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第八章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系


第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

,

[学生用书 P151])

1.直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), d 为圆心(a,b)到直线 l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的 判别式为 Δ. 方法位置关系 相交 相切 相离 2.圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), 2 2 2 圆 O2:(x-a2) +(y-b2) =r2(r2>0). 几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的 关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| (r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 代数法: 两圆方程联立组成方 程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解 几何法 d<r d=r d>r 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0

方法位置关系 外离 外切 相交 内切 内含

1.辨明两个易误点 (1)对于圆的切线问题,尤其是圆外一点引圆的切线,易忽视切线斜率 k 不存在的情形. (2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形. 2.求圆的弦长的常用方法 l ?2 2 2 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则? ?2? =r -d . (2)代数法:运用根与系数的关系及弦长公式: 设直线与圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= 1+k2|x1-x2| = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]. 注意:常用几何法研究圆的弦长有关问题.

1.教材习题改编 直线 l:x+ 3y-4=0 与圆 C:x2+y2=4 的位置关系是( A.相交过圆心 B.相交不过圆心 C.相切 D.相离

)

|-4| C [解析] 圆心坐标为(0,0),圆心到直线 l 的距离 d= =2=r,所以直线 l 与圆 2 C 相切.故选 C. 2.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是( A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) C [解析] 由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为 2, |a-0+1| 所以 2 ≤ 2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1,故选 C. 1 +(-1)2 3.圆 Q:x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为( A.x+ 3y-2=0 B.x+ 3y-4=0 C.x- 3y+4=0 D.x- 3y+2=0 D [解析] 因点 P 在圆上,且圆心 Q 的坐标为(2,0), - 3 3 所以 kPQ= =- 3,所以切线斜率 k= , 3 2-1 所以切线方程为 y- 3= 3 (x-1), 3 ) )

即 x- 3y+2=0. 4.教材习题改编 已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0 与圆 C2:x2+y2+2x-2my+ m2-3=0,若圆 C1 与圆 C2 相外切,则实数 m=________. [解析] 圆 C1 和圆 C2 的标准方程为(x-m)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-m)2=4,圆心分 别为 C1(m,-2),C2(-1,m),半径分别为 3,2.当两圆外切时, (m+1)2+(m+2)2= 5,解得 m=2 或 m=-5. [答案] 2 或-5 5.教材习题改编 直线 l:3x+y+m=0 被圆 C:x2+y2-2y-4=0 截得的弦长为 10,则 m 的值为________. [解析] 圆 C:x2+y2-2y-4=0 化为 x2+(y-1)2=5.圆心为(0,1),半径 r= 5. |3×0+1+m| |1+m| 所以 C(0,1)到 l 的距离 d= = , 10 32+12 所以截得的弦长为 2 r2-d2=2 解得 m=4 或 m=-6. [答案] 4 或-6 (1+m)2 5- = 10. 10

直线与圆的位置关系[学生用书 P152] [典例引领]

(1)直线 l:mx-y+1-m=0 与圆 C:x2+(y-1)2=5 的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 2 2 (2)若直线 x+my=2+m 与圆 x +y -2x-2y+1=0 相交, 则实数 m 的取值范围为( A.(-∞,+∞) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞)
? ?mx-y+1-m=0, 【解析】 (1)法一:由? 2 消去 y, 2 ?x +(y-1) =5, ?

)

整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0, 因为 Δ=16m2+20>0,所以直线 l 与圆相交. 法二:由题意知,圆心(0,1)到直线 l 的距离 d= |m| <1< 5,故直线 l 与圆相交. m2+1

法三:直线 l:mx-y+1-m=0 过定点(1,1),因为点(1,1)在圆 x2+(y-1)2=5 的内 部,所以直线 l 与圆相交. (2)由 x2+y2-2x-2y+1=0 得(x-1)2+(y-1)2=1, |1+m-2-m| 因为直线 x+my=2+m 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相交,所以 <1,即 1 1+m2 +m2>1, 所以 m≠0,即 m∈(-∞,0)∪(0,+∞). 【答案】 (1)A (2)D 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法:利用 d 与 r 的关系. (2)代数法:联立方程后利用 Δ 判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问 题. [通关练习] 1. 已知点 M(a, b)在圆 O: x +y =1 外, 则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 2 B [解析] 因为 M(a,b)在圆 O:x +y2=1 外, 所以 a2+b2>1, 从而圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 |a·0+b· 0-1| 1 d= = 2 <1, 2 2 a +b a +b2 所以直线与圆相交. 2. (2017· 聊城模拟)圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点的 个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
2 2

|9+12-11| C [解析] 因为圆心到直线的距离为 =2, 又因为圆的半径为 3, 所以直线 5 与圆相交,由数形结合知,圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个.

圆与圆的位置关系[学生用书 P153] [典例引领] 已知圆 C1:(x-a)2+(y+2)2=4 与圆 C2:(x+b)2+(y+2)2=1 相外切,则 ab 的 最大值为( ) A. 6 2 3 B. 2 D.2 3

9 C. 4 【解析】 由圆 C1 与圆 C2 相外切, 可得

(a+b)2+(-2+2)2=2+1=3,即(a+b)2=9, a+b?2 9 根据基本(均值)不等式可知 ab≤? ? 2 ? =4, 当且仅当 a=b 时等号成立,故选 C. 【答案】 C (1)若把本例中的“外切”改为“内切”,结论如何? (2)若把本例中的“外切”改为“相交”,则两圆公共弦所在的直线方程是什么? [解] (1)由 C1 与 C2 内切得 (a+b)2+(-2+2)2=1. a+b?2 1 即(a+b)2=1,又 ab≤? ? 2 ? =4,当且仅当 a=b 时等号成立, 1 故 ab 的最大值为 . 4 (2)由题意得,把圆 C1,圆 C2 的方程都化为一般方程. 圆 C1:x2+y2-2ax+4y+a2=0.① 圆 C2:x2+y2+2bx+4y+b2+3=0,② 由②-①得(2a+2b)x+3+b2-a2=0, 即(2a+2b)x+3+b2-a2=0 为所求公共弦所在直线方程.

[通关练习] 1.圆 C1:x +y +2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2-4x-2y+4=0 的公切线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2 2 D [解析] 圆 C1:(x+1) +(y+1) =4, 所以圆心 C1(-1,-1),半径长 r1=2; 圆 C2:(x-2)2+(y-1)2=1, 所以圆心 C2(2,1),半径长 r2=1.
2 2

)

所以 d= (-1-2)2+(-1-1)2= 13, r1+r2=3,所以 d>r1+r2,所以两圆外离, 所以两圆有 4 条公切线. 2.(2017· 郑州质检)若⊙O1:x2+y2=5 与⊙O2:(x+m)2+y2=20(m∈R)相交于 A,B 两 点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是________. [解析] 由两圆在点 A 处的切线互相垂直,可知两切线分别过另一圆的圆心,即 AO1⊥ AO2,在直角三角形 AO1O2 中,(2 5)2+( 5)2=m2,所以 m=± 5,|AB|=2× [答案] 4 与圆有关的切线与弦长问题(高频考点)[学生用书 P153] 与圆有关的切线及弦长问题,是近年来高考的一个热点,多以选择题、填空题的形式呈 现,多为中、低档题目. 高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下三个命题角度: (1)弦长问题; (2)切线问题; (3)由弦长及切线问题求参数. [典例引领] (1)(2016· 高考全国卷乙)设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2=0 相交于 A, B 两点,若|AB|=2 3,则圆 C 的面积为________. (2)已知点 P( 2+1,2- 2),点 M(3,1),圆 C:(x-1)2+(y-2)2=4. ①求过点 P 的圆 C 的切线方程; ②求过点 M 的圆 C 的切线方程,并求出切线长. 【解】 (1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-a)2=a2+2,可得圆心的坐标为 C(0,a),半径 r |a| 2 |-a+2a| |a| = a2+2, 所以圆心到直线 x -y + 2a = 0 的距离为 = , 所以 ? ? + ( 3)2 = ? 2? 2 2 ( a2+2)2,解得 a2=2,所以圆 C 的半径为 2,所以圆 C 的面积为 4π.故填 4π. (2)由题意得圆心 C(1,2),半径长 r=2. ①因为( 2+1-1)2+(2- 2-2)2=4,所以点 P 在圆 C 上. 2- 2-2 又 kPC= =-1, 2+1-1 1 所以切线的斜率 k=- =1. kPC 所以过点 P 的圆 C 的切线方程是 y-(2- 2)=1×[x-( 2+1)],即 x-y+1-2 2=0. ②因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以点 M 在圆 C 外部. 2 5× 5 =4. 5

当过点 M 的直线斜率不存在时,直线方程为 x=3, 即 x-3=0. 又点 C(1,2)到直线 x-3=0 的距离 d=3-1=2=r, 即此时满足题意,所以直线 x=3 是圆的切线. 当切线的斜率存在时,设切线方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y+1-3k=0, |k-2+1-3k| 则圆心 C 到切线的距离 d= =r=2, k2+1 3 3 解得 k= .所以切线方程为 y-1= (x-3),即 3x-4y-5=0.综上可得,过点 M 的圆 C 4 4 的切线方程为 x-3=0 或 3x-4y-5=0. 因为|MC|= (3-1)2+(1-2)2= 5, 所以过点 M 的圆 C 的切线长为 |MC|2-r2= 5-4=1. (1)求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程 1 先求切点与圆心连线的斜率 k,由垂直关系知切线斜率为- ,由点斜式方程可求得切 k 线方程.若切线斜率不存在,则由图形写出切线方程为 x=x0. (2)求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程 ①几何法:当切线斜率存在时,设斜率为 k,切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y+y0 -kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径,可得出 k 的值,进而求出切线方程. ②代数法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一 个关于 x 的一元二次方程,由判别式Δ=0,求得 k,切线方程即可求出. (3)圆的弦长的求法

①几何法:如图所示,设直线 l 被圆 C 截得的弦为 AB,圆的半径为 r,圆心到直线的 距离为 d,则有关系式: |AB|=2 r2-d2. ②代数法:若斜率为 k 的直线与圆相交于 A(xA,yA), B(xB, yB)两点, 则|AB|= 1+k2· (xA+xB)2-4xAxB= 1 1+ 2|yA-yB|(其中 k≠0). 特 k

别地,当 k=0 时,|AB|=|xA-xB|;当斜率不存在时,|AB|=|yA-yB|. 当直线与圆相交时,半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的 Rt△ADC),在 解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用. [题点通关] 角度一 弦长问题 1.(2016· 高考全国卷丙)已知直线 l:mx+y+3m- 3=0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两 点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点.若|AB|=2 3,则|CD|=________. [解析] 设圆心到直线 l: mx+y+3m- 3=0 的距离为 d, 则弦长|AB|=2 12-d2=2 3, 得 d=3,即

|3m- 3|
m2+1

=3,解得 m=-

3 ,则直线 l:x- 3y+6=0,数形结合可得|CD|= 3

|AB| =4. cos 30° [答案] 4 角度二 切线问题 2.(2017· 重庆一模)已知 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一点,PA 是圆 C:x2+y2 -2y=0 的一条切线,A 是切点,若 PA 的最小长度为 2,则 k 的值为( ) A.3 B. 21 2

C.2 2 D.2 2 2 D [解析] 圆 C:x +y -2y=0 的圆心是(0,1),半径是 r=1,因为 PA 是圆 C:x2 +y2-2y=0 的一条切线,A 是切点,PA 的最小长度为 2,所以圆心到直线 kx+y+4=0 的 |1+4| 距离为 5,由点到直线的距离公式可得 2 = 5,因为 k>0,所以 k=2,故选 D. k +1 角度三 由弦长及切线问题求参数 3.(2016· 高考山东卷)已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度 是 2 2.则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是( A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 )

B [解析] 由题知圆 M:x2+(y-a)2=a2,圆心(0,a)到直线 x+y=0 的距离 d= 所以 2

a , 2

a2 a2- =2 2,解得 a=2.圆 M,圆 N 的圆心距|MN|= 2,两圆半径之差为 1,故 2

两圆相交.

,

[学生用书 P154])

——直线与圆的综合问题 (本题满分 12 分)(2015· 高考全国卷Ⅰ)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; → → (2)若OM·ON=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. [思维导图] (1)

(2) (1)由题设可知直线 l 的方程为 y=kx+1. |2k-3+1| 因为直线 l 与圆 C 交于两点,所以 <1. 1+k2

(2 分) 4- 7 4+ 7 解得 <k< . 3 3 所以 k 的取值范围为?

?4- 7 4+ 7?.(5 分) ? ? 3 , 3 ?

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2). 将 y=kx+1 代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. 4(1+k) 7 所以 x1+x2= ,x1x2= .(7 分) 1+k2 1+k2 → → OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = 4k(1+k) +8.(9 分) 1+k2

4k(1+k) 由题设可得 +8=12,解得 k=1, 1+k2 所以直线 l 的方程为 y=x+1.(10 分) 故圆心 C 在直线 l 上,所以|MN|=2.(12 分) (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半 径构成直角三角形. (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题. (3)在解题过程中,注意题目要求,严格按照题目及相关知识的要求解答,不仅要注意 解决问题的巧解,更要注意此类问题的通性通法.

,

[学生用书 P341(独立成册)])

1.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为圆心的圆与直线 x- 3y-4=0 相切,则圆 O 的 方程为( ) 2 A.x +y2=4 B.x2+y2=3 C.x2+y2=2 D.x2+y2=1 A [解析] 依题意,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y-4=0 的距离,即 r= 4 =2, 1+3 得圆 O 的方程为 x2+y2=4. 2.圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为( A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 B [解析] 由两圆心距离 d= (2+2)2+12= 17, 又 R+r=2+3=5, 所以 d<R+r,所以两圆相交. )

3.平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是( A.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 D.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0 A [解析] 因为所求直线与直线 2x+y+1=0 平行, 所以设所求的直线方程为 2x+y+m=0. 因为所求直线与圆 x2+y2=5 相切, |m| 所以 = 5,所以 m=± 5. 1+4

)

即所求的直线方程为 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0. 4.过点(-2,3)的直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y=0 相交于 A,B 两点,则|AB|取得最小值 时 l 的方程为( ) A.x-y+5=0 B.x+y-1=0 C.x-y-5=0 D.2x+y+1=0 A [解析] 由题意得圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心为(-1,2).过圆心 3-2 与点(-2,3)的直线 l1 的斜率为 k= =-1. -2-(-1) 当直线 l 与 l1 垂直时,|AB|取得最小值,故直线 l 的斜率为 1,所以直线 l 的方程为 y-3 =x-(-2),即 x-y+5=0. 5.(2017· 山西太原五中月考)过点(1,-2)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A、B,则 AB 所在直线的方程为( ) A.y=- C.y=- 3 4 3 2 1 B.y=- 2 1 D.y=- 4

B [解析] 圆(x-1)2+y2=1 的圆心为(1,0),半径为 1, 以 (1-1)2+(-2-0)2=2 为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1, 将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y+1=0, 1 即 y=- .故选 B. 2 6.(2017· 石家庄市第一次模考)已知直线 ax+y-1=0 与圆 C:(x-1)2+(y+a)2=1 相交 于 A、B 两点,且△ABC 为等腰直角三角形,则实数 a 的值为( ) 1 A. 或-1 7 C.1 或-1 B.-1 D.1 2 , 2

C [解析] 由题意得圆心(1,-a)到直线 ax+y-1=0 的距离为

|a-a-1| 2 所以 2 = 2 , 1+a 解得 a=± 1,故选 C. 7.(2017· 山西忻州三模)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2 的切线有且只有一条,则该切线 的方程为________. [解析] 因为过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2 的切线有且只有一条,

所以点(3,1)在圆(x-1)2+y2=r2 上. 1-0 1 因为圆心与切点连线的斜率 k= = , 3-1 2 所以切线的斜率为-2. 则圆的切线方程为 y-1=-2(x-3),即 2x+y-7=0. [答案] 2x+y-7=0 8.(2016· 高考全国卷丙)已知直线 l:x- 3y+6=0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点, 过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点,则|CD|=________. [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,0),D(x4,0),由 x- 3y+6=0,得 x= 3y-6, 代入圆的方程,并整理,得 y2-3 3y+6=0,解得 y1=2 3,y2= 3,所以 x1=0,x2=-3, 所以直线 AC 的方程为 y-2 3=- 3x, 令 y=0, 得 x3=2, 直线 BD 的方程为 y- 3=- 3 (x+3),令 y=0,得 x4=-2,则|CD|=|x3-x4|=4. [答案] 4 9.(2017· 太原模拟)已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 x2+y2-2x- 2y+1=0 的切线,A,B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是________. 1 [解析] 四边形 PACB 的面积可表示为 S=2× ×|PA|×1=|PA|= |PC|2-1,故当|PC|最 2 小时,四边形 PACB 的面积最小.而|PC|的最小值是点 C 到直线 3x+4y+8=0 的距离,此 时|PC|=3,故 Smin=2 2. [答案] 2 2 10.(2017· 重庆一中模拟)已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=2.y 轴被圆 C 截得的弦长与直线 y=2x+b 被圆 C 截得的弦长相等,则 b=________. [解析] 在(x-1)2+(y-2)2=2 中,令 x=0,得(y-2)2=1,解得 y1=3,y2=1,则 y 轴 被圆 C 截得的弦长为 2, 所以直线 y=2x+b 被圆 C 截得的弦长为 2, 所以圆心 C(1,2)到直线 y=2x+b 的距离为 1, |2×1-2+b| 即 =1,解得 b=± 5. 5 [答案] ± 5 11.已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点, 线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积. [解] (1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4. → → 设 M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y). → → 由题设知CM·MP=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部, 所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上. 又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM.

1 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为- , 3 1 8 故 l 的方程为 y=- x+ . 3 3 4 10 4 10 16 又|OM|=|OP|=2 2,O 到 l 的距离为 ,|PM|= ,所以△POM 的面积为 . 5 5 5

12.过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C:(x-3)2+(y-4)2=25 交于 A,B 两点,C 为圆心, 当∠ACB 最小时,直线 l 的方程是________. [解析] 依题意得知,当∠ACB 最小时,圆心 C 到直线 l 的距离达到最大,此时直线 l 与直线 CM 垂直,又直线 CM 的斜率为 1,因此所求的直线 l 的方程是 y-2=-(x-1),即 x+y-3=0. [答案] x+y-3=0 13.(2017· 天津南开中学模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C:x2+y2+4x-2y+m=0 与直线 x- 3y+ 3-2=0 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 上有两点 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,且|MN|=2 3,求直线 MN 的方程. [解] (1)将圆 C:x2+y2+4x-2y+m=0 化为(x+2)2+(y-1)2=5-m, 因为圆 C:x2+y2+4x-2y+m=0 与直线 x- 3y+ 3-2=0 相切, 4 所以圆心(-2,1)到直线 x- 3y+ 3-2=0 的距离 d= =2=r, 1+3 所以圆 C 的方程为(x+2)2+(y-1)2=4. (2)若圆 C 上有两点 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,则可设直线 MN 的方程为 2x-y+ c=0, 因为|MN|=2 3,半径 r=2, 所以圆心(-2,1)到直线 MN 的距离为 22-( 3)2=1, 即 |-4-1+c| =1, 5

所以 c=5± 5, 所以直线 MN 的方程为 2x-y+5± 5=0. 14.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴正半轴上,直线 3x-4y+4=0 与圆 C 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)若过点(0,-3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1x2+y1y2 =3,求三角形 AOB 的面积. [解] (1)设圆心 C 的坐标为(a,0)(a>0), 则圆 C 的方程为(x-a)2+y2=4. 因为圆 C 与直线 3x-4y+4=0 相切, |3a+4| 所以 2 =2, 3 +(-4)2 14 解得 a=2 或 a=- (舍), 3 所以圆 C 的方程为(x-2)2+y2=4.

(2)依题意设直线 l 的方程为 y=kx-3,
?y=kx-3, ? 由? 2 2 ? ?(x-2) +y =4

得(1+k2)x2-(4+6k)x+9=0, 因为 l 与圆 C 相交于不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 4+6k 9 所以 Δ=[-(4+6k)]2-4(1+k2)×9>0,且 x1+x2= ,x1x2= , 1+k2 1+k2 所以 y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2x1x2-3k(x1+x2)+9
2 9k2 12k+18k = - +9, 1+k2 1+k2

又因为 x1x2+y1y2=3,
2 9 9k2 12k+18k 所以 + - +9=3, 1+k2 1+k2 1+k2

整理得 k2+4k-5=0,解得 k=1 或 k=-5(不满足 Δ>0,舍去). 所以直线 l 的方程为 y=x-3. 所以圆心 C 到 l 的距离为 d= 则|AB|=2· 22-?
2

|2-3| 2 = , 2 2

2? = 14, 2 ? ? 3 3 2 = . 2 2

又△AOB 的底边 AB 上的高 h=

1 1 3 2 3 7 所以 S△AOB= |AB|·h= × 14× = . 2 2 2 2


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