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高中数学等差数列教案(二)




题:

项和( 3.3 等差数列的前 n 项和(二)

教学目的: 教学目的:1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式. 2.了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题. 教学重点: 教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点: 教学难点:灵活应用求和公式解决问题 授课类型: 授课类型:新授课 课时安排: 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 内容分析 本节是在集合与简易逻辑之后学习的,映射概念本身就属于集合的 教学过程: 教学过程 一、复习引入: 复习引入: 首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等差数列的前 项和公式 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n =

n(a1 + a n ) 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2: S n = na1 + 2.等差数列的前 项和公式 3. S n =

n(n ? 1)d 2

d 2 d n + (a 1 ? )n ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式 2 2

4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 对等差数列前项和的最值问题有两种方法 (1) 利用 a n : 当 a n >0,d<0,前n项和有最大值 可由 a n ≥0,且 a n +1 ≤0,求得n的值
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当 a n <0,d>0,前n项和有最小值 可由 a n ≤0,且 a n +1 ≥0,求得n的值
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(2) 利用 S n :由 S n =

d 2 d n + (a 1 ? )n 二次函数配方法求得最值时n的值 2 2

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二、例题讲解 例 1 .求集合 M={m|m=2n-1,n∈N*,且 m<60}的元素个数及这些元素的和. 解:由 2n-1<60,得 n<

61 61 ,又∵n∈N* ∴满足不等式 n< 的正整数一共有 30 个. 2 2

即 集合 M 中一共有 30 个元素,可列为:1,3,5,7,9,…,59,组成一个以 a1 =1,

n( a1 + a n ) 30(1 + 59) ,∴ S 30 = =900. 2 2 答案:集合 M 中一共有 30 个元素,其和为 900. 例 2.在小于 100 的正整数中共有多少个数能被 3 除余 2,并求这些数的和 分析:满足条件的数属于集合,M={m|m=3n+2,m<100,m∈N*} 解:分析题意可得满足条件的数属于集合,M={m|m=3n+2,m<100,n∈N*} 2 由 3n+2<100,得 n<32 ,且 m∈N*, ∴n 可取 0,1,2,3,…,32. 3 即 在小于 100 的正整数中共有 33 个数能被 3 除余 2.

a 30 =59,n=30 的等差数列. ∵ S n =

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把这些数从小到大排列出来就是:2,5,8,…,98. 它们可组成一个以 a1 =2,d=3, a 33 =98,n=33 的等差数列.

n( a1 + a n ) 33( 2 + 98) ,得 S 33 = =1650. 2 2 答:在小于 100 的正整数中共有 33 个数能被 3 除余 2,这些数的和是 1650.
由 Sn = 例 3 已知数列 {a n }, 是等差数列, S n 是其前 n 项和, 求证:⑴ S 6 , S12 - S 6 , S18 - S12 成等差数列; ⑵设 S k , S 2 k ? S k , S 3 k ? S 2 k ( k ∈ N + )成等差数列 证明:设 {a n }, 首项是 a1 ,公差为 d 则 S6 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 ∵ S12 ? S 6 = a 7 + a8 + a 9 + a10 + a11 + a12

= (a1 + 6d ) + (a 2 + 6d ) + (a 3 + 6d ) + (a 4 + 6d ) + (a 5 + 6d ) + (a 6 + 6d ) = (a1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) + 36d = S 6 + 36d S18 ? S12 = a13 + a14 + a15 + a16 + a17 + a18 = (a 7 + 6d ) + (a 8 + 6d ) + (a 9 + 6d ) + (a10 + 6d ) + (a11 + 6d ) + (a12 + 6d ) = (a 7 + a8 + a 9 + a10 + a11 + a12 ) + 36d = ( S12 ? S 6 ) + 36d ∴ S 6 , S12 ? S 6 , S18 ? S12 是以 36d 为公差的等差数列
2
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同理可得 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 是以 k d 为公差的等差数列. 三、练习: 练习 1.一个等差数列前 4 项的和是 24,前 5 项的和与前 2 项的和的差是 27,求这个等差数 列的通项公式. 分析:将已知条件转化为数学语言,然后再解. 解:根据题意,得 S 4 =24, S 5 - S 2 =27 则设等差数列首项为 a1 ,公差为 d,

4(4 ? 1)d ? = 24 ?4a1 + ? 2 则 ? ?(5a + 5(5 ? 1)d ) ? (2a + 2(2 ? 1)d ) = 27 1 ? 1 ? 2 2

? a1 = 3 解之得: ? ?d = 2

∴ a n =3+2(n-1)=2n+1.

2.两个数列 1, x1 , x 2 , ……, x7 , 5 和 1, y1 , y 2 , ……, y 6 , 5 均成等差数列公差分别 是 d1 , d 2 , 求

x + x 2 + ?? + x7 d1 与 1 的值 d2 y1 + y 2 + ?? + y 6

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解:5=1+8 d 1 , d 1 =

d 1 4 7 , 又 5=1+7 d 2 , d 2 = , ∴ 1 = ; 2 7 d2 8
1+ 5 =21, 2

x1 + x 2 +……+ x7 =7 x 4 =7×

y1 + y 2 + ……+ y 6 =3×(1+5)=18,


x1 + x 2 + ?? + x7 7 = . y1 + y 2 + ?? + y 6 6
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3.在等差数列{ a n }中, a 4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ a n }的前 n 项和 S n 的最小值

S n 的最小值

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解法 1:∵ a 4 = a1 +3d, ∴ -15= a1 +9, a1 =-24, ∴ S n =-24n+ ∴ 当|n-

3n(n ? 1) 3 51 2 512 = [(n- ) - ], 2 2 6 36

51 |最小时, S n 最小, 6

即当 n=8 或 n=9 时, S 8 = S 9 =-108 最小. 解法 2:由已知解得 a1 =-24, d=3, a n =-24+3(n-1), 由 a n ≤0 得 n≤9 且 a9 =0, ∴当 n=8 或 n=9 时, S 8 = S 9 =-108 最小. 四、小结 本 节 课 学 习 了 以 下 内 容 : {a n } 是 等 差 数 列 , S n 是 其 前 n 项 和 , 则
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S k , S 2 k ? S k , S 3 k ? S 2 k ( k ∈ N + )仍成等差数列

五、课后作业: 课后作业 1.一凸 n 边形各内角的度数成等差数列,公差是 10°,最小内角为 100°,求边数 n.

解:由(n-2)·180=100n+
2 求得 n -17n+72=0,

n(n ? 1) ×10, 2

n=8 或 n=9,

当 n=9 时, 最大内角 100+(9-1)×10=180°不合题意,舍去,∴ n=8. 2.已知非常数等差数列{ a n }的前 n 项和 S n 满足

10 Sn = m 2 ? 3n ? 2( m?1) n +mn
5
2

(n∈N, m∈R), 求数列{ a 5 n + 3 }的前 n 项和.

解:由题设知

S n =lg( m ? 3 ? 2
2 n 5

( m ?1) n 2 + mn

)=lgm +nlg3+

2

(m ? 1)n 2 + mn lg2, 5

即 S n =[

(m ? 1) m lg 2 ]n 2 +(lg3+ lg 2 )n+lgm 2 , 5 5

∵ { a n }是非常数等差数列,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式

(m ? 1) lg 2 ≠0 且 lgm 2 =0, ∴ m=-1, 5 2 1 2 ∴ S n =(- lg2)n +(lg3- lg2)n, 5 5 3 则 当 n=1 时, a1 = lg 3 ? lg 2 5 2 1 当 n≥2 时, a n = S n - S n ?1 =(- lg2)(2n-1)+(lg3- lg2) 5 5 4 1 = ? n lg 2 + lg 3 + lg 2 5 5 4 1 ∴ a n = ? n lg 2 + lg 3 + lg 2 5 5 4 d= a n +1 ? a n = ? lg 2 5 4 1 a 5n +3 = ? (5n + 3) lg 2 + lg 3 + lg 2 5 5 11 = ? 4n lg 2 + lg 3 ? lg 2 5 31 数列{ a 5 n + 3 }是以 a8 = lg 3 ? lg 2 为首项,5d= ? 4 lg 2 为公差的等差数列, 5
∴ { a 5 n + 3 }的前 n 项和为 n·( lg 3 ?

∴数列

31 1 21 lg 2 )+ n(n-1)·( ? 4 lg 2 )= ? 2n 2 lg 2 + (lg 3 ? lg 2)n 5 2 5

3. 一个等差数列的前 12 项和为 354, 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27, 前 求公差 d. 解:设这个数列的首项为 a1 , 公差为 d,则偶数项与奇数项分别都是公差为 2d 的等

?12a1 + 66d = 354 ? 32 , 解得 d=5. 差数列,由已知得 ? 6a 2 + 30d = ? 6a1 + 30d 27 ?
解法 2:设偶数项和与奇数项和分别为 S 偶,S 奇,则由已知得

?S 偶 + S 奇 = 354 ? S 32 ,求得 S 偶=192,S 奇=162,S 偶-S 奇=6d, ∴ d=5. 偶 ? = ? S 27 奇 ?
4.两个等差数列,它们的前 n 项和之比为

5n + 3 , 求这两个数列的第九项的比 2n ? 1

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解:

a 9 a1 + a17 = b9 b1 + b17

17 (a1 + a17 ) S 8 2 = = 17 = . ' 17 S17 3 (b1 + b17 ) 2
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5.一个等差数列的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,求它的前 110 项和 解:在等差数列中,

S10 , S 20 - S10 , S 30 - S 20 , ……, S100 - S 90 , S110 - S100 , 成等差数列,
∴ 新数列的前 10 项和=原数列的前 100 项和, 10 S10 +

10 × 9 ·D= S100 =10, 解得 D=-22 2

∴ S110 - S100 = S10 +10×D=-120, ∴ S110 =-110. 6.设等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,已知 a3 =12, S12 >0, S13 <0,(1) 求公差 d 的取 值范围; (2) 指出 S1 , S 2 , S 3 , ……, S12 中哪一个最大,说明理由
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12 × 11 ? ?S12 = 12a1 + 2 d > 0 ? ?2a1 + 11d > 0 解:(1) ? , ? 13 × 12 ? a1 + 6d < 0 ? S13 = 13a1 + d <0 2 ?
∵ a3 = a1 +2d=12, 代入得

?24 + 7 d > 0 24 , ∴ - <d<-3, ? 7 ? 3+ d < 0

(2) S13 =13 a 7 <0, ∴ a 7 <0, 由 S12 =6( a 6 + a 7 )>0, ∴ a 6 + a 7 >0, ∴ a 6 >0,

S 6 最大.

六、板书设计(略) 板书设计 七、课后记: 课后记:


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