 (1)一滚珠轴承过珠
心截面的圆环的内、外半

(D)誓

一半厄(m).

由于船从C到D的航行时间是10分钟,

径分别是,.与r+d,滚珠 的直径是d,且这轴承最多 可放行颗滚珠,则,l等于 的整数部分.
图6

即÷小时,则此船的速度是
CD÷÷一2000 ̄/39(m/h)
一2 ̄/39(km/h).

(2)甲船自港A沿南15。东的方向航行, 此时乙船位于A南45。西的方向,且距A港7 海里,且乙船正驶向A港.已知甲、乙两船的 航速之比为2:1,则两船的最近距离等于 3.将一块圆心角为120。、半径为20cm的 扇形AoB铁皮裁出一块矩形,要求其中两对 边要么垂直于扇形的弦AB,要么垂直于边 oA.求矩形的最大面积. 4.为测算敌方阵地两目标A、B之间的距
 ̄/13

(2)延长CD与B岛的正西方向相交于一

点P,设船沿CD方向从D到P的所需时间为 f.在△BCD中,运用正弦定理得

sin么肋c—sin么DBc×器

一inl2一赣


一i焉。 2√39
则sin么BPD—sin(么BDc一30。)一—考=. 在△BPD中运用正弦定理得

离,在我方阵地两哨所C、D测得么ACB一 75。,。么ADB一45。,么ADC一30。,么BCD—

万方数据

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中学数学
一5(km), AB一 ̄/5(km).

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45。.巳知cD一/了km,求AB的值.


图7 图8

5.设么CBD一口,设一定重量的货物每 公里水、陆路的运费依次为m元、2m元,则由 A到B的运费

y一(40一30?tan口)?优+墨?2,,l

5.如图8,由江岸边的城A运货到江同侧 的新城B,城B到江岸的距离BC一30km,又 AC=40km.如果水路运费是公路运费的一 半,问怎样从B修筑一条公路到岸边D才使 由城A到城B的运费最省? 6.为测量某建筑物日P的高度,在直线 上依次选出观测点A、B、C,架起高度为1m的 测角仪,依次测得对建筑物顶P的仰角为
45。、60。、30。.又量得AB一6m、BC一18m,求 HP. 令
则 则

一1咖?(4+3?与群).
愚一 2一sin口
cos口


sin口+五?cos口一2,

/F干面≥2,
惫≥/了>o.
当 当

解得

日一30。时,

愚。。一√3.

cD一10/ikm时,修筑公路BD

才使由A到B的运费最省.
6.如图10添加辅助线, 设

7.一仓库房门的宽度
为1m、厚度为o.3m.现有


P日l—z,么AlBlHl一口,

一根拐角钢材,其最大水
平截面图的宽度为O.5m.
,“04

则At日-一z,B-H-一寺,
c。日。一厂可z,

问能否将这根拐角钢材移
进仓库?
图9

简答与提示 1.(1)用检验法,或用单位圆,选(C). (2)360。?z一30。?£一360。,选(A). 2.(1)考虑过圆环中心向滚珠截面圆所 arcsm万j_Z

则∥刮2+等-z一寺∞鲫, 3∥_182+等+2.18‘寺∞刚?
消去c。s口得z2一簧,


作两切线的夹角口,填——■兰丁?

HP一(1+孥/面)(m).
P C


(2)运用正弦定理,填 ̄/21海里. 3.当矩形有两对边垂直于扇形的弦AB







时,可求得矩形面积的最大值为掣v厂可cmz;
当矩形有两对边垂直于扇形的一边oA时,易 求矩形面积的最大值为200cm2.总之,矩形的
图lO

图11

最大面积等于掣/了cmz.
一V
/_=■

4.Bc—cD?揣
j‘爵i而
sin 75。

7.如图11添加辅助线,设么CPB一 。么DAB一口(o。<口<90。),则点C到直线AB
的距离
^一CP?sin口

Sln/La上J

一(O.5+O.3×cos口+O.5×cot口)sin口 一O.5× ̄/2 sin(曰+45。)+O.15×sin
2一

^+^
Ac—Dc一/i(km),
AB2一AC2+BC2—2?AC?BC?cos么:ACB

<O.708+O.15<1, 故能将钢材移进仓库.
(收稿日期:20010810)

万方数据

有关三角函数的实际应用题
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 甘大旺 430040,武汉市东西湖吴家山中学 中学数学 MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS 2001,""(11) 0次

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