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有关三角函数的实际应用题

34

中学数学

2001年第11期

有关三角函数的实际应用题

j;上.}'山.}-÷:_咏 :}:复指:}: *习导* ’:f{.工.}{.}-牛

430040武汉市东西湖吴家山中学甘大旺

[复习说明] 自从1998年春季教育部调整高中数学教
学内容以来,在近四年全国高考数学文理试 卷的解答题中没有单独考查三角函数的变换 技巧,而是把三角函数同复数、三角形与四边 形、函数最值与图象变换联系起来考查,那么 今后会不会把三角函数(泛指统编教材代数 第二、三、四章)同实际问题联系起来考查呢? 我们不应疏忽这一问题.本专题复习的关键 是把某些实际问题通过设角来转化为三角函 数问题,重点是解答以平面图形为数学背景 的三角应用题. [内容提要]
三角应用题通常涉及生产、生活、军事、 天文、地理等实际问题,需要依托平面图形或 空间图形来图示题意与辅助解答,其解题流 程图大致是

l审读I I设(识)角I l定向进行| l检验l

l—卜l

l—+I

l—+I

I题意l I建立三角式l l三角变换I |作答l

[范例精讲]

例1 (1986年全国高考题改编题)在幻

灯机的正前面墙上挂一块矩形屏幕,其上、下

边缘分别在经过幻灯机头的水平面的上方

dm、6m(口>6).问幻灯机头距墙面多远时对

于屏幕的上下视角(影响图像清晰度的重要

因素)最大?这个最大视角是多少?

解法1 如图1,设幻

灯机头。距墙面距离。日



一zm,过H垂直于地面的 曰
直线与屏幕上下边缘的交

点依次是A与B,则AH u

JV

一口m、BH一6m. 设

图l

么Ao日一口、么BDH—p,

则幻灯机头对屏幕的上下视角为口一口一卢.

则由于tatna口n口一一t导a,n(t口an一卢一p)睾一,≠且竿口>罨6>三o,篙

旦一生





1+旦.鱼





n一6
z+生 Z

≤—冬三坠一掣. 2√z.堑 2√幻

其厶中石‘.‘≤则’(’t取an“口一),。’。的充一要掣条(件o是<口。一<昙譬即)z.一

2 ̄/口6



又因为 厂(口)一tan口在(o,芸)内是增函数,

则当z一 ̄/,=石(m)时,钆。一arctan!j兰.
2 ̄/n6

答:幻灯机头距墙面 ̄/口6m时对于屏幕

的上下视角最大,最大视角为arctan旦j兰.
2√n6
解法2提示 如图1,

sin口=sin a cos p—cos口sin p=¨·



曼二垒

√∥+筝+(口=+6。)

≤…一糍.

解法3提示 由于IoA l·loB I.sin口 一2·S△栅一IAB I·IoHl,则

。in口_...一 ̄/—(=z=2丝+口 三2兰)(些z2兰+一62.)
说明 如图1,以线段AB为弦的动圆当 与直线。日相切于点D时,么AoB最大.
例2 某村欲建造一段横断面为等腰梯 形的封闭式引水槽,已知水槽两侧面、上底 面、下底面每m2的造价分别是40元、10元、50
元,水槽深o.5m,横断面面积为O.25m2.如何 设计才使得建造该水槽的总造价最省?

则 Bc—AD一云去刁,

图2

AB—cD+2AE—cD+著导号,

那么 丢一s横薪剪一丢(AB+cD)·丢

一丢(2·cD+誓劣),

万方数据

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则 cD一丢“ (1一搿…‘)v,
AB一吉(1+等翳).
设建造水槽的总造价为y元、水槽的长度 为dm,依题意得
j,一40·(2·AD·d)+10·(AB·d)+ 50·(cD·d),
则 蠡一8·AD+AB+5·cD

一爵南+丢c·+等劣,+专c·一簧髫,
走一掣, 一3+2.车s署ln∥ 乒(o<臼<等).Z


贝4

cos口+志·sin口一2,

2一Icos口+矗·sin口I≤≤ ̄/1+屉2(忌>O),

平方解得 矗≥ ̄/3.

其中当 屉一 ̄/3时,

cos口+/了sin口一2,

即 sin(口+罢)一1 (o<曰<詈),





即 日一要.于是 志一一/i,

ym一10d·(3+2 ̄/3)(元). 答:当把水槽横断面的上底锐角设计为

60。时,才使得建造该水槽的总造价最省. 说明 求适合等式cos口+矗·sin口一

2(o。<曰<90。)的是的最小值,还可考虑动直

线z+矗·y一2与定圆弧一十y2—1(z、y∈ R+)有公共点的情形.

例3 如图3,一块正

方形钢板的四个角上有伤

痕,现要求把它截成一个

较小的正方形钢板,面积

等于原来的80%,问应怎

图3

样截割?

解 如图3,设原正方形与其内接小正

方形的相交边的一个夹角为口,且设小正方形

的边长为n,则原正方形的边长等于口sin口+
詈一8。%一丽百西岛 口cos口.依题意得

2口一篇. 1
则÷一sin

解得差兰弓一tan口一4士/丙

(舍去负值).

答:将正方形钢板每边如图3顺次分成两

段之比为(4+ ̄/15):1,宜以这四个分点为

小正方形钢板的顶点进行截割.

说明 与此例类似的课本复习题的截割

是不经济的,因为其配图只有一个角有伤痕,

则宜保留一个无伤痕直角为小正方形的一内

角进行截割.

例4 (第一届北京市



高中数学知识应用竞赛试

题改编题)如图4,某厂的

一段直角通道宽3m,现有

一个载重平板车的长为

4m、宽为2m,问该平板车

能否推过拐角?

图4

解 如图4,设拐角两直角顶点分别为

A、D,则AD一3 ̄/2 m.当平板车开始拐弯

时,将两顶点P、Q紧贴通道外沿滑动,此时设 直线AD与平板车两长边分别相交于B、C两

点.设么AQP一口(0。<护<90。),

则 AQ=PQ·cos口一4cos口. 在△ABQ中运用正弦定理得,

AB—AQ·爵i石Sln西L上享石譬U一兰一鼍4b百’F一=∥丽J

一垒s!i!n呈(4丝5。旦+呈口翌)。 过。PQ边上的点B作对边的垂线段BE,
则。么EBC一180。一。ZPBE一。ZPBA 一180。一90。一(45。+口)
则Bc一丽岛一丽南. 一45。一口。

于是 AC—AB+且e
一2厅·甓考搿 +五百暑而 一一垒si!ni(里4皇5。 !旦+!口堡)

一2 ̄/2·(sin口+cos口) 一4sin(口+45。) ≤4<3 ̄/2一AD. 因此,当口一45。时,AC的最大值4仍然 小于AD的长度. 答:该平板车能够推过拐角. 说明 若让平板车内侧一边处处滑过顶

万方数据

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中学数学

点D,也可解答此例. 例5 海岛B上有座海拔1000米的山,
山顶A处建有观察站.上午7时55分测得一 轮船在岛B的北60。东处,俯角30。;8时5分 测得该船在岛B的北60。西处,俯角为606.

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尸D—BD·塞渊 Sln/DrU

一半厅.sin 30。÷士



√13

一掣厄(m)一掣(km).

(1)此船的速度是多少?(2)如果此船的航向 运用(1)的结论求得,

与速度保持不变,它何时到达岛B的正西方? (注:原题不配图)

f一』产÷(2/石)一丧(h)一5imin).

解 设岛B的正北方

答:(1)此船的速度是2 ̄/39km/h;

向一点为Ⅳ,该船7时55 分、8时5分的位置依次为

(2)如果此船的航向与航速保持不变,它8时 10分到达岛B的正西方.

C、D,作两矩形ABCE与

说明 根据题意,形象而规范地作出示

ABDF,则四点B、C、D、N

共面,且么ⅣBC一60。,

图5

意图及其辅助线,是解答此题的关键. [参考练习]

么EAC一30。,。<NBD一60。,么FAD一60。.

1.选择题

(1)由于平行线的内错角相等, 则。么ACB一。么EAC一30。,

(1)发电厂发出的电是三相交流电.它的 三根导线上的电流强度分别是时间f的函数:

。ZADB一么FAD一60。.

,^一jsin叫f,JB—Jsin(硼£+120。),

又因为么:ABC一。£ABD一90。,

厶一Ain(硼f+咖.若,^+J口+jc—O,

则BC—AB·cot30。一1000 ̄/3(m),

且o。≤妒<360。,则P的值等于(

).

BD—AB.cot60。一三三婴/了(m).
叉圆为么CBD—ZNBc+‘NBD 一60。+60。一120。,
则由余弦定理求得 CD一 ̄/BC2+BD2—2·BC·BD·cos 120。
一半厄(m).
由于船从C到D的航行时间是10分钟, 即÷小时,则此船的速度是

(A)60。 (B)180。 (C)240。 (D)300。

(2)假定现在的时间是12点整,再过t小

时,分针和时针第一次重合,则£一(

).

(A)警(B)笺(c)蓑 (D)誓
2.填空题

(1)一滚珠轴承过珠

心截面的圆环的内、外半 径分别是,.与r+d,滚珠

的直径是d,且这轴承最多

CD÷÷一2000 ̄/39(m/h)
一2 ̄/39(km/h).
(2)延长CD与B岛的正西方向相交于一 点P,设船沿CD方向从D到P的所需时间为 f.在△BCD中,运用正弦定理得
一inl2一赣 sin么肋c—sin么DBc×器

一i2√ 焉3。9
则sin么BPD—sin(么BDc一30。)一—考=.
 ̄/13
在△BPD中运用正弦定理得

可放行颗滚珠,则,l等于

的整数部分.

图6

(2)甲船自港A沿南15。东的方向航行,

此时乙船位于A南45。西的方向,且距A港7

海里,且乙船正驶向A港.已知甲、乙两船的

航速之比为2:1,则两船的最近距离等于

3.将一块圆心角为120。、半径为20cm的 扇形AoB铁皮裁出一块矩形,要求其中两对 边要么垂直于扇形的弦AB,要么垂直于边 oA.求矩形的最大面积.
4.为测算敌方阵地两目标A、B之间的距 离,在我方阵地两哨所C、D测得么ACB一 75。,。么ADB一45。,么ADC一30。,么BCD—

万方数据

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45。.巳知cD一/了km,求AB的值.


图7

图8

5.如图8,由江岸边的城A运货到江同侧

的新城B,城B到江岸的距离BC一30km,又

AC=40km.如果水路运费是公路运费的一

半,问怎样从B修筑一条公路到岸边D才使

由城A到城B的运费最省?

6.为测量某建筑物日P的高度,在直线

上依次选出观测点A、B、C,架起高度为1m的

测角仪,依次测得对建筑物顶P的仰角为

45。、60。、30。.又量得AB一6m、BC一18m,求 HP.

7.一仓库房门的宽度

为1m、厚度为o.3m.现有 C
一根拐角钢材,其最大水
,“04
平截面图的宽度为O.5m.

问能否将这根拐角钢材移

进仓库?

图9

简答与提示

1.(1)用检验法,或用单位圆,选(C).

(2)360。·z一30。·£一360。,选(A).

作两切线的夹角口,填——■兰丁· 2.(1)考虑过圆环中心向滚珠截面圆所

arcsm万j_Z

(2)运用正弦定理,填 ̄/21海里.
3.当矩形有两对边垂直于扇形的弦AB
时,可求得矩形面积的最大值为掣v厂可cmz;

当矩形有两对边垂直于扇形的一边oA时,易
求矩形面积的最大值为200cm2.总之,矩形的
4.Bc—cD·揣 最大面积等于掣/了cmz. Sln/La上J
j‘爵i而 一V /_=■ sin 75。
^+^

Ac—Dc一/i(km),
AB2一AC2+BC2—2·AC·BC·cos么:ACB
万方数据

一5(km),

AB一 ̄/5(km).
5.设么CBD一口,设一定重量的货物每 公里水、陆路的运费依次为m元、2m元,则由
A到B的运费
y一(40一30·tan口)·优+墨·2,,l
一1咖·(4+3·与群).

令 则 则 解得

2一sin口

愚一

cos口 ’

sin口+五·cos口一2,

/F干面≥2,

惫≥/了>o.

当 日一30。时, 愚。。一√3.

当 cD一10/ikm时,修筑公路BD 才使由A到B的运费最省.
6.如图10添加辅助线, 设 P日l—z,么AlBlHl一口,

则At日-一z,B-H-一寺,

c。日。一厂可z,

则∥刮2+等-z一寺∞鲫,

3∥_182+等+2.18‘寺∞刚·

消去c。s口得z2一簧,

则 HP一(1+孥/面)(m).

P C











图lO

图11

7.如图11添加辅助线,设么CPB一

。么DAB一口(o。<口<90。),则点C到直线AB

的距离

^一CP·sin口 一(O.5+O.3×cos口+O.5×cot口)sin口

一O.5× ̄/2 sin(曰+45。)+O.15×sin 2一 <O.708+O.15<1, 故能将钢材移进仓库.

(收稿日期:20010810)

有关三角函数的实际应用题

作者: 作者单位: 刊名:
英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数:

甘大旺 430040,武汉市东西湖吴家山中学
中学数学 MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS 2001,""(11) 0次

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